专题20 平面向量的直角坐标及其运算 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题20 平面向量的直角坐标及其运算 一、知识梳理 1．平面向量直角坐标的定义 在平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴的正方向相同的两个单位向量i,j.对于任意一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj，我们把（x,y）称为向量a在平面直角坐标系xOy 中的坐标.记作a=（x,y）。 【注】 i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).在平面直角坐标系平面内，每一个平面向量的坐标表示都是唯一的. 若，则⇔.相等的向量坐标是相同的，但起点和终点的坐标可以不同. 2．用坐标表示的两个向量相等的条件 若，则a=b⇔ 3．平面向量的直角坐标运算 如果，则 (1)a+b=; (2)a-b=; (3)λa= (4)a·b=. 二、题型精练 题型1 平面向量的坐标表示 【典例1】．已知，则点D的坐标为 ( ） A.(11,9) B.(4,0) C.(9,3) D.(9,-3) 【答案】D 【分析】本题考查向量坐标与点坐标关系，先求出坐标，再利用=D，求点D坐标。 【详解】 已知， =2(5,-3)=(10,-6)\) 设D(x,y)，C(-1,3) =(x-(-1), y-3)=(x+1,y-3) 列方程组： 解得 解得D(9,-3)。 故选 D。 【典例2】．已知点A(-1,1),B(-4,5),，若3，则点C的坐标为 ( ) A.(-10,13) B.(9,-12) C.(-5,7) D.(5,-7) 【答案】D 【分析】本题考查向量坐标运算，先求，再求，根据向量坐标与点坐标关系列方程求C。 【详解】 A(-1,1)，B(-4,5) =(-1-(-4),1-5)=(3,-4) 3=3(3,-4)=(9,-12) 设C(x,y)， =(x-(-4),y-5)=(x+4,y-5)=(9,-12) 解得 所以C(5,-7)。 故选 D。 题型2 平面向量的坐标运算 【典例1】．已知a=(1,-1),b=(4,3)，求 (1)a+b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)a·(a -b). 【答案】 (1)a+b=(5,2) (2)a-b=(-3,-4) (3)2a+3b=(14,7) (4)a·（a-b）=1 【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量加减、数乘对应坐标分别运算，数量积为横、纵坐标分别相乘再求和。 【详解】 已知a=(1,-1),b=(4,3) (1)a+b=（1+4，-1+3）=（5，2） (2)a-b=（1-4，-1-3）=（-3，-4） (3)2a+3b=2（1，-1）+3（4，3）=（2，-2）+（12，9）=（2+12，-2+9）=（14，7） (4)由 (2) 知a-b=(-3,-4) a·（a-b）=1×（-3）+（-1）×（-4）=-3+4=1 【典例2】．已知a=(2,-1),b=(3,0).求 (1)a+b;(2)a-b;(3)3a-2b;(4)(a+b)·(a-2b). 【答案】 (1)a+b=(5,-1) (2)a-b=(-1,-1) (3)3a-2b=(0,-3) (4)（a+b）·（a-2b）=-10 【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量加减、数乘对应坐标分别运算，数量积为横、纵坐标分别相乘再求和。 【详解】 已知a=(2,-1),b=(3,0) (1)a+b=（2+3，-1+0）=（5，-1） (2)a-b=（2-3，-1-0）=（-1，-1） (3)3a-2b=3（2，-1）-2（3，0）=（6，-3）-（6，0）=（6-6，-3-0）= （0，-3） (4)a-2b=(2，-1)-2（3，0）=（2，-1）-（6，0）=（-4，-1） 由（1）a+b=(5,-1) （a+b）·（a-2b）=5×（-4）+（-1）×（-1）=-20+1=-10 三、知识检测 1. 已知平行四边形ABCD中，A(-4,-2),),B(2,-4),C(5,-1)，则点D 的坐标为( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(11,-3) D.(-11,3） 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形向量性质，平行四边形中=，利用向量坐标相等列方程求点D坐标。 【详解】 设(D(x,y)，A(-4,-2)，B(2,-4)，C(5,-1) =(2-(-4),-4-(-2))=(6,-2) =(5-x,-1-y) 平行四边形ABCD，= 解得 所以D(-1,1)。 故选 B。 2. 已知点A(3,1),B(2,-1)，则向量的坐标是 ( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(1,2) D.(-1,-2) 【答案】D 【分析】本题考查向量坐标公式，=B-A，终点坐标减去起点坐标。 【详解】 已知A(3,1)，B(2,-1) =(2-3,-1-1)=(-1,-2) 故选 D。 3. 已知点M(-3,2),N(5,1),，则等于( ) A.(8,1) B.(-8,1) C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量坐标运算，先求（终点减起点），再数乘。 【详解】 已知M(-3,2)，N(5,1) =(5-(-3),1-2)=(8,-1) =(8,-1)=t(4,-) 故选 C。 4. 已知，则等于 ( ) A.(1,-9) B.(-1,9) C.(-1,-9) D.(1,9) 【答案】D 【分析】本题考查向量减法运算，=-，终点向量减起点向量，坐标对应相减。 【详解】 =-=(-2-(-3), 5-(-4))=(1,9) 故选 D。 5. 已知点a=(-1,8),b=(2,4)，则2a-b= ( ) A.(1,12) B.(4,-12) C.(-3,4) D.(-4,12) 【答案】D 【分析】本题考查向量坐标数乘与减法运算，数乘坐标每个分量都乘系数，再对应坐标相减。 【详解】 已知a=(-1,8),b=(2,4) 2a-b=2(-1,8)-(2,4)=(-2,16)-(2,4)=(-2-2,16-4)=(-4,12) 故选 D。 6. 已知，点A(3,1)，则点B的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(-2,-2) C.(8,4) D.(4,8) 【答案】C 【分析】本题考查向量坐标运算，=B-A，已知与点A，求点B坐标：B=A+。 【详解】 设B(x,y)，A(3,1)，=(5,3) =(x-3,y-1)=(5,3) 即 解得，即B(8,4)。 故选 C。 7. 已知A(1,-1),B(4,2),P为AB的中点，的坐标为 ( ) A.(5,4) B.(3,-3) C. D. 【答案】D 【分析】本题考查中点向量， = ，先求，再数乘 。 【详解】 A(1,-1)，B(4,2) =(4-1,2-(-1))=(3,3) P为AB中点， = =（ ， ） 故选 D。 8. 已知向量a=(x-2,3),b=(1,2+y)，且a=b，则 ( ) A.3 B. C.2 D. 【答案】C 【分析】本题考查相等向量坐标性质，向量相等对应横、纵坐标分别相等，求出x、y后计算x-y。 【详解】a=b，则坐标对应相等： 由x-2=1得x=3； 由3=2+y得y=1。 x-y=3-1=2 故选 C。 9. 已知点，且a =b，则y-x= ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查相等向量坐标运算与对数指数计算，向量相等对应坐标相等，解出x、y求y-x。 【详解】 由a =b： 解得 y-x=2- = 故选 B。 10.已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将坐标代入中计算结果. 【详解】解：因为，， 所以. 故选：A 11.已知向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的坐标运算即可求得. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B 12. 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示求解． 【详解】由题意． 故选：B． 13.已知，，若，则点的坐标为（    ） A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的等式，即可求得点的坐标. 【详解】设点，因为，则， 即，解得，即点. 故选：C. 14. 已知、，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解. 【详解】设点的坐标为，则，， 因为，即， 所以，解得，所以. 15.在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D．（5，-3） 【答案】A 【分析】先设，根据题中条件，得到或，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或. 故选：A. 16.已知a=(-1,2),a+b=(7,-3)，则b= 【答案】b=(8,-5) 【分析】本题考查向量坐标减法运算，由b=(a+b)-a，对应坐标相减求解。 【详解】 已知a=(-1,2),a+b=(7,-3) b=(a+b)-a = (7-(-1),-3-2) = (8,-5) 17.已知a=(-1,2),b=(4,2)，求： (1)a+b;(2)a-b;(3)4a-2b;(4)a·(a +b). 【答案】 (1)a+b=（3，4） (2) a-b=(-5,0) (3)4a-2b=(-12,4) (4)a·（a+b)=5 【分析】本题考查平面向量坐标运算，向量加减、数乘直接对应坐标运算；数量积为横纵坐标分别相乘再相加。 【详解】 已知a=(-1,2),b=(4,2) (1)a+b=(-1+4,2+2)=(3,4) (2)a-b=(-1-4,2-2)=(-5,0) (3)4a-2b=4(-1,2)-2(4,2)=(-4,8)-(8,4)=(-4-8,8-4)=(-12,4) (4) 由 (1) 知a+b=（3，4） a·（a+b）=（-1）×3+2×4=-3+8=5 18. 设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【答案】 【分析】先求得，再根据向量与相等求解. 【详解】因为点A（l，2），B（3，2）， 所以， 又因为向量与相等， 所以， 解得． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 平面向量的直角坐标及其运算 一、知识梳理 1．平面向量直角坐标的定义 在平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴的正方向相同的两个单位向量i,j.对于任意一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj，我们把（x,y）称为向量a在平面直角坐标系xOy 中的坐标.记作a=（x,y）。 【注】 i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).在平面直角坐标系平面内，每一个平面向量的坐标表示都是唯一的. 若，则⇔.相等的向量坐标是相同的，但起点和终点的坐标可以不同. 2．用坐标表示的两个向量相等的条件 若，则a=b⇔ 3．平面向量的直角坐标运算 如果，则 (1)a+b=; (2)a-b=; (3)λa= (4)a·b=. 二、题型精练 题型1 平面向量的坐标表示 【典例1】．已知，则点D的坐标为 ( ） A.(11,9) B.(4,0) C.(9,3) D.(9,-3) 【典例2】．已知点A(-1,1),B(-4,5),，若3，则点C的坐标为 ( ) A.(-10,13) B.(9,-12) C.(-5,7) D.(5,-7) 题型2 平面向量的坐标运算 【典例1】．已知a=(1,-1),b=(4,3)，求 (1)a+b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)a·(a -b). 【典例2】．已知a=(2,-1),b=(3,0).求 (1)a+b;(2)a-b;(3)3a-2b;(4)(a+b)·(a-2b). 三、知识检测 1. 已知平行四边形ABCD中，A(-4,-2),),B(2,-4),C(5,-1)，则点D 的坐标为( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(11,-3) D.(-11,3） 2. 已知点A(3,1),B(2,-1)，则向量的坐标是 ( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(1,2) D.(-1,-2) 3. 已知点M(-3,2),N(5,1),，则等于( ) A.(8,1) B.(-8,1) C. D. 4. 已知，则等于 ( ) A.(1,-9) B.(-1,9) C.(-1,-9) D.(1,9) 5. 已知点a=(-1,8),b=(2,4)，则2a-b= ( ) A.(1,12) B.(4,-12) C.(-3,4) D.(-4,12) 6. 已知，点A(3,1)，则点B的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(-2,-2) C.(8,4) D.(4,8) 7. 已知A(1,-1),B(4,2),P为AB的中点，的坐标为 ( ) A.(5,4) B.(3,-3) C. D. 8. 已知向量a=(x-2,3),b=(1,2+y)，且a=b，则 ( ) A.3 B. C.2 D. 9. 已知点，且a =b，则y-x= ( ) A. B. C. D. 10.已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 11.已知向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 12. 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 13.已知，，若，则点的坐标为（    ） A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0） 14. 已知、，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15.在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D．（5，-3） 16.已知a=(-1,2),a+b=(7,-3)，则b= 17.已知a=(-1,2),b=(4,2)，求： (1)a+b;(2)a-b;(3)4a-2b;(4)a·(a +b). 18.设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $