专题39 复数的运算 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题39 复数的运算 一、知识梳理 1.复数的加法与减法 复数 （1）复数的加法：（a+c)+(b+d )i; （2）复数的减法：(a-c)+(b-d)i; + （交换律）， 2.复数加法和复数减法的几何意义 设复数对应的向量分别为 （1）复数加法的几何意义：向量=(a+c,b+d)对应的复数为，所以两个复数的和所对应的向量就是它们各自所对应向量的和，即复数的加法可以按向量的加法进行； （2）复数减法的几何意义：向量=(a-c,b-d)对应的复数为，所以两个复数的差所对应的向量就是它们各自所对应向量的差，即复数的减法可以按向量的减法进行； （3）两个复数的加法、减法运算可以用其对应的向量来进行加、减运算. 3.复数的乘法运算 复数 （ac-bd)+(ad+bc)i; 复数乘法的运算律 （1）交换律： ; （2）结合律： ; （3）分配率： 二、题型精练 题型1 复数的加法和减法 【典例1】．已知，求： (1) (2) (3) 【典例2】．已知，计算： (1) 题型2 复数加法和复数减法的几何意义 【典例1】．向量对应的复数为2-3i，向量对应的复数为-5+4i，则对应的复数是( ) A.3-i B.-3+i C.7-7i D.-7+7i 【典例2】．向量对应的复数为2-3i，向量对应的复数为-5+4i，则对应的复数是 ( ) A.3-i B.-3+i C.7-7i D.-7+7i 题型3 复数的乘法 【典例1】．复数（1-i)3的虚部是 ( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 【典例2】．计算： 题型4 复数的混合运算 【典例1】．已知复数z满足等式z-z⋅，求z. 【典例2】．已知a,b∈R，且(2a+bi)-(2+4i)=(a+2i)(1-i)，求a,b. 三、知识检测 1．若，则等于( ) A.-1+i B.1-i C.7+7i D.-7-i 2．若，则在复平面中对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知z=2+i，则z -等于 ( ) A.-4 B.4 C.-2i D.2i 4．若，且，则复数a +bi等于 ( ) A.-3+i B.3-i C.-3-i D.3+i 5.等于 ( ) A. B. C. 6．若z=(-1+i)(2+i)，则｜z｜等于 ( ) A. B.5 D.10 7．已知复数z=(1-i)(4+i)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1,1)，则z·i等于 ( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 9.在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 10.已知复数z满足（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C．2 D． 11.（    ） A． B．1 C． D． 12.复数（    ） A． B． C． D． 13.设是虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D．0 14.已知（），则复数（    ） A． B． C． D． 15.若，则z等于（    ） A． B． C． D． 16．已知复数(x-3y)+(5x+3y)i(x,y∈R)，且8i．求 17．计算：(1)(3-i)(2+i); (3)(4)-4i(3+2i) 18．已知复数z满足z··z=19+8i，求z 19.已知，，为实数，若，求 计算： (1)； (2)； (3)． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39 复数的运算 一、知识梳理 1.复数的加法与减法 复数 （1）复数的加法：（a+c)+(b+d )i; （2）复数的减法：(a-c)+(b-d)i; + （交换律）， 2.复数加法和复数减法的几何意义 设复数对应的向量分别为 （1）复数加法的几何意义：向量=(a+c,b+d)对应的复数为，所以两个复数的和所对应的向量就是它们各自所对应向量的和，即复数的加法可以按向量的加法进行； （2）复数减法的几何意义：向量=(a-c,b-d)对应的复数为，所以两个复数的差所对应的向量就是它们各自所对应向量的差，即复数的减法可以按向量的减法进行； （3）两个复数的加法、减法运算可以用其对应的向量来进行加、减运算. 3.复数的乘法运算 复数 （ac-bd)+(ad+bc)i; 复数乘法的运算律 （1）交换律： ; （2）结合律： ; （3）分配率： 二、题型精练 题型1 复数的加法和减法 【典例1】．已知，求： (1) (2) (3) 【答案】 (1)=-2-2i (2)=4+4i (3)=4- i 【分析】 本题考查复数加减运算，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 【详解】 (1)=（1+i）+（-3-3i）=（1-3）+（i-3i）=-2-2i (2)=（1+i）-（-3-3i）=1+i+3+3i= 4+4i (3)=(1+i)-2i-(-3-3i)=4- i 综上：(1)=-2-2i (2)=4+4i (3)=4- i 【典例2】．已知，计算： (1) 【答案】 (1)=2-2i (2)=2-4i (3)=1-6i 【分析】 本题考查复数加减运算，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 【详解】 (1)=（2-3i）+i=2+（-3+1)i=2-2i (2)=（2-3i）-i=2+（-3-1)i=2-4i (3)=(2-3i)-i-(1+2i）=1-6i 综上： (1)=2-2i (2)=2-4i (3)=1-6i 题型2 复数加法和复数减法的几何意义 【典例1】．向量对应的复数为2-3i，向量对应的复数为-5+4i，则对应的复数是( ) A.3-i B.-3+i C.7-7i D.-7+7i 【答案】B 【分析】本题考查复数与复平面向量的对应关系，向量相加，对应复数实部、虚部分别相加。 【详解】对应复数2-3i，即=(2,-3)， 对应复数-5+4i，即=(-5,4)。 =(2-5,-3+4)=(-3,1) 向量(-3,1)对应的复数为-3+i。 故选 B。 【典例2】．向量对应的复数为2-3i，向量对应的复数为-5+4i，则对应的复数是 ( ) A.3-i B.-3+i C.7-7i D.-7+7i 【答案】D 【分析】本题考查复数与向量的对应关系，=-，向量减法对应复数实部、虚部分别相减。 【详解】 向量对应的复数为2-3i，向量对应的复数为-5+4i。 =-=(-5+4i)-(2-3i)=(-5-2)+(4+3)i=-7+7i 故选 D。 题型3 复数的乘法 【典例1】．复数（1-i)3的虚部是 ( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】C 【分析】本题考查复数乘方运算以及复数虚部概念，虚部是实数，不含i。 【详解】 （1-i)2=1-2i+i2=1-2i-1=-2i （1-i)3=（1-i)2(1-i)=-2i(1-i)=-2i+2i2=-2i-2=-2-2i 复数-2-2i的虚部为-2。 故选 C。 【典例2】．计算： 【答案】 (1)5 (2)-3+4i 【分析】 本题考查复数乘法运算，利用平方差公式、完全平方公式，牢记i2=-1 【详解】 (1)=22-i2=4-(-1)=5 (2) =12+2×1×2i+（2i)2=1+4i+4i2=-3+4i 综上：(1)5 (2)-3+4i 题型4 复数的混合运算 【典例1】．已知复数z满足等式z-z⋅，求z. 【答案】 z= +i 【分析】 本题考查复数方程求解，设z=a+bi (a,b∈R)，代入等式，利用复数相等条件：实部等于实部，虚部等于虚部，列方程组求解。 【详解】 设 z=a+bi (a,b∈R)，则=abi。 z-z⋅先计算 z⋅=(a+bi)(abi)=a2+b2，是实数。 代入方程： (a+bi)-(a2+b2)=i 整理： [a-(a2+b2)]+bi=0+i 根据复数相等，实部、虚部分别相等： 把 代入第一式： 解得a= 所以z= +i 综上：z= +i。 【典例2】．已知a,b∈R，且(2a+bi)-(2+4i)=(a+2i)(1-i)，求a,b. 【答案】 a=6，b=2 【分析】 本题考查复数四则运算与复数相等条件。先分别化简等式左右两边，再利用复数相等：实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解参数。 【详解】a,b∈R 左边： (2a+bi)-(2+4i)=(2a-2)+(b-4)i 右边： (a+2i)(1-i)=（a+2）+（-a+2）i 由左右两边复数相等，实部、虚部分别相等： 由第一个方程： 解得a=4 把a=4代入第二个方程： b-4=-4+2 解得b=2 综上：a=4,b=2 三、知识检测 1．若，则等于( ) A.-1+i B.1-i C.7+7i D.-7-i 【答案】A 【分析】 本题考查复数加法运算，实部与实部相加，虚部与虚部相加。 【详解】 已知 =(3+4i)+(-4-3i)=(3-4)+(4-3)i=-1+i 故选 A。 2．若，则在复平面中对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【分析】 本题考查复数减法与复数的几何意义。复数相减实部、虚部分别相减；复数a+bi对应点(a,b)，根据横纵坐标符号判断象限。 【详解】 =(3-2i)-(-i)=3-2i+i=3-i 复数3-i对应点((3,-1)，横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限。 故选 D。 3．已知z=2+i，则z -等于 ( ) A.-4 B.4 C.-2i D.2i 【答案】D 【分析】 本题考查复数减法运算，实部相减，虚部相减。 【详解】 z=2+i，则共轭复数=2i。 z -=(2+i)-(2-i)=2+i-2+i=2i 故选 D。 4．若，且，则复数a +bi等于 ( ) A.-3+i B.3-i C.-3-i D.3+i 【答案】B 【分析】 本题考查复数加法与复数相等。复数相加实部、虚部分别相加；复数等于 0，则实部、虚部同时为 0。 【详解】 =(1+ai)+(b-3i)=(1+b)+(a-3)i 由，得 1+b=0且a-3=0 解得b=-1，a=3。 a+bi=3-i。 故选 B。 5.等于 ( ) A. B. C. 【答案】D 【分析】 本题考查复数乘法运算，展开后利用化简。 【详解】 =1·i+= 故选 D。 6．若z=(-1+i)(2+i)，则｜z｜等于 ( ) A. B.5 D.10 【答案】C 【分析】 本题考查复数乘法与复数模的计算，可先求出复数，再计算模。 【详解】 先展开 z=(-1+i)(2+i) =-2-i+2i+ =-2+i-1 =-3+i |z|= 故选 C。 7．已知复数z=(1-i)(4+i)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【分析】 本题考查复数乘法、共轭复数以及复数的几何意义。先计算z，再写出共轭复数，由实部、虚部判断对应点所在象限。 【详解】 z=(1-i)(4+i)=4+i-4i-=4-3i+1=5-3i z的共轭复数为5+3i，对应复平面内的点(5,3)，横坐标为正，纵坐标为正，位于第一象限。 故选 A 8．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1,1)，则z·i等于 ( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 【答案】D 【分析】 本题考查复数的几何意义与复数乘法。由点的坐标写出复数，再与i相乘化简。 【详解】 复数z对应点(1,1)，所以z=1+i。 z·i=(1+i)i=i+=i-1=-1+i 故选 D。 9.在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C． －1+i D．－1－i 【答案】C 【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 10.已知复数z满足（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算求得，然后求得. 【详解】由，得， 则. 故选：B 11.（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据的周期性，计算即可得到结果. 【详解】因为 则 故选:A 12.复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法、乘方法则化简可得结果. 【详解】因为，因此，. 故选：C. 13.设是虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0. 【详解】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以， 故选:B. 14.已知（），则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解. 【详解】∵且，则，， ∴. 故选：C. 15.若，则z等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，解方程组即得解. 【详解】解：设，则． 由题意得解得 所以． 故选：B 16．已知复数(x-3y)+(5x+3y)i(x,y∈R)，且8i．求 【答案】 =-4+7i，=6+i 【分析】 本题考查复数加法运算与复数相等条件。复数相加实部与实部相加，虚部与虚部相加；两个复数相等，则实部、虚部分别对应相等，列方程组求解x,y，再回代求出。 【详解】 (x-3y)+(5x+3y)i(x,y∈R) =[]+[+(5x+3y)]i=（-x+y）+（7x+4y）i 已知8i，复数相等则： 由第一式得：y=x+2，代入第二个方程： 解得x=0 把x=0,y=2代入： =-4+7i，=6+i 检验：8i，符合条件。 综上：=-4+7i，=6+i 17．计算：(1)(3-i)(2+i); (3)(4)-4i(3+2i) 【答案】 (1)7+i (2)-8i (3)-1 (4)812i 【分析】 本题考查复数乘法运算，运用多项式乘法展开，记住=-1；共轭复数相乘可用平方差公式。 【详解】 (1)(3-i)(2+i)=6+3i-2i-=7+i (2)=-2×2×2i+(2i)2= -8i (3)=3-(2i)2=-1 (4)-4i(3+2i)=-12i-8=8-12i 综上：(1)7+i (2)-8i (3)-1 (4)812i 18．已知复数z满足z··z=19+8i，求z 【答案】z=-4-3i或z=-4+i 【分析】 本题考查复数方程求解。设z=a+bi(a,b∈ R)，z·=，利用复数相等实部、虚部分别相等列方程组求解。 【详解】 设z=a+bi(a,b∈ R)，=a-bi。 z··z=19+8i （）-2i（a+bi）=19+8i （-2b）-2ai=19+8i 由复数相等： 由-2a=8得a=-4，代入： 16 解得b=-3或b=1。 所以z=-4-3i或z=-4+i。 19.已知，，为实数，若，求 【答案】. 【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘． 【详解】（1） （2） （3） 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $