专题18 数乘向量 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题18 数乘向量 一、知识梳理 1、数乘向量 1）数乘向量的定义 （1）实数λ和向量a的乘积是一个向量,这种运算叫做数乘向量，记作λa. （2）向量λa(a≠0)的长度与方向规定为： ①|λa|=|λ||a| ②当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反. ③当λ=0时,λa=0当a=0时，λ0=0 2）数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a 的方向或a的反方向，长度放大或缩小．如3a的几何意义就是沿着a的方向，长度放大到原来的3倍；-4a的几何意义就是沿着a的反方向，长度放大到原来的4倍. 【注】向量数乘结果是一个向量，实数相乘结果是一个数. 3）数乘向量的运算律 (1)(λ+μ)a=λa+μa；（第一分配律） (2)λ(μa)=(λμ)a;（结合律） (3)λ(a+b)=λa+λb .（第二分配律） 4）向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称向量的线性运算 2、共线向量基本定理 1）共线向量基本定理 如果向量a≠0，则a∥b的充分必要条件是，存在唯一的实数λ，使得b=λa 2）一般地，若向量c=λa+μb.(λ,μ均为实数），则称向量c可以由向量a,b线性表示。 二、题型精练 题型1 向量的数乘运算 【典例1】．点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，求证： 【典例2】．三角形ABC中，3，则( ) A. B. C. D. 题型2 向量数乘运算的应用 【典例1】．已知两个非零向量a与b不共线，如果 ，求证：A、B、D三点共线． 【典例2】．已知两个非零向量a与b不共线，且ka+b和a+kb共线，求实数k的值 三、知识检测 1. 若a=-2b，则下列各式叙述正确的是( ) A.a与b方向相同，则|a|=2|b| B.a与b方向相反，则|a|=2|b| C.a与b方向相同，则 D.a与b方向相反，则 2. 3(a-2b+c)-(4a-b+3c)的结果为( ) A.-a+5b B.-a-7b+6c C.-4b+6c D.-a-5b 3．四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是 ( ) A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 4．已知B是线段AC的中点，则下列各式正确的是 ( ) A. B. C. D. 5．若a与b不平行，那么与a,b都不平行的向量是 ( ) A.-2a B.0 C.a+b D.3b 6．在ΔABC中，若，点D是边AC的中点，则 ( ) A. B. C. D. 7．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量 ( ) A. B. C. D. 8．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，，则 ( ) A. B. C. D. 9．在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且,记，则 ( ) A. B. C. D. 10．在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 11.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 12.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 13.如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则(    ) A． B． C． D． 14. 如图所示，平行四边形中，，，，，  试用向量，来表示，． 15. 若a=m+λn,b=-(m-2n)平行，求λ的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 数乘向量 一、知识梳理 1、数乘向量 1）数乘向量的定义 （1）实数λ和向量a的乘积是一个向量,这种运算叫做数乘向量，记作λa. （2）向量λa(a≠0)的长度与方向规定为： ①|λa|=|λ||a| ②当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反. ③当λ=0时,λa=0当a=0时，λ0=0 2）数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a 的方向或a的反方向，长度放大或缩小．如3a的几何意义就是沿着a的方向，长度放大到原来的3倍；-4a的几何意义就是沿着a的反方向，长度放大到原来的4倍. 【注】向量数乘结果是一个向量，实数相乘结果是一个数. 3）数乘向量的运算律 (1)(λ+μ)a=λa+μa；（第一分配律） (2)λ(μa)=(λμ)a;（结合律） (3)λ(a+b)=λa+λb .（第二分配律） 4）向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称向量的线性运算 2、共线向量基本定理 1）共线向量基本定理 如果向量a≠0，则a∥b的充分必要条件是，存在唯一的实数λ，使得b=λa 2）一般地，若向量c=λa+μb.(λ,μ均为实数），则称向量c可以由向量a,b线性表示。 二、题型精练 题型1 向量的数乘运算 【典例1】．点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，求证： 【答案】 得证 【分析】 利用向量加法的三角形法则，结合中点条件 =，通过向量变形推导中点向量公式。 【详解】 证明： M 是线段 AB 的中点， = 由向量三角形法则： (1) 又 =-=-，即 =- (2) 将 (1)+(2)： +=()+(-) 化简，抵消： 两边同除以 2： 故原式得证。 补充：这就是线段中点的向量公式，O为平面内任意一点都成立。 【典例2】．三角形ABC中，3，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 已知3，说明D在BC上，BD:DC=3:1，先用a, b表示，再把转化为+计算。 【详解】 =-=b- a 3， BD:DC=3:1， =+=++ =a + ( b-a)=a- a+ b= a+ b 故选B 题型2 向量数乘运算的应用 【典例1】．已知两个非零向量a与b不共线，如果 ，求证：A、B、D三点共线． 【答案】见详解 【分析】本题考查三点共线的向量证明方法，要证明A,B,D三点共线，只需证明与共线，且两向量有公共点B。 【详解】 =+=(2a+8b)+(2a-4b)=4a+4b=4(a+b) 已知=， 所以=4。 可得与为共线向量。 又与有公共点B， 因此A、B、D三点共线。 【典例2】．已知两个非零向量a与b不共线，且ka+b和a+kb共线，求实数k的值 【答案】k=1或k=-1 【分析】本题考查向量共线条件，两个不共线向量做基底，若两向量共线，则存在实数使得一个向量等于λ倍另一个向量，再利用平面向量基本定理列方程组求解。 【详解】 因为ka+b与a+kb共线， 所以存在实数λ，使得： ka+b=λ(a+kb) 整理得： ka+b=a+kb a,b不共线，由平面向量基本定理，对应系数相等： k=λ 1=λk 把λ=k代入第二个式子： k2=1解得 k=1 或 k=-1。 综上，实数k的值为1或-1。 三、知识检测 1. 若a=-2b，则下列各式叙述正确的是( ) A.a与b方向相同，则|a|=2|b| B.a与b方向相反，则|a|=2|b| C.a与b方向相同，则 D.a与b方向相反，则 【答案】B 【分析】本题考查数乘向量的几何意义，a=λb，λ＜0时两向量方向相反，模长|a|=|λ||b|。 【详解】 由a=-2b，系数-2<0， 所以a与b方向相反， 模长：|a|=|-2||b|=2|b| A：方向相同，错误； B：方向相反，则|a|=2|b|，正确； C、D：模长关系错误。 故选 B。 2. 3(a-2b+c)-(4a-b+3c)的结果为( ) A.-a+5b B.-a-7b+6c C.-4b+6c D.-a-5b 【答案】D 【分析】本题考查向量的数乘与加减运算，去括号，再合并同类向量。 【详解】 3(a-2b+c)-(4a-b+3c)=3a-6b+3c-4a+b-3c =(3a-4a)+(-6b+b)+(3c-3c) =-a-5b 故选 D。 3．四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是 ( ) A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 【答案】B 【分析】本题考查向量与四边形形状判定，说明与共线，但模长不相等，一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 【详解】 由，可得， 且||=3||，即AB与CD平行但长度不相等。 四边形ABCD有一组对边平行且不相等，所以四边形是梯形。 故选 B。 4．已知B是线段AC的中点，则下列各式正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查线段中点对应的向量关系，大小相等，方向相反的两个向量互为相反向量。 【详解】 B是线段AC的中点，则AB=BC。 A：与 大小相等，方向相反，=- ，正确； B：=2，选项系数错误； C： 方向不同，不相等，错误； D：方向不一致，应为不成立，=2，错误。 故选 A。 5．若a与b不平行，那么与a,b都不平行的向量是 ( ) A.-2a B.0 C.a+b D.3b 【答案】C 【分析】本题考查向量平行的判断，a,b不共线，分别分析每个选项向量与a,b的平行关系。 【详解】 A.-2a，与a是数乘关系，故-2a∥a，不符合题意； B.0与任意向量平行，故0∥a，0∥b，不符合题意； C. a+b，由平面向量加法，a，b不平行，则a+b既不与a平行，也不与b平行，符合题意； D.3b，与b是数乘关系，故3b∥b，不符合题意。 故选 C。 6．在ΔABC中，若，点D是边AC的中点，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线向量，利用向量运算推导中点D对应的中线向量。 【详解】 =+=a+b， D为AC中点，=+=-+= -a+(a+b)= -a+ab= b - a=(b-a) 故选 C。 7．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量线性运算，结合矩形中点条件对向量进行变形，利用向量加法法则判断。 【详解】 E为CD中点，矩形中 =， = =。 += + = 故选 A。 8．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查平面向量线性运算，利用中点条件表示，结合=3得到，再用向量减法求。 【详解】 在平行四边形ABCD中，=。 E为BC中点，=。 =+=+ 因为，==+ = =+- = 故选 C。 9．在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且,记，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查平面向量线性分解，把拆成，结合已知线段比例，用分别表示再相加。 【详解】 ，则==。 ，， 平行四边形中=-=-a， 。 =+ = - = 故选 A。 10．在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为和即可． 【详解】. 故选：B 11.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C 12.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数乘和加减法法则，结合几何图形即可求解. 【详解】， 即， ∴． 故选：A． 13.如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何关系，利用向量线性运算方法用表示出，从而可得m、n的取值． 【详解】依题意得， ， 故， 所以 故． 故选：A﹒ 14. 如图所示，平行四边形中，，，，，  试用向量，来表示，． 【答案】， 【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，结合题设条件及数形结合法，应用、表示、即可. 【详解】由，即， 所以， 由，则， 所以； 15. 若a=m+λn,b=-(m-2n)平行，求λ的值. 【答案】λ=-2 【分析】 两向量a,b平行，则存在实数k，使得a=kb。 已知a=m+λn,b=-(m-2n)= -m+2n，m,n不共线，可根据向量相等对应系数相等列方程求解λ。 【详解】 两向量a,b平行，则存在实数k，使得a=kb。 代入： m+λn=k(-m+2n) 整理： m+λn=-km+2kn 因为m,n不共线，根据平面向量基本定理，左右两边\m,n的系数分别相等： 1=-k λ=2k 由1=-k得k=-1， 代入第二个式子：λ=2×（-1）=-2。 综上：λ=-2 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $