专题19 平面向量的内积 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题19 平面向量的内积 一、知识梳理 1.向量的内积 （1）两个向量的夹角 设a与b为两个非零向量，在平面上任取一点O，作，如图，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作〈a,b〉 （2）两个向量夹角的取值范围是[0,π]，即0≤〈a,b〉≤π. 当〈a,b〉=0时，a与b同向； 当〈a,b〉=180°时，a与b反向； 当〈a,b〉=90°时，a与b垂直，记作a⊥b. （3）向量的内积定义 当a与b为两个非零向量，则数量|a||b|cos〈a,b〉叫做a与b的内积，也称为a与b的数量积或点积.记作a·b.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉 规定零向量与任何向量的内积为0，即0·a=0. 2．向量内积的性质 设a,b是两个非零向量，则 (1)a⊥b⇔a·b=0; (2)cos (3)或|a|= (4)|a·b|≤|a||b| 3．向量内积的运算律 （1）交换律：a·b=b·a; （2）数乘结合律：(λa）·b=λ（a·b）=a·(λb); （3）分配律：(a+b)·c=a·c+b·c; 4．向量内积满足乘法公式 (1)· (2) (3) (4)ab+2ac+2bc. 二、题型精练 题型1 平面向量内积的概念及运算 【典例1】．若|a|=3,|b|=2，且〈a,b〉，求a·b. 【答案】3 【分析】本题考查平面向量数量积公式：a·b=|a||b|cos〈a,b〉，直接代入数值计算。 【详解】 已知|a|=3,|b|=2，且〈a,b〉 a·b=|a||b|cos60 °=3×2× = 3 所以a·b=3。 【典例2】．若求〈a,b〉 【答案】〈a,b〉=120° 【分析】本题考查向量数量积求夹角，公式a·b=|a||b|cos〈a,b〉，变形求出cos〈a,b〉，再结合夹角范围[0°,180°]得到角度。 【详解】 由 a·b=|a||b|cos〈a,b〉， 已知， cos〈a,b〉= = = - 又0°≤〈a,b〉≤180° 所以〈a,b〉=120° 题型2 向量垂直的应用 【典例1】．若|a|=2,|b|=1，且（a,b），则|2a-b|等于 ( ) A.3 B. C.2 D. 【答案】D 【分析】本题考查向量模长计算，求|2a-b|，先平方，利用|m|2=m·m展开，代入数量积运算，再开方。 【详解】 |2a-b|2=（2a-b）2 = 4a2-4ab+b2 = 4|a|2-4|a||b|cos 60°+|b|2 = 4×22-4×2×1× + 12 = 16-4+1 = 13 所以|2a-b|=。 故选 D。 【典例2】．若|a|=1,|b|=2,c=a+b，且c⊥a,则向量a与b的夹角为 【答案】120° 【分析】本题考查向量垂直与夹角计算，由c⊥a得c·a=0，把c=a+b代入展开，利用数量积公式求夹角余弦，再确定夹角。 【详解】 已知c=a+b，c⊥a， 所以c·a=0。 （a+b）·a=0 a·a+a·b=0 |a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0 代入|a|=1,|b|=2： 12+1×2·cos〈a,b〉=0 1+2cos〈a,b〉=0 cos〈a,b〉= - 因为0°≤〈a,b〉≤180°， 所以向量a与b的夹角为120°。 三、知识检测 1. 若|a|=4,|b|=6，且，则a·（-b）等于 ( ) A.12 B.-12 C.24 D.-24 【答案】C 【分析】本题考查向量数量积运算，说明两向量反向，利用数量积公式a·b=|a||b|cos〈a,b〉，结合数乘性质计算a·（-b）。 【详解】 a·（-b）= -a·b = -|a||b|cos180° = -4×6×（-1） = 24 故选 C。 2. 已知|a|=3,|b|=2,ab=-3，则〈a,b〉=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查利用向量数量积求夹角，套用公式cos〈a,b〉=，再结合夹角范围[0,]求出夹角。 【详解】 已知|a|=3,|b|=2,ab=-3 cos〈a,b〉= = = 又0≤〈a,b〉≤， 所以〈a,b〉=。 故选 B。 3. 已知，则|2a-3b|= ( ) A. B. C.1 D.2 【答案】B 【分析】本题考查向量模的计算，利用|m|2=m·m，展开|2a-3b|2，代入数量积公式求解，再开方。 【详解】 |2a-3b|2=（2a-3b）2 = 4a2-12ab+9b2= 4|a|2-12|a||b|cos 30°+9|b|2 代入， 上式=4×（）2-12××1×+9×12 =4×12-12×3+9 =48-36+9 =21 所以|2a-3b|= 故选 B。 4. 已知，且(a-b)与b垂直，则a与b的夹角等于 ( ) A.60° B.30° C.45° D.135° 【答案】C 【分析】本题考查向量垂直的性质，两向量垂直则数量积为 0，展开求出cos〈a,b〉，进而得到夹角。 【详解】 因为(a-b)与b垂直，所以(a-b)·b=0 a·b-b·b=0 |a||b|cos〈a,b〉-|b|2=0 代入： ×1·cos〈a,b〉-12=0 cos〈a,b〉= 又0°≤〈a,b〉≤180°， 所以〈a,b〉=45°。 故选 C。 5. 已知向量|a|=4,，则ab= ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【答案】B 【分析】本题考查向量数量积公式a·b=|a||b|cos〈a,b〉，直接代入数值计算。 【详解】 已知|a|=4,,cos 120°=- a·b=|a||b|cos 120°=4×2×（-）=-4. 故选 B。 6.已知|a|=1,|b|=4，且a⋅b=2，则a与b 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查由数量积求向量夹角，利用公式cos〈a,b〉=计算余弦值，再结合夹角范围求出角度。 【详解】 cos〈a,b〉= = 因为0≤〈a,b〉≤， 所以〈a,b〉=。 故选 C。 7.如果|a|=2,b=-3a，那么a⋅b=( ) A.18 B.-12 C.12 D.-18 【答案】B 【分析】本题考查向量数量积与数乘运算，把b=-3a代入a⋅b化简计算。 【详解】 已知|a|=2,b=-3a a⋅b=a⋅-3a = -3a2 = -3×22 = -3×4 = -12 故选 B。 8. 已知向量，则|a-3b|= ( ) A. B.7 C. D.1 【答案】A 【分析】本题考查向量模长运算，利用|m|2=m·m，将|a-3b|平方展开，代入数量积公式计算，再开方。 【详解】 |a-3b|2=（a-3b）2 = a2-6a·b+9b2 = |a|2-6|a||b|cos 60°+9|b|2 = 22—6×2×1×+9×12 = 4-6+9 = 7 |a-3b|=， 故选 A。 9. 在边长为2的等边三角形ABC中， ( ) A.2 B.1 C.-2 D. 【答案】A 【分析】本题考查三角形中向量数量积计算，等边三角形内角为60°，直接用数量积公式=||cos〈〉求解。 【详解】ABC是边长为2的等边三角形，|=2，|=2，〈〉=60° =||cos60° = 2×2×=2 故选 A。 10.已知|a|=2,|b|=3,|a-b|=4，则a⋅b=( ) A.0 B.-2 C. D.2 【答案】C 【分析】本题考查向量模与数量积的转化，利用|a-b|2=（a-b）2展开，代入模长求解a⋅b。 【详解】 |a-b|2=（a-b）2 |a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2 已知|a|=2,|b|=3,|a-b|=4 42=22—2ab+32 16=4-2ab+9 16=13-2ab 2ab=13-16 2ab=-3 ab= - 故选 C。 11.已知正方形ABCD的边长为2,E为BC 的中点，则 ( ) A.-2 B.0 C. D.2 【答案】D 【分析】本题考查平面向量数量积运算，先化简，再结合正方形边长计算数量积。 【详解】 E为BC中点，=。 = 正方形中 ，故=0 ||=1，||=2，与同向： ·=1×2×cos 0°=2 原式=0+2=2。 故选 D。 12.已知向量a,b的夹角的余弦值为 ，且|a|=2|b|=4，则a(b-2a)= ( ) A.-34 B.-32 C.32 D.34 【答案】A 【分析】本题考查向量数量积分配律展开运算，先确定|a|、|b|，展开a(b-2a)后代入数量积公式求值。 【详解】 由|a|=2|b|=4，得|a|=4，|b|=2，cos〈a,b〉= 。 a(b-2a)=a·b-2a·a =|a||b|cos〈a,b〉-2|a|2 =4×2×（）-2×42 = -34 故选 A。 13.已知向量a是非零向量，b是单位向量，a，b的夹角为120°，且a⊥(a+b)，则|a|=( ) A. B. C.1 D.2 【答案】A 【分析】本题考查向量垂直的数量积性质，由a⊥(a+b)，数量积为 0，展开化简求|a|。 【详解】b为单位向量，则|b|=1，〈a,b〉=120°，cos 120°= - a·(a+b)=0 |a|2+|a||b|cos 120°=0 |a|2- |a|=0 |a|（|a|- ）=0 a是非零向量，|a|≠0，所以|a|=。 故选 A。 14. 已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用数量积的定义直接求解. 【详解】因为是等边三角形，所以. 所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以. 所以. 故选：B 15. 已知，，，则（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由数量积的运算性质计算即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 故选：B 16. 已知向量和向量的夹角为30°，，，则______． 【答案】3 【分析】条件中给出两个向量的模和向量的夹角，直接代入公式进行计算即可． 【详解】解：量和向量的夹角为，，， 又，. 故答案为：3． 17. 已知，，且向量与的夹角为120°，则______. 【答案】-268 【分析】根据平面向量的数量积运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 18. 已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______. 【答案】11 【分析】根据数量积公式，可得的值，由题意得，展开计算，即可得答案. 【详解】因为平面向量，的夹角为，且， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 故答案为：11. 19.已知向量a//b，且|a|=2,|b|=3求|2a+b| 【答案】7或1 【分析】本题考查共线向量模长计算，a//b包含方向相同、方向相反两种情况，分别代入计算|2a+b|。 【详解】 因为a//b，分两种情况： ①a与b方向相同： |2a+b|=2|a|+|b|=2×2+3=7 ②a与b方向相反： |2a+b|=|2|a|-|b||=|4-3|=1 综上：|2a+b|=7或1。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 平面向量的内积 一、知识梳理 1.向量的内积 （1）两个向量的夹角 设a与b为两个非零向量，在平面上任取一点O，作，如图，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作〈a,b〉 （2）两个向量夹角的取值范围是[0,π]，即0≤〈a,b〉≤π. 当〈a,b〉=0时，a与b同向； 当〈a,b〉=180°时，a与b反向； 当〈a,b〉=90°时，a与b垂直，记作a⊥b. （3）向量的内积定义 当a与b为两个非零向量，则数量|a||b|cos〈a,b〉叫做a与b的内积，也称为a与b的数量积或点积.记作a·b.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉 规定零向量与任何向量的内积为0，即0·a=0. 2．向量内积的性质 设a,b是两个非零向量，则 (1)a⊥b⇔a·b=0; (2)cos (3)或|a|= (4)|a·b|≤|a||b| 3．向量内积的运算律 （1）交换律：a·b=b·a; （2）数乘结合律：(λa）·b=λ（a·b）=a·(λb); （3）分配律：(a+b)·c=a·c+b·c; 4．向量内积满足乘法公式 (1)· (2) (3) (4)ab+2ac+2bc. 二、题型精练 题型1 平面向量内积的概念及运算 【典例1】．若|a|=3,|b|=2，且〈a,b〉，求a·b. 【典例2】．若求〈a,b〉 题型2 向量垂直的应用 【典例1】．若|a|=2,|b|=1，且（a,b），则|2a-b|等于 ( ) A.3 B. C.2 D. 【典例2】．若|a|=1,|b|=2,c=a+b，且c⊥a,则向量a与b的夹角为 三、知识检测 1. 若|a|=4,|b|=6，且，则a·（-b）等于 ( ) A.12 B.-12 C.24 D.-24 2. 已知|a|=3,|b|=2,ab=-3，则〈a,b〉=( ) A. B. C. D. 3. 已知，则|2a-3b|= ( ) A. B. C.1 D.2 4. 已知，且(a-b)与b垂直，则a与b的夹角等于 ( ) A.60° B.30° C.45° D.135° 5. 已知向量|a|=4,，则ab= ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 6.已知|a|=1,|b|=4，且a⋅b=2，则a与b 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 7.如果|a|=2,b=-3a，那么a⋅b=( ) A.18 B.-12 C.12 D.-18 8. 已知向量，则|a-3b|= ( ) A. B.7 C. D.1 9. 在边长为2的等边三角形ABC中， ( ) A.2 B.1 C.-2 D. 10.已知|a|=2,|b|=3,|a-b|=4，则a⋅b=( ) A.0 B.-2 C. D.2 11.已知正方形ABCD的边长为2,E为BC 的中点，则 ( ) A.-2 B.0 C. D.2 12.已知向量a,b的夹角的余弦值为 ，且|a|=2|b|=4，则a(b-2a)= ( ) A.-34 B.-32 C.32 D.34 13.已知向量a是非零向量，b是单位向量，a，b的夹角为120°，且a⊥(a+b)，则|a|=( ) A. B. C.1 D.2 14. 已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 15. 已知，，，则（     ） A． B．2 C． D．4 16. 已知向量和向量的夹角为30°，，，则______． 17. 已知，，且向量与的夹角为120°，则______. 18. 已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______. 19.已知向量a//b，且|a|=2,|b|=3求|2a+b| 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $