专题38 复数的几何意义 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题38 复数的几何意义 一、知识梳理 1. 复平面 用来表示复数的平面称为复平面，直角坐标系中的x轴称为实轴，y轴（除去原点）称为虚轴 （1）实轴上的点表示实数; （2）虚轴上的点表示纯虚数（原点除外，原点表示实数0）; （3）各象限内的点都表示非实数的虚数 2.复数的几何意义 （1）复数 z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)一一对应； （2）复数z=a+bi与向量一一对应， (a,b) 3. 复数的模 （1）一般地，向量的长度称为复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=,a,b∈R. （2）复数的模就是它在复平面中所对应的点到原点的距离. (3)|z|=r(r>0的几何意义：在复平面内，以原点O为圆心，以r为半径的圆上的点组成的集合；|z|>r(r>0)的几何意义：在复平面内，以原点O为圆心，以r为半径的圆外部的点组成的集合；|z|<r(r>0)的几何意义：在复平面内，以原点O为圆心，以r为半径的圆 内部的点组成的集合 4. 共轭复数 一般地，如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数. （1）复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，记为z，即 a-bi （2）如果两个复数a+bi与c+di互为共轭复数，那么 且 （3）复数z=a+bi的模 的共轭复数的模即|z|= 二、题型精练 题型1 复数的几何意义 【典例1】．如果复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点在第四象限，那么 ( ) A.a>0,b>0 B.a<0,b>0 C.a<0,b<0 D.a>0,b<0 【典例2】．在复平面内，如果向量，那么对应的复数为 ( ) A.1-2i B.-2+i C.-1+2i D.2-i 题型2 复数的模 【典例1】．已知复数，且，则实数a的取值范围是 ( ) A.a<-1 B.a>1 C.a<-1或a>1 D.-1<a<1 【典例2】．已知复数，则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.无法比较 题型3 共轭复数 【典例1】．已知复数，求. 【典例2】．已知复数z=2a-i，且，则实数a的取值范围是 ( ) A.a<-1 B.a>1 C.a<-1或a>1 D.-1<a<1 三、知识检测 1．在复平面内，复数-2-3i对应的点所在的象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．在复平面内，如果向量，那么向量O2对应的复数为 ( ) A.-3-i B.3-i C.-1-71 D.-1+7i 3．下列不等式成立的是 ( ) A.i<2i B.|i-1|<1 C.3-4i<-6+8i D.|3-4i|<|-6+8i| 4．在复平面内，复数-1+i对应的点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5．在复平面内，复数所对应的向量的坐标为 ( ) A. B. C. D. 6．已知复数则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.无法比较 7．复数-1+i的共轭复数为 ( ) A.--1+i B.1+i C.1-i D.-1-i 8．设复数z在复平面内对应的点为Z，满足|z|>1的点Z的集合是 ( ) A．以原点O为圆心，以1为半径的圆上的点组成的集合 B．以原点O为圆心，以1为半径的圆外部的点组成的集合 C．以原点O为圆心，以1为半径的圆内部的点组成的集合 D．以原点O为圆心，以1为半径的圆上或其外部的点组成的集合 9．在复平面内，复数a+bi(a,b∈R)对应的点在虚轴上，那么 ( ) A.a=0,b>0 B.a=0,b>0 C.a=0,b≠0 D.a=0,b=0 10．设复数z=2-i，则在复平面内z对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 12.已知复数、(i为虚数单位)、在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数的模为（    ） A． B． C．2 D．5 13.在复平面上向量所对应的复数，与垂直，且，则对应的复数可以为______ 14．已知复数z与3-4i互为共轭复数，则z= 15．已知复数，则|z|= 16． 已知复数z=(a-1)+2i对应的点在第二象限、且，则实数 17． 复平面内、复数对应的点在实轴上，则实数m= 18．已知复数在复平面内对应的点为Z，求实数m的值. （1）当Z位于虚轴上； （2）当Z位于第三象限内； （3）当Z位于以原点为圆心，以2为半径的圆内. 19．已知复数 （1）若互为共轭复数，求实数a的值及 （2）若，求实数a的取值范围 20.复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求复数z； (2)复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题38 复数的几何意义 一、知识梳理 1. 复平面 用来表示复数的平面称为复平面，直角坐标系中的x轴称为实轴，y轴（除去原点）称为虚轴 （1）实轴上的点表示实数; （2）虚轴上的点表示纯虚数（原点除外，原点表示实数0）; （3）各象限内的点都表示非实数的虚数 2.复数的几何意义 （1）复数 z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)一一对应； （2）复数z=a+bi与向量一一对应， (a,b) 3. 复数的模 （1）一般地，向量的长度称为复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=,a,b∈R. （2）复数的模就是它在复平面中所对应的点到原点的距离. (3)|z|=r(r>0的几何意义：在复平面内，以原点O为圆心，以r为半径的圆上的点组成的集合；|z|>r(r>0)的几何意义：在复平面内，以原点O为圆心，以r为半径的圆外部的点组成的集合；|z|<r(r>0)的几何意义：在复平面内，以原点O为圆心，以r为半径的圆 内部的点组成的集合 4. 共轭复数 一般地，如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数. （1）复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，记为z，即 a-bi （2）如果两个复数a+bi与c+di互为共轭复数，那么 且 （3）复数z=a+bi的模 的共轭复数的模即|z|= 二、题型精练 题型1 复数的几何意义 【典例1】．如果复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点在第四象限，那么 ( ) A.a>0,b>0 B.a<0,b>0 C.a<0,b<0 D.a>0,b<0 【答案】D 【分析】本题考查复数的几何意义。复数a+bi(a,b∈R)对应复平面内的点为(a,b)，第四象限点满足横坐标大于 0，纵坐标小于 0。 【详解】 复数a+bi对应点(a,b)， 第四象限：a>0，b<0。 故选 D。 【典例2】．在复平面内，如果向量，那么对应的复数为 ( ) A.1-2i B.-2+i C.-1+2i D.2-i 【答案】A 【分析】本题考查复数的几何意义。复平面内向量=(a,b)，对应的复数为a+bi。 【详解】 向量=(1,-2)，实部为1，虚部为-2，对应的复数为1-2i。 故选 A。 题型2 复数的模 【典例1】．已知复数，且，则实数a的取值范围是 ( ) A.a<-1 B.a>1 C.a<-1或a>1 D.-1<a<1 【答案】D 【分析】本题考查复数模的计算。复数x+yi的模|x+yi|=，根据列不等式求解。 【详解】 ， == ， == 由： 两边同时平方： 5> <1 -1<a<1 故选 D。 【典例2】．已知复数，则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.无法比较 【答案】C 【分析】本题考查复数模的计算公式，复数z=x+yi，模|z|=，分别算出两个复数的模再比较大小。 【详解】 ， == ， == 所以。 故选 C。 题型3 共轭复数 【典例1】．已知复数，求. 【答案】 =3+4i，=-6-8i，=15 【分析】本题考查共轭复数以及复数模的计算公式，复数z=x+yi (x,y∈ R)，|z|=。 【详解】 已知，共轭复数是实部相同，虚部相反，所以 =3+4i，=-6-8i ===5 ===10 所以=15 综上：=3+4i，=-6-8i，=15 【典例2】．已知复数z=2a-i，且，则实数a的取值范围是 ( ) A.a<-1 B.a>1 C.a<-1或a>1 D.-1<a<1 【答案】C 【分析】本题考查复数模的计算。复数z=x+yi (x,y∈ R)，|z|=，列出不等式求解。 【详解】 z=2a-i， |z|= 由|z|> ： > 两边平方： >5 ＞4 ＞1 解得a＞或a＜- 故选 C。 三、知识检测 1．在复平面内，复数-2-3i对应的点所在的象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】本题考查复数的几何意义。复数z=a+bi(a,b∈ R)在复平面对应点为(a,b)，根据横、纵坐标正负判断象限。 【详解】 -2-3i=(-2)+(-3)i，对应点(-2,-3)， 横坐标-2<0，纵坐标-3<0，该点在第三象限。 故选 C。 2．在复平面内，如果向量，那么向量O2对应的复数为 ( ) A.-3-i B.3-i C.-1-71 D.-1+7i 【答案】B 【分析】本题考查复平面向量运算与复数对应关系。复平面向量=(a,b)对应复数a+bi，先做向量减法运算。 【详解】 =(1-(-2),3-4)=(3,-1) 向量=(3,-1)对应的复数为3-i。 故选 B。 3．下列不等式成立的是 ( ) A.i<2i B.|i-1|<1 C.3-4i<-6+8i D.|3-4i|<|-6+8i| 【答案】D 【分析】本题考查复数性质，复数本身不能比较大小，只有复数的模是实数，可以比较大小。 【详解】 A.i与2i是虚数，虚数不能比较大小，错误； B.|i-1|==>1，错误； C.3-4i和-6+8i是虚数，虚数不能比较大小，错误； D.|3-4i|==5， |-6+8i|==10， 5<10，即|3-4i|<|-6+8i|，正确。 故选 D。 4．在复平面内，复数-1+i对应的点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【分析】本题考查复数的几何意义。复数 z=a+bi (a,b∈R) 对应复平面内点(a,b)，根据横纵坐标正负判断象限。 【详解】 复数-1+i对应点(-1,1)， 横坐标-1<0，纵坐标1>0，点在第二象限。 故选 B。 5．在复平面内，复数所对应的向量的坐标为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查复数的几何意义。复数z=a+bi (a,b∈R)，对应的向量坐标为(a,b)。 【详解】 复数-2+，实部a=-2，虚部b=， 对应向量=(-2,。 故选 C。 6．已知复数则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.无法比较 【答案】A 【分析】本题考查复数模的计算，复数z=x+yi，模|z|=，分别求出模再比较大小。 【详解】 ， ===2 ， == 2>，所以。 故选 A。 7．复数-1+i的共轭复数为 ( ) A.--1+i B.1+i C.1-i D.-1-i 【答案】D 【分析】本题考查共轭复数定义。复数z=a+bi (a,b∈R)，它的共轭复数=a-bi，实部不变，虚部取相反数。 【详解】 z=-1+i，实部-1，虚部1， 共轭复数：-1-i。 故选 D。 8．设复数z在复平面内对应的点为Z，满足|z|>1的点Z的集合是 ( ) A．以原点O为圆心，以1为半径的圆上的点组成的集合 B．以原点O为圆心，以1为半径的圆外部的点组成的集合 C．以原点O为圆心，以1为半径的圆内部的点组成的集合 D．以原点O为圆心，以1为半径的圆上或其外部的点组成的集合 【答案】B 【分析】本题考查复数模的几何意义。|z|表示复数z对应的点到原点的距离，|z|>1代表到原点距离大于 1。 【详解】 |z|是复平面内点Z到原点O的距离。 · |z|=1：以原点为圆心，半径为 1 的圆上； · |z|>1：圆的外部； · |z|<1：圆的内部。 所以|z|>1表示以原点O为圆心，以 1 为半径的圆外部的点组成的集合。 故选 B。 9．在复平面内，复数a+bi(a,b∈R)对应的点在虚轴上，那么 ( ) A.a=0,b>0 B.a=0,b>0 C.a=0,b≠0 D.a=0,b=0 【答案】C 【分析】本题考查复数的几何意义。复数z=a+bi (a,b∈R)对应点(a,b)，虚轴上的点横坐标为 0，纵坐标不为 0。 【详解】 复数a+bi对应复平面内点(a,b)， 点在虚轴上，则实部a=0，且虚部b≠0。 故选 C。 10．设复数z=2-i，则在复平面内z对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【分析】本题考查复数的几何意义。复数z=a+bi (a,b∈R)对应复平面内点(a,b)，根据横纵坐标正负判断象限。 【详解】 z=2-i，对应点(2,-1)， 横坐标2>0，纵坐标-1<0，点在第四象限。 故选 D。 11.已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解. 【详解】由题知，，，，设. 则，. 因为为平行四边形，所以. 由，解得， 所以点对应的复数为. 故选：D. 12.已知复数、(i为虚数单位)、在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数的模为（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出 【详解】因为复数、(i为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为， 所以， 设，因为为平行四边形， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 故选：B. 13.在复平面上向量所对应的复数，与垂直，且，则对应的复数可以为______ 【答案】或 【分析】设，根据复数的几何意义可得、对应的点坐标，由可得，求出，结合即可求解. 【详解】设，则在复平面上对应的点坐标为， 因为，所以在复平面上对应的点坐标为， 由，得， 解得或， 所以或， 由，得， 当时，； 当时，， 所以或. 故答案为：或. 14．已知复数z与3-4i互为共轭复数，则z= 【答案】 3+4i 【分析】本题考查共轭复数概念。复数a+bi的共轭复数为a-bi 【详解】复数3-4i，实部3，虚部-4， 互为共轭复数，实部不变，虚部取相反数， 所以z=3+4i 综上：3+4i 15．已知复数，则|z|= 【答案】 【分析】本题考查复数模的计算。模|a+bi|=。 【详解】，则|z|=== 综上： 16． 已知复数z=(a-1)+2i对应的点在第二象限、且，则实数 【答案】a=-2 【分析】本题考查复数几何意义与复数模的计算。复数z=x+yi对应点(x,y)，第二象限x<0,y>0；模|z|=，列方程求解并检验条件。 【详解】 z=(a-1)+2i，对应点(a-1,2)。 点在第二象限：a-1<0，即a<1。 由： 两边平方： =9 解得 a=4 或 a=-2。 第二象限条件：a1<0 得 a<1，所以a=-2。 综上：a=-2。 17． 复平面内、复数对应的点在实轴上，则实数m= 【答案】m=1 【分析】本题考查复数的几何意义。复数z=a+bi (a,b∈R)对应复平面点(a,b)，点在实轴上，则虚部等于 0。 【详解】 ， 点在实轴上，虚部为 0： m-1=0 m=1 检验：m=1时，实部，复数z=0，对应点(0,0)在实轴上，符合题意。 综上：m=1。 18．已知复数在复平面内对应的点为Z，求实数m的值. （1）当Z位于虚轴上； （2）当Z位于第三象限内； （3）当Z位于以原点为圆心，以2为半径的圆内. 【答案】 (1)m=0 (2)-2<m<0 (3)-<m<-或<m<2 【分析】 本题考查复数的几何意义。复数z=a+bi (a,b∈R)对应复平面内点(a,b)；点在虚轴上实部为 0、虚部不为 0；第三象限横纵坐标均小于 0；点在圆内满足|z|<r。 【详解】 复数，对应点z(m,)。 （1）Z在虚轴上，则实部为 0，虚部不为 0 解得m=0。 （2）Z在第三象限，则横坐标小于 0，纵坐标小于 0 由得-2<m<2，结合m<0， 所以-2<m<0。 （3）Z在以原点为圆心，半径为 2 的圆内，则|z|<2 两边平方： ＜4 解得-<m<-或<m<2 19．已知复数 （1）若互为共轭复数，求实数a的值及 （2）若，求实数a的取值范围 【答案】 (1)a=2，==2 (2)-4≤a≤0 【分析】 本题考查共轭复数定义与复数模运算。复数z=x+yi的共轭复数xyi，实部不变，虚部互为相反数；模|x+yi|=。 【详解】 （1）与互为共轭复数，实部相等，虚部互为相反数。 虚部为\(-4\)，则虚部满足： a+2 = 4 解得a=2。 此时=-6+4i ==2 （2）先求： ==2 = 由，两边平方： 52≥ 解得-4≤a≤0 综上： (1)a=2，==2 (2) -4≤a≤0 20.复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求复数z； (2)复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用模长和为纯虚数列出方程组，结合复数z在复平面内所对应的点在第一象限，求出； （2）利用向量垂直得到方程，求出的值. 【详解】（1）设，则， 为纯虚数，则， 且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则， 可得，复数 （2）由题意可得，， ， 由，得 解得：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $