专题37 复数的概念 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题37 复数的概念 一、知识梳理 1. 虚数单位 引入了一个新的数，记作i，称为虚数单位，满足 2. 有关复数的概念 （1）复数：形如a+bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用小写的英文字母z、w、···来表示，如z=2+i; （2）实部：a称为复数a+bi的实部； （3）虚部：b称为复数a+bi的虚部； （4）虚数：当b≠0时，复数a+bi称为虚数； （5）纯虚数：当 a＝0且b≠0时，复数a+bi称为纯虚数. 3. 数系扩充 （1）复数集：全体复数构成的集合称为复数集，用C表示， 即C={z|z= a+bi，a，b∈R} （2）虚数集：全体虚数构成的集合称为虚数集； （3）纯虚数集：全体纯虚数构成的集合称为纯虚数集； （4）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示. 注意：最大的椭圆为复数集 4. 复数相等 如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，就称这两个复数相等，记作a+bi=c+di,即a+bi=c+di⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R) 若a+bi=0，则 a=0且b=0（a，b∈R） 二、题型精练 题型1 写出复数的实部和虚部 【典例1】．写出下列复数的实部和虚部． (1)1+i; (2)-3-3i; (4)0. 【答案】 (1) 实部 1，虚部 1； (2)实部 - 3，虚部 - 3； (3) 实部 0，虚部 ； (4) 实部 0，虚部 0。 【分析】本题考查复数实部、虚部的概念。复数标准形式 z=a+bi (a,b∈R)，a 为实部，b 为虚部。 【详解】 (1) 1+i=1+1i 实部：1，虚部：1。 (2)-3-3i=-3+(-3) i 实部：-3，虚部：-3。 (3) i=0+i 实部：0，虚部：。 (4) 0=0+0i 实部：0，虚部：0。 【典例2】．写出下列复数的实部和虚部． (1)2-3i; (2)i; (3) (4)2i+1. 【答案】 (1) 实部 2，虚部 - 3； (2)实部 0，虚部 1； (3) 实部 ，虚部 0； (4) 实部 1，虚部 2。 【分析】本题考查复数实部、虚部的概念。复数标准形式 z=a+bi (a,b∈R)，a 为实部，b 为虚部。 【详解】 (1) 23i=2+(-3) i 实部：2，虚部：-3。 (2) i=0+1i 实部：0，虚部：1。 (3) = +0i 实部：，虚部：0。 (4) 2i+1=1+2i 实部：1，虚部：2。 题型2 复数的分类 【典例1】．下列复数中，是纯虚数的是 ( ) A. B.i2 C.5 D.i 【答案】D 【分析】本题考查纯虚数的定义，复数z=a+bi(a,b∈ R)，满足a=0且b≠0为纯虚数。注意i2= -1。 【详解】 A.2-3i，实部2≠0，不是纯虚数； B.i2= -1=-1+0i，是实数，不是纯虚数； C.5=5+0i，是实数，不是纯虚数； D. i=0+1i，实部为 0，虚部1≠0，是纯虚数。 故选 D。 【典例2】．下列复数中，是纯虚数的是 ( ) B.0 C.5i+6 D.0.7 【答案】A 【分析】本题考查纯虚数定义。复数z=a+bi(a,b∈ R)，当a=0且b≠0时为纯虚数。 【详解】 A.-2i=0-2i，实部为 0，虚部-2≠0，是纯虚数； B.0=0+0i，虚部等于 0，不是纯虚数； C.5i+6=6+5i，实部6≠0，不是纯虚数； D.0.7=0.7+0i，是实数，不是纯虚数。 故选 A。 题型3 复数相等 【典例1】．若实数a,b满足等式(a-2b)+(3a+b)i=i则复数a+bi等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数相等的条件，两个复数相等，则实部与实部相等，虚部与虚部相等，列出方程组求解 a、b。 【详解】 由(a-2b)+(3a+b)i=i，得 由a=2b代入第二个方程： 3·2b +b=1 7b=1 解得 所以a+bi= 。 故选 A。 【典例2】．若实数a,b满足等式(a-1)+(3a+b)i=1-2i 则ab等于 ( ) A.-6 B.-16 C.6 D.16 【答案】B 【分析】本题考查复数相等的条件，两个复数相等，则实部相等，虚部相等，建立方程组求出 a、b，再计算 ab。 【详解】 由(a-1)+(3a+b)i=1-2i，可得方程组 由a-1=1，解得a=2。 把a=2代入3a+b=-2： 6+b=-2 得到 b=-8 ab=2×(-8)=-16 三、知识检测 1．复数1-2i的虚部为 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-2i 【答案】C 【分析】本题考查复数虚部的概念。复数z=a+bi(a,b∈R)，实部为a，虚部是实数b，不是bi。 【详解】 1-2i=1+(-2)i，实部为1，虚部为-2。 故选 C。 2．复数-i的实部为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.-i 【答案】A 【分析】本题考查复数实部的概念，复数z=a+bi(a,b∈R)，a是实部，b是虚部。 【详解】 -i=0+(-1)i，实部为0，虚部为-1。 故选 A。 3."a=0"是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查纯虚数概念与充分必要条件。复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0且b≠0。 【详解】 若复数a+bi是纯虚数，则一定有a=0，必要性成立； 若a=0，当b=0时，a+bi=0，是实数，不是纯虚数，充分性不成立。 所以 “a=0” 是 “复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数” 的必要不充分条件。 故选 B。 4．下列复数中，不是虚数的是 ( ) A.3-3i B.-i C.6+5i D.3 【答案】D 【分析】本题考查虚数、实数的概念。复数z=a+bi(a,b∈R)，当b≠0时为虚数；当b=0时为实数。 【详解】 A.3-3i，虚部-3≠0，是虚数； B.-i，虚部-1≠0，是虚数； C.6+5i，虚部5≠0，是虚数； D.3=3+0i，虚部为 0，是实数，不是虚数。 故选 D。 5．下列复数中，是纯虚数的是 ( ) A.-i B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查纯虚数定义。复数z=a+bi(a,b∈R)，满足a=0且b≠0为纯虚数。 【详解】 A.-i=0-1i，实部为 0，虚部-1≠0，是纯虚数； B.2+2i，实部2≠0，不是纯虚数； C.5=5+0i，是实数，不是纯虚数； D.12=12+0i，是实数，不是纯虚数。 故选 A。 6．已知a∈R，若复数a-i为纯虚数，则a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 【答案】C 【分析】本题考查纯虚数的定义。复数z=a+bi(a,b∈R)，当实部等于 0，虚部不等于 0 时，该复数为纯虚数。 【详解】 复数a-i=a+(-1)i，虚部为-1≠0。 因为是纯虚数，所以实部a=0。 故选 C。 7．已知a∈R，若满足等式3i，则a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.-1或1 D.-3或1 【答案】A 【分析】本题考查复数相等的条件，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列出方程组求解，注意检验。 【详解】 由3i，得 由，得a=1或a=-1。 把a=1代入第二个方程： -(1+2)=-3，-3=-3，成立。 把a=-1代入第二个方程： -(1-2)=1≠-3，舍去。 所以a=1。 故选 A。 8．若用C、R、A、B分别表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集，则下列关系中错误的是 ( ) A.R⊆C B.A⊆C C.B⊆A D.A⊆R 【答案】D 【分析】本题考查复数相关集合之间的关系。复数集 C 包含实数集 R 与虚数集 A；纯虚数集 B 是虚数集 A 的子集；实数和虚数没有包含关系。 【详解】 A. 实数都是复数，R⊆C，正确； B.虚数都是复数，A⊆C，正确； C. 纯虚数一定是虚数，B⊆A，正确； D. 虚数集 A 不是实数集 R 的子集，虚数不是实数，A⊆R错误。 故选 D。 9．若实数a,b满足等式b+2i=1+ai，则复数a+bi 等于 ( ) A.-1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 【答案】C 【分析】本题考查复数相等的条件，两个复数相等，则实部相等，虚部相等，解出 a、b，再写出复数 a+bi。 【详解】 由b+2i=1+ai，实部：b=1，虚部：2=a。 则a=2，b=1，a+bi=2+i，对应选项 C。 故选 C。 10.已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】先由复数运算化简得，由复数的相等，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：D. 11.欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】直接代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知，， ， ，， 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 12.已知复数，且，则______． 【答案】或 【分析】根据相等复数解决即可. 【详解】由题知，复数，且， 因为， 所以，即，解得或， 所以或. 故答案为：或 13．若复数a+bi(a,b∈R)为实数，则b= 【答案】0 【分析】本题考查实数的复数定义。复数 z=a+bi (a,b∈R)，当虚部 b=0 时，复数为实数。 【详解】 复数z=a+bi (a,b∈R)， 当虚部b=0时，复数a+bi是实数。 故答案为：0。 14．复数1+3i的虚部为 【答案】3 【分析】本题考查复数虚部的概念。复数 z=a+bi (a,b∈R)，a 是实部，b 是虚部。 【详解】 1+3i=1+3i，实部为 1，虚部为 3。 故答案为：3。 15．以复数1-2i的虚部为实部，以复数的实部为虚部的新复数是 . 【答案】-2+2i 【分析】本题考查复数实部、虚部的概念，先分别找出两个复数的虚部、实部，再组成新复数。 【详解】 复数1-2i，虚部为-2； 复数2+i的实部为2。 新复数：-2+2i。 故答案为：-2+2i。 16．已知复数求满足下列条件的实数m的值. （1)z是实数； （2)z是虚数； （3)z是纯虚数． 【答案】 (1)m=6或m=-2； (2)m≠6且m≠-2； (3)m=4。 【分析】本题考查复数分类。复数z=a+bi (a,b∈R)，b=0为实数；b≠0为虚数；a=0且b≠0为纯虚数。 【详解】 实部：，虚部： (1)z是实数，则虚部等于 0 =0，解得m=6或m=-2。 (2)z是虚数，则虚部不等于 0 ≠0 解得m≠6且m≠-2。 (3) z是纯虚数，则实部为 0，虚部不为 0 解得m=4或m=-2 ，解得m≠6且m≠-2。 舍去m=-2，得m=4。 综上： (1)m=6或m=-2； (2)m≠6且m≠-2； (3)m=4。 17．已知实数a,b满足等式(2a-1)+(b+3)i=1-(2-a)i，求a,b的值 【答案】 a=1，b=-4 【分析】本题考查复数相等的条件，两个复数相等，则实部相等，虚部相等，列方程组求解 a、b。 【详解】 由2a-1)+(b+3)i=1-(2-a)i，得 由2a-1=1， 2a=2，解得a=1。 把a=1代入b+3=-(2-a)： b+3=-(2-1)\ b+3=-1 b=-4 综上可得：a=1，b=-4。 18.已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 19.求实数的值，使得复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数为实数时解决即可；（2）根据复数为纯虚数时解决即可. 【详解】（1）由题知， 复数为实数当且仅当，即或， 所以当或时，复数为实数. （2）复数为纯虚数当且仅当，即， 唯一满足此条件的的值是， 所以当时，复数为纯虚数. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题37 复数的概念 一、知识梳理 1. 虚数单位 引入了一个新的数，记作i，称为虚数单位，满足 2. 有关复数的概念 （1）复数：形如a+bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用小写的英文字母z、w、···来表示，如z=2+i; （2）实部：a称为复数a+bi的实部； （3）虚部：b称为复数a+bi的虚部； （4）虚数：当b≠0时，复数a+bi称为虚数； （5）纯虚数：当 a＝0且b≠0时，复数a+bi称为纯虚数. 3. 数系扩充 （1）复数集：全体复数构成的集合称为复数集，用C表示， 即C={z|z= a+bi，a，b∈R} （2）虚数集：全体虚数构成的集合称为虚数集； （3）纯虚数集：全体纯虚数构成的集合称为纯虚数集； （4）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示. 注意：最大的椭圆为复数集 4. 复数相等 如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，就称这两个复数相等，记作a+bi=c+di,即a+bi=c+di⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R) 若a+bi=0，则 a=0且b=0（a，b∈R） 二、题型精练 题型1 写出复数的实部和虚部 【典例1】．写出下列复数的实部和虚部． (1)1+i; (2)-3-3i; (4)0. 【典例2】．写出下列复数的实部和虚部． (1)2-3i; (2)i; (3) (4)2i+1. 题型2 复数的分类 【典例1】．下列复数中，是纯虚数的是 ( ) A. B.i2 C.5 D.i 【典例2】．下列复数中，是纯虚数的是 ( ) B.0 C.5i+6 D.0.7 题型3 复数相等 【典例1】．若实数a,b满足等式(a-2b)+(3a+b)i=i则复数a+bi等于 ( ) A. B. C. D. 【典例2】．若实数a,b满足等式(a-1)+(3a+b)i=1-2i 则ab等于 ( ) A.-6 B.-16 C.6 D.16 三、知识检测 1．复数1-2i的虚部为 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-2i 2．复数-i的实部为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.-i 3."a=0"是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．下列复数中，不是虚数的是 ( ) A.3-3i B.-i C.6+5i D.3 5．下列复数中，是纯虚数的是 ( ) A.-i B. C. D. 6．已知a∈R，若复数a-i为纯虚数，则a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 7．已知a∈R，若满足等式3i，则a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.-1或1 D.-3或1 8．若用C、R、A、B分别表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集，则下列关系中错误的是 ( ) A.R⊆C B.A⊆C C.B⊆A D.A⊆R 9．若实数a,b满足等式b+2i=1+ai，则复数a+bi 等于 ( ) A.-1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 10.已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 11.欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12.已知复数，且，则______． 13．若复数a+bi(a,b∈R)为实数，则b= 14．复数1+3i的虚部为 15．以复数1-2i的虚部为实部，以复数的实部为虚部的新复数是 . 16．已知复数求满足下列条件的实数m的值. （1)z是实数； （2)z是虚数； （3)z是纯虚数． 17．已知实数a,b满足等式(2a-1)+(b+3)i=1-(2-a)i，求a,b的值 18.已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 19.求实数的值，使得复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $