专题21 平面向量平行和垂直的坐标表示 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题21 平面向量平行和垂直的坐标表示 一、知识梳理 对于任意向量，则： (1))a∥b⇔=0 (2)a⊥b⇔=0 二、题型精练 题型1 判断两向量是否平行 【典例1】．已知：a=(3,2),b=(y,-4)，且a／/b，求y值，并判断a与b同向还是反向. 【典例2】．已知点A(2,3),B(1,4),C(-1,2),D(0,y), 共线，则y的值为（） A.0 B.1 C.-1 D.2 题型2 两向量平行的坐标表示 【典例1】．已知a=(sin ,2),b=(-cos ,1)，若a∥b，则tan = ( ) A. B.2 C. D.-2 【典例2】．已知向量a=(x+2,1+x),b=(x-2,1-x)，若a∥b，则 ( ) A. B.|x|=2 C. D.|x|=3 题型3 判断两向量是否垂直 【典例1】．已知：设x∈R，向量a=(x,1)b=(1,-2)，且a⊥b，则(a+b)·(a-b)的值是( ) A.x B.1 C.0 D.-1 【典例2】已知向量a=（1，3），b=（2，0），若向量a+kb与a+b垂直，求实数k的值 题型4 向量内积的应用 【典例1】． 已知三角形的三个顶点是A(6,3),B(9,3),C(3,6)，求： (1) (2) (3)∠BAC的度数. 【典例2】．已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(1,2),C(5,4). 求：(1）向量,的坐标； (2)∠B; （3)AC边的中线长． 三、知识检测 1. 已知向量a=(-2,3),b=(4,-6)，则a 和b ( ) A.共线且方向相同 B.共线且方向相反 C.是相反向量 D.不共线 2. 已知向量a=(2,x),b=(-1,3)，且a∥b 则x= ( ) A.6 B.-6 C. D. 3. 已知向量a=(-1,2),b=(-2,-x)，若a⊥b,，则x等于 ( ) A.-1 B.1 C. D. 4. 已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3)，且a⊥(a+b)，则x= ( ) A. B. C. D. 5. 向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则m= ( ) A.2 B.-2 C. D. 6. 已知向量a=(-2,m),b=(1,-2)，若a⊥b，则m的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 7.设a，且a∥b，则锐角为 ( ) A.30° B.60° C.75° D.45° 8. 设x，y∈R，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(1,-2)，且a⊥c,b∥c,，则x+y= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 10.下列各组的两个向量，共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11.若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 12.已知向量，，，若，则（    ） A． B．2 C．-1 D．-2 13.顺次连接点，，，所构成的图形是（    ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 14.已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 15. 已知三点A(2,-3),B(m,-1),C(3,2)在同一条直线上，求实数m的值 16.已知向量a=(3,-4)，b与a的方向相反且|b|=10，求b. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 平面向量平行和垂直的坐标表示 一、知识梳理 对于任意向量，则： (1))a∥b⇔=0 (2)a⊥b⇔=0 二、题型精练 题型1 判断两向量是否平行 【典例1】．已知：a=(3,2),b=(y,-4)，且a／/b，求y值，并判断a与b同向还是反向. 【答案】y=-6；a与b反向 【分析】本题考查向量平行的坐标条件，若a=（），b=()，a∥b⇔=0，求出y后，看a=b中正负判断同向反向。 【详解】 已知a=(3,2),b=(y,-4)，且a／/b 3×（-4）-y×2=0 -12-2y=0 -2y=12 y=-6 则b=(-6,-4)。 b=(-6,-4)=-2(3,2)=-2a =-2<0，故a与b反向。 综上：y=-6，a与b反向。 【典例2】．已知点A(2,3),B(1,4),C(-1,2),D(0,y), 共线，则y的值为（） A.0 B.1 C.-1 D.2 【答案】B 【分析】本题考查向量共线的坐标条件，先求出与坐标，利用共线条件=0列方程求解y。 【详解】 A(2,3)，D(0,y)，B(1,4)，C(-1,2) =(0-2,y-3)=(-2, y-3) =(-1-1,2-4)=(-2,-2) 与坐共线： （-2）×（-2）-（-2）·（y-3）=0 4+2（y-3）=0 4+2y-6=0 2y=2 y=1. 故选 B。 题型2 两向量平行的坐标表示 【典例1】．已知a=(sin,2),b=(-cos ,1)，若a∥b，则tan = ( ) A. B.2 C. D.-2 【答案】D 【分析】本题考查向量平行坐标条件与同角三角函数，两向量平行满足=0，再化切求值。 【详解】 sin ×1-（-cos ）×2=0 Sin+2cos=0 tan = =-2 故选 D。 【典例2】．已知向量a=(x+2,1+x),b=(x-2,1-x)，若a∥b，则 ( ) A. B.|x|=2 C. D.|x|=3 【答案】A 【分析】本题考查向量平行的坐标条件，a∥b⇔=0，代入坐标展开化简得到的值。 【详解】 a=(x+2,1+x),b=(x-2,1-x)，a∥b （x+2）（1-x）-（x-2）（1+x）=0 （x-+2-2x）-（x+-2-2x）=0 （-+2-x）-（-2-x）=0 --x+2-+x+2=0 -+4=0 =4 =2 故选 A。 题型3 判断两向量是否垂直 【典例1】．已知：设x∈R，向量a=(x,1)b=(1,-2)，且a⊥b，则(a+b)·(a-b)的值是( ) A.x B.1 C.0 D.-1 【答案】C 【分析】本题考查向量垂直坐标性质与数量积，a⊥b⇔a·b=0，求出x，再计算(a+b)·(a-b)。 【详解】a=(x,1)b=(1,-2)，且a⊥b a·b=x·1+1×（-2）=0 x=2 即 a=(2,1)，b=(1,-2) a+b=（3，-1），a-b=（1，3） (a+b)·(a-b)=3×1+（-1）×3=3-3=0 故选 C。 【典例2】已知向量a=（1，3），b=（2，0），若向量a+kb与a+b垂直，求实数k的值 【答案】k=-2 【分析】本题考查向量坐标运算与向量垂直条件，两向量垂直，则数量积等于 0。先求出a+kb与a+b的坐标，再利用数量积为 0 列方程求解k。 【详解】 已知a=（1，3），b=（2，0） a+kb=(1,3)+k(2,0)=(1+2k,3) a+b=(1+2, 3+0)=(3,3) 因为a+kb⊥a+b，所以它们的数量积为 0： （1+2k）·3+3×3=0 3+6k+9=0 6k=-12 K=-2 综上：k=-2。 题型4 向量内积的应用 【典例1】． 已知三角形的三个顶点是A(6,3),B(9,3),C(3,6)，求： (1) (2) (3)∠BAC的度数. 【答案】 (1)=-9 (2)=3 (3)∠ BAC=135° 【分析】本题考查平面向量坐标运算、向量模长、数量积求夹角。先求出坐标，计算数量积与模，再代入夹角公式求出三角形内角。 【详解】 (A(6,3)，B(9,3)，C(3,6) =(9-6,3-3)=(3,0)=(3-6,6-3)=(-3,3) (1) = 3×(-3)+0× 3=-9 (2) ==3 = = 3 (3) cos ∠ BAC= = = - 因为0°<∠ BAC<180°，所以∠ BAC=135°。 【典例2】．已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(1,2),C(5,4). 求：(1）向量,的坐标； (2)∠B; （3)AC边的中线长． 【答案】 (1)=(-3,1)，=(4,2) （2）∠ B=135° (3)AC边的中线长为 【分析】本题考查向量坐标运算、数量积求夹角、中点坐标与向量模长。先求出,；利用数量积夹角公式求∠B；求出AC中点，再计算中线BM的模长。 【详解】A(-2,3)，B(1,2)，C(5,4) (1) =(-2-1,3-2)=(-3,1) =(5-1,4-2)=(4,2) (2) ·=(-3)×4 +1×2=-10 ||== ||== =2 cos B= = - 0°< B<180°，∠ B=135°。 (3) 设AC中点M M（， |BM|=== = 三、知识检测 1. 已知向量a=(-2,3),b=(4,-6)，则a 和b ( ) A.共线且方向相同 B.共线且方向相反 C.是相反向量 D.不共线 【答案】B 【分析】本题考查向量共线与方向判断，看能否写成a=b，>0同向，<0反向；相反向量要求模相等、方向相反。 【详解】 已知a=(-2,3)，b=(4,-6) b=(4,-6)=-2(-2,3)=-2a b=-2a，=-2<0，所以a与b共线且方向相反。 模长：|b|=2|a|，模不相等，不是相反向量。 故选 B。 2. 已知向量a=(2,x),b=(-1,3)，且a∥b 则x= ( ) A.6 B.-6 C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量平行的坐标条件，a=(),b=()，a∥b⇔=0，代入解方程求x。 【详解】 a=(2,x),b=(-1,3)，且a∥b 2×3-（-1）·x=0 6+x=0 x=-6 故选 B。 3. 已知向量a=(-1,2),b=(-2,-x)，若a⊥b,，则x等于 ( ) A.-1 B.1 C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量垂直坐标条件，两向量垂直，数量积为 0，代入坐标建立方程求x。 【详解】 a·b=（-1）×（-2）+2×（-x）=0 2-2x=0 x=1 故选 B。 4. 已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3)，且a⊥(a+b)，则x= ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量坐标运算与向量垂直条件，先求出a+b的坐标，利用垂直则数量积为 0 列方程求解x。 【详解】 a=(3,1),b=(x,-3) a+b=(3+x,1-3)=(3+x,-2) a⊥(a+b)，则a·(a+b)=0 3(3+x)+1×(-2)=0 9+3x-2=0 3x+7=0 x=- 故选 C。 5. 向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则m= ( ) A.2 B.-2 C. D. 【答案】D 【分析】本题考查向量坐标运算与向量平行条件，先求出ma+b与a-2b的坐标，再利用平行条件=0列方程求m。 【详解】 a=(2,3),b=(-1,2) ma+b=m(2,3)+(-1,2)=(2m-1,3m+2) a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(2+2, 3-4)=(4,-1) ma+b与a-2b平行： （2m-1)×(-1)-4×(3m+2)=0 -2m+1-12m-8=0 -14m-7=0 m= - 故选 D。 6. 已知向量a=(-2,m),b=(1,-2)，若a⊥b，则m的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】B 【分析】本题考查向量垂直的坐标条件，a⊥b⇔a·b=0，对应坐标相乘再相加等于 0，解方程求出m。 【详解】a=(-2,m),b=(1,-2)，a⊥b a·b=0 -2× 1 + m×(-2)=0 -2-2m=0 m=-1 故选 B。 7.设a，且a∥b，则锐角为 ( ) A.30° B.60° C.75° D.45° 【答案】D 【分析】本题考查向量平行坐标条件与三角函数，a∥b⇔=0，求出tan ，结合锐角求角度。 【详解】 由题意a，且a∥b ·1- ·1=0 =cos tan =1 是锐角，=45°。 故选 D。 8. 设x，y∈R，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(1,-2)，且a⊥c,b∥c,，则x+y= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【分析】本题考查向量垂直、向量平行的坐标条件。a⊥c=0；b∥c==0，分别求出x,y，再计算x+y。 【详解】 a=(x,1)，c=(1,-2)，a⊥c x·1+1×（-2）=0 x-2=0 x=2 b=(1,y),c=(1,-2)，b∥c 1×（-2）-1·y=0 y=-2 故选 A。 9.与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的知识求得正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以，A选项正确. B选项，若，而，所以不平行，B选项错误. C选项，若，而，所以不平行，C选项错误. D选项，若，而，所以不平行，D选项错误. 故选：A 10.下列各组的两个向量，共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量的共线的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，可得，所以两向量不共线； 对于B中，由，，可得，所以两向量不共线； 对于C中，由，，可得，所以两向量共线； 对于D中，由，，可得，所以两向量不共线. 故选：C. 11.若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出合适的选项. 【详解】由已知可得， 因为，，，， 因此，向量与共线. 故选：D. 12.已知向量，，，若，则（    ） A． B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，， 所以, 又，所以，解得. 故选：A 13.顺次连接点，，，所构成的图形是（    ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】由题可得，利用共线及数量积即得. 【详解】因为，，，, 所以，， ∴，且,与不垂直， 所以四边形是平行四边形. 故选：B. 14.已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到与不共线，从而列出不等式，求出答案. 【详解】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线， ∵，，， ∴，， ∴，解得. 故选：B． 15. 已知三点A(2,-3),B(m,-1),C(3,2)在同一条直线上，求实数m的值 【答案】m= 【分析】本题考查三点共线与向量共线，三点共线，则由这三点构成的两个向量共线，利用共线条件=0求参数。 【详解】 A(2,-3),B(m,-1),C(3,2)，m-2，2），=(1,5) （m-2）·5-1×2=0 5m=12 m= 综上：m= 16.已知向量a=(3,-4)，b与a的方向相反且|b|=10，求b. 【答案】b=(-6,8) 【分析】本题考查向量方向相反与模长。b与a反向，则b=a(＜0)，先求|a|，结合|b|=10求出，再得到b坐标。 【详解】 a=(3,-4) |a|==5 因为b与a方向相反，设b=a(＜0) |b|=|||a|=10||×5=10 ||=2。 又＜0，所以=-2 b=a=-2（3，-4）=（-6，8） 综上：b=(-6,8) 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $