专题22 中点公式和距离公式 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题22 中点公式和距离公式 一、知识梳理 1．中点公式：若点，点，点M(x,y)是线段AB的中点，则x=, y= 2．平面向量的长度公式 若a=(x,y)，则|a|= 如果已知，则 所以.（这是平面上两点间的距离公式.） 二、题型精练 题型1 距离公式 【典例1】．已知△ABC三个顶点分别为A(-1,2),B(3,1),C(0,2)，求中线AD 的长. 【答案】中线AD的长为 【分析】本题考查中点坐标公式与两点间距离，AD为BC边上中线，求出BC中点D，再计算A到D距离。 【详解】B(3,1)，C(0,2)，BC中点D： D（，）= A(-1,2) |AD|== = 综上：中线AD长为 。 【典例2】．已知两点A(3,-5),B(-1,-7)，求向量的长度. 【答案】||=2 【分析】本题考查向量坐标与向量模长。先求出坐标，再用模长公式||=计算长度。 【详解】 A(3,-5)，B(-1,-7),=(-1-3,-7-(-5))=(-4,2) ||===2 综上：向量的长度为2 题型2 中点公式和对称公式 【典例1】．求点A(-4,-1）关于点C(1，3）的对称点B的坐标． 【答案】B(6,7) 【分析】本题考查中点坐标公式。C是A,B的中点，设B(x,y)，利用中点公式列方程求解。 【详解】 设对称点B(x,y)，C(1,3)为线段AB中点，A(-4,-1) 解得x=6,y=7 综上：对称点B坐标为(6,7)。 【典例2】．点A(2,3）关于点B(-3,5）的对称点C的坐标为 【答案】C(-8,7) 【分析】本题考查中点坐标公式，B是A、C的中点，设C(x,y)，代入中点公式列方程求解。 【详解】 设对称点C(x,y)，B(-3,5)是A(2,3)与C的中点 解得x=-8,y=7 综上：对称点B坐标为(-8,7)。 三、知识检测 1. 已知两点的坐标分别为，，那么这两点的中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】由于， 所以中点. 故选：C. 2. 点A(-3,4）关于点M(1,-3）的对称点的坐标是 ( ) A. B. C.(-5,10) D.(5,-10) 【答案】D 【分析】本题考查中点坐标公式。M是点A与其对称点B的中点，设对称点B(x,y），利用列方程求解。 【详解】 设对称点为B(x,y），(M(1,-3)是A(-3,4)、B的中点 解得x=5,y=-10 所以对称点坐标为(5,-10）。 故选 D。 3.已知A(-1,-2),B(4,10)，则线段AB的长度为 ( ) A.14 B.13 C.12 D.11 【答案】B 【分析】本题考查两点间距离（向量模长），直接使用距离公式计算。 【详解】 A(-1,-2)，B(4,10) =故选 B。 4. 已知A(x,2),B(0,4)的距离为3，则x的值为 ( ) A. C．或- D.5 【答案】C 【分析】本题考查两点间距离公式，代入距离公式建立方程求解x。 【详解】 A(x,2)，B(0,4)，|AB|=3 = = =5 x= 故选C 5.若平行四边形的两个顶点、的坐标分别为 ，则其对角线交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】两个顶点、的坐标分别为 ， 则其对角线交点的坐标为. 故选：B. 6.已知A(x,2),B(0,4)的距离为3，则x的值为( ) A. C．或- D.5 【答案】C 【分析】本题考查两点间距离公式，把两点坐标代入距离公式建立方程求解x。 【详解】 已知A(x,2)，B(0,4)，|AB|=3 = = =5 x= 故选 C。 7.点A(3,-2）关于B(5,0）的对称点为 ( ) A.(7,2) B.(4,-1) C.(8,-2) D.(-2,-2) 【答案】A 【分析】本题考查中点坐标公式。B是点A与其对称点的中点，设对称点为C(x,y)，代入中点公式列方程求解。 【详解】 设对称点C(x,y)，B(5,0)是A(3,-2)、C的中点 解得x=7,y=2 对称点坐标为(7,2)。 故选 A。 8．已知A(6,-1),B(4,1),P为线段AB的中点，则为 ( ) A.(1,-1) B.(0,4) C.(-1,1) D.(5,4) 【答案】C 【分析】本题考查中点坐标与向量坐标运算。先求中点P的坐标，再计算。 【详解】 A(6,-1)，B(4,1)，P是AB中点 P( =(5-6,0-(-1))=(-1,1) 故选 C。 9. 已知点A(a,2）关于点M(8,-1)的对称点为，则a= ， 【答案】a=12，b=-4 【分析】本题考查中点坐标公式，M是A与的中点，代入中点公式列方程求参数。 【详解】 A(a,2），，中点M(8,-1) 解得a=12,b=-4 综上：a=12,b=-4。 10.已知点M在直线y=x上，并且到点A(5，7）的距离为10，则点M的坐标为 · 【答案】(13,13)或(-1,-1) 【分析】本题考查点在直线上的条件以及两点间距离公式。点M在y=x上，可设M(t,t)，利用距离等于10列方程求解参数t。 【详解】 点M在直线y=x上，设M(t,t)，A(5,7)，|MA|=10 = =100 解得 t=13或t=-1。 M坐标为(13,13)或(-1,-1)。 综上：(13,13)或(-1,-1)。 11.已知点和点关于点对称，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】由中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点和点关于点对称，所以点为点和点的中点， 由中点坐标公式可得点坐标为. 故答案为： 12. 已知点，，则线段的中点坐标为______. 【答案】 【分析】根据两点的中点坐标公式求解即可. 【详解】因为点，， 所以线段的中点为. 故答案为：. 13. 已知A(-2,1),B(2,3)，求线段AB的中点M的坐标及 【答案】中点M(0,2)，=(4,2) 【分析】本题考查中点坐标公式与向量坐标运算。利用中点公式求中点，坐标等于终点坐标减去起点坐标。 【详解】A(-2,1),B(2,3) 求中点M： = 0, = 2 所以 M(0,2) =(2-(-2), 3-1)=(4,2) 综上：中点M坐标(0,2)}，=(4,2) 。 14.已知的三个顶点，求 (1)边上的中点D的坐标； (2)计算边上的中线的长度； 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据中点坐标公式求值即可. （2）根据两点之间的距离公式求值即可. 【详解】（1）已知的三个顶点， 则边上的中点D的坐标为，即. （2）边上的中线为， 则. 15.已知三角形的三个顶点为 . (1)求边 的长度. (2)求边 的中点D的坐标. (3)求中线 的长度. 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可求解； （2）根据中点公式可求解； （3）根据两点间的距离公式可求解； 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以边 BC 的中点D的坐标为，即为所求； （3）由（2）可知， . 16.已知求线段BD的中点坐标. 【答案】（-1，） 【分析】本题考查向量求点坐标、中点坐标公式。先由点A和向量求出B、D两点坐标，再用中点公式求BD中点。 【详解】A(-2,-1)， =B-A B=A+ B(-2+3, -1+4)=(1,3) D=A+=(-2-1, -1+3)=(-3,2) 设BD中点为M(x,y) x= =-1,y= 综上：BD中点坐标为（-1，）。 17．平面直角坐标系中，x轴上一点P与点A(1,-4）的距离为5，求点P的坐标． 【答案】P(4,0)或P(-2,0) 【分析】本题考查两点间距离公式。P在x轴上，则纵坐标为0，设P(x,0)，代入距离公式列方程求解。 【详解】 因为点P在x轴上，设P(x,0)，A(1,-4)，|PA|=5 =5 =9 x-1=±3 x=4或x=-2 点P坐标为(4,0)或(-2,0)。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 中点公式和距离公式 一、知识梳理 1．中点公式：若点，点，点M(x,y)是线段AB的中点，则x=, y= 2．平面向量的长度公式 若a=(x,y)，则|a|= 如果已知，则 所以.（这是平面上两点间的距离公式.） 二、题型精练 题型1 距离公式 【典例1】．已知△ABC三个顶点分别为A(-1,2),B(3,1),C(0,2)，求中线AD 的长. 【典例2】．已知两点A(3,-5),B(-1,-7)，求向量的长度. 题型2 中点公式和对称公式 【典例1】．求点A(-4,-1）关于点C(1，3）的对称点B的坐标． 【典例2】．点A(2,3）关于点B(-3,5）的对称点C的坐标为 三、知识检测 1. 已知两点的坐标分别为，，那么这两点的中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2. 点A(-3,4）关于点M(1,-3）的对称点的坐标是 ( ) A. B. C.(-5,10) D.(5,-10) 3.已知A(-1,-2),B(4,10)，则线段AB的长度为 ( ) A.14 B.13 C.12 D.11 4. 已知A(x,2),B(0,4)的距离为3，则x的值为 ( ) A. C．或- D.5 5.若平行四边形的两个顶点、的坐标分别为 ，则其对角线交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6.已知A(x,2),B(0,4)的距离为3，则x的值为( ) A. C．或- D.5 7.点A(3,-2）关于B(5,0）的对称点为 ( ) A.(7,2) B.(4,-1) C.(8,-2) D.(-2,-2) 8．已知A(6,-1),B(4,1),P为线段AB的中点，则为 ( ) A.(1,-1) B.(0,4) C.(-1,1) D.(5,4) 9. 已知点A(a,2）关于点M(8,-1)的对称点为，则a= ， 10.已知点M在直线y=x上，并且到点A(5，7）的距离为10，则点M的坐标为 · 11.已知点和点关于点对称，则点的坐标是______． 12.已知点，，则线段的中点坐标为______. 13. 已知A(-2,1),B(2,3)，求线段AB的中点M的坐标及 14.已知的三个顶点，求 (1)边上的中点D的坐标； (2)计算边上的中线的长度； 15.已知三角形的三个顶点为 . (1)求边 的长度. (2)求边 的中点D的坐标. (3)求中线 的长度. 16.已知求线段BD的中点坐标. 17．平面直角坐标系中，x轴上一点P与点A(1,-4）的距离为5，求点P的坐标． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $