专题16 向量的加法 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题17 向量的加法 一、知识梳理 1．求两个向量和的运算，称为向量的加法 2．向量加法的三角形法则 已知向量a,b，在平面上任取一点A，作，作向量，则向量叫做向量a与b的和向量，记作a+b，即a+b== 3.向量加法的平行四边形法则 已知向量a,b，作，如果A,B,D不共线，则以为邻边作平行四边形ABCD，那么对角线上的向量=a+b. 4. 多个向量相加的多边形法则 已知向量a,b,c,d，在平面上任取一点A，作则 a+b+c+d即首尾顺次相连，首指尾. 5. 向量加法的运算法则 (1)a+b=b+a（加法交换律）； (2)(a+b)+c=a+（b+c）（加法结合律）； (3)a+0=0+a=a. 二、题型精练 题型1 向量的加法运算 【典例1】．在平行四边形ABCD中，若，则等于 ( ) A.a+b B.2a+2b C.2a+b D.2b+a 【典例2】．已知正方形ABCD的边长为1，对角线相交于点O，则 (1)和相等的向量是 . (2) (3) 题型2 理解向量加法 【典例1】．某人先向西走2千米，接着向北走2千米．求这个人的位移． 【典例2】．一架飞机向西飞行300km，然后改变方向向南飞行300km，求飞机飞行的位移. 三、知识检测 1. 若点P是线段AB的中点，则( ) A. B. C.0 D.0 2. ( ) A. B. C. D. 3.在边长为2的正方形ABCD中， ( ) A.3 B. C.2 D.4 4. 已知ΔABC的三边长分别为3、4、5，则 等于 ( ) A.12 B.2 C.0 D.0 5. 平行四边形ABCD的两邻边长分别为3、4，则|等于 ( ) A.12 B.2 C.0 D.0 6.已知向量a,b是非零向量，若|a+b|=|a|+|b|，则下列正确的是 ( ) A.向量a,b的模相等 B.向量a,b不能共线 C.向量a,b方向相同 D.向量a,b方向相反 7．在平行四边形ABCD中，，则四边形ABCD一定是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 8．如图，已知四边形ABCD为矩形，则 ( ) A. B. C. D. 9. 某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（    ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 10.正方形的边长为1，则为（    ） A．1 B． C．3 D． 11.如图，正六边形ABCDEF中，则（    ）    A． B． C． D． 12.如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 13.若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 14. 如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：． 15. 如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 向量的加法 一、知识梳理 1．求两个向量和的运算，称为向量的加法 2．向量加法的三角形法则 已知向量a,b，在平面上任取一点A，作，作向量，则向量叫做向量a与b的和向量，记作a+b，即a+b== 3.向量加法的平行四边形法则 已知向量a,b，作，如果A,B,D不共线，则以为邻边作平行四边形ABCD，那么对角线上的向量=a+b. 4. 多个向量相加的多边形法则 已知向量a,b,c,d，在平面上任取一点A，作则 a+b+c+d即首尾顺次相连，首指尾. 5. 向量加法的运算法则 (1)a+b=b+a（加法交换律）； (2)(a+b)+c=a+（b+c）（加法结合律）； (3)a+0=0+a=a. 二、题型精练 题型1 向量的加法运算 【典例1】．在平行四边形ABCD中，若，则等于 ( ) A.a+b B.2a+2b C.2a+b D.2b+a 【答案】B 【分析】本题考查向量加法运算和平行四边形法则，先利用平行四边形对边向量相等转化，再用向量加法的平行四边形法则求，最后合并化简。 【详解】 在平行四边形ABCD中： ==b， 由向量加法平行四边形法则：==a+b。 = a+b+（a+b）=2a+2b 故选：B。 【典例2】．已知正方形ABCD的边长为1，对角线相交于点O，则 (1)和相等的向量是 . (2) (3) 【答案】 (1) (2) (3)； 【分析】本题考查正方形中向量相等、向量加法的三角形法则与平行四边形法则，分清向量方向，结合图形运算。 【详解】 正方形 ABCD 边长为 1，对角线交于 O，对角线互相平分。 (1) 相等向量需要模相等、方向相同。 与 长度相等，方向相同，故和 相等的向量是 。 (2) 利用向量加法三角形法则： = += 所以 =。 (3) 根据向量加法平行四边形法则： 以 为邻边，对角线为 ，∴ =； , 以 为邻边，对角线是，∴ =。 题型2 理解向量加法 【典例1】．某人先向西走2千米，接着向北走2千米．求这个人的位移． 【答案】位移大小为2千米，方向西偏北45°西北方向）。 【分析】本题考查位移的向量合成，位移是从起点指向终点的向量，不是路程，利用勾股定理求合位移大小，三角函数确定方向。 【详解】 设向西、向北为两个垂直方向，两段位移互相垂直。 第一段位移大小2 km向西，第二段位移大小2 km向北。 合位移大小： S= 设位移与正西方向夹角为： tan = = =1 得 =45° 所以位移：大小千米，方向西偏北45°（西北方向）。 补充：路程=2+2=4千米，注意位移和路程区分。 【典例2】．一架飞机向西飞行300km，然后改变方向向南飞行300km，求飞机飞行的位移. 【答案】位移大小 600km，方向西偏南 60° 【分析】本题考查位移的向量合成，两次飞行方向互相垂直，用勾股定理求位移大小，正切求偏移角度，区分位移与路程。 【详解】 飞机先向西飞行 300km，再向南飞行 300√3 km，向西、向南方向垂直。 合位移大小： s== = =600 km 设和正西方向夹角 θ： tanθ=(300)÷300= θ=60° 所以位移：大小 600km，方向西偏南 60°。 路程 = 300+300 km。 三、知识检测 1. 若点P是线段AB的中点，则( ) A. B. C.0 D.0 【答案】D 【分析】本题考查向量加法运算，利用中点条件分析与的大小和方向关系，注意区分向量0和数字0。 【详解】 因为P是线段AB的中点， 所以与大小相等，方向相反，互为相反向量。 根据相反向量相加等于零向量：=0。 注意：0是零向量，0是数字，向量运算结果为向量，不能选 C。 故选 D。 2. ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量的加法运算，利用向量加法的结合律、交换律，重新分组化简表达式。 【详解】 = = = 故选 B。 3.在边长为2的正方形ABCD中， ( ) A.3 B. C.2 D.4 【答案】D 【分析】本题考查向量加法运算与向量模的计算，先化简向量表达式，再结合正方形边长求模长。 【详解】 在正方形ABCD，边长为2。 =+ =)+ = =2) = 2 正方形对角线||=,=2||=2×=4 故选 D。 4. 已知ΔABC的三边长分别为3、4、5，则 等于 ( ) A.12 B.2 C.0 D.0 【答案】D 【分析】本题考查向量加法的三角形法则，注意区分零向量0和实数0，向量相加结果仍是向量。 【详解】 由向量三角形法则： = , = +, 与是相反向量，相反向量之和为零向量。 +=0向量运算结果是零向量0，不是数字0。 故选 D。 5. 平行四边形ABCD的两邻边长分别为3、4，则|等于 ( ) A.12 B.2 C.0 D.0 【答案】D 【分析】本题考查平面向量加法运算，向量相加结果为向量，区分零向量0与数字0。 【详解】 在平行四边形ABCD中：与互为相反向量，=0； 与互为相反向量，+=0。 |=|(=|0+0|=|0|=0 向量运算结果是零向量0，不是实数0，故选 D。 6.已知向量a,b是非零向量，若|a+b|=|a|+|b|，则下列正确的是 ( ) A.向量a,b的模相等 B.向量a,b不能共线 C.向量a,b方向相同 D.向量a,b方向相反 【答案】C 【分析】本题考查向量和的模的性质，当|a+b|=|a|+|b|时，判断两个非零向量的位置关系。 【详解】 对于非零向量a,b： · 若a,b方向相同，则|a+b|=|a|+|b|； · 若a,b方向相反，则|a+b|=| |a|-|b| |。 A：模不一定相等，错误； B：此时两向量共线，错误； C：向量a,b方向相同，正确； D：方向相反不满足条件，错误。 故选 C。 7．在平行四边形ABCD中，，则四边形ABCD一定是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形中向量加法的几何意义，对应对角线，对应对角线，由对角线模相等判定四边形形状。 【详解】 在平行四边形ABCD中： =， =+=。 由条件， 可得||=||，即平行四边形两条对角线相等。 对角线相等的平行四边形是矩形。 故选 A。 8．如图，已知四边形ABCD为矩形，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，矩形属于特殊的平行四边形，两个邻边向量相加得到对角线向量。 【详解】 四边形ABCD是矩形，也是平行四边形。 根据向量加法的平行四边形法则： 以为邻边作平行四边形，和向量就是从共同起点出发的对角线向量。 =。 故选 C。 9. 某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（    ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 【答案】B 【分析】由向量的加法进行求解. 【详解】由题意和向量的加法，得表示先向东走3km， 再向北走3km，即向东北走. 故选：B. 10.正方形的边长为1，则为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解. 【详解】在正方形中，如图所示, 根据向量加法的平行四边形法则，, 又因为正方形的边长为1， 所以， 故选：B. 11.如图，正六边形ABCDEF中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算直接求解即可. 【详解】由已知，ABCDEF为正六边形，所以，, 所以. 故选：D. 12.如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法法则，即可判断四边形形状. 【详解】根据平面向量的加法的平行四边形法则，若＝， 则四边形是平行四边形. 故选：C. 13.若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形. 【详解】由于，，， 则，即， 所以△ABC为等腰直角三角形． 故选：D． 14. 如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：． 【答案】 ,① ,② ∴①+②,得. ∵M,N分别是AB,CD的中点, , . 【分析】把运用不同的加法表示出来，，，这两个式子相加即可证明题设． 【详解】略 15. 如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 【答案】(1) 由向量加法的三角形法则， 因为，所以. (2) 由向量加法的平行四边形法则， 因为， 所以 . 【分析】（1）由向量加法的三角形法则，得到，即可作出证明；. （2）由向量加法的平行四边形法则，得到，进而作出证明. 【详解】（1）略 （2）略 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $