专题15 平面向量的概念 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题16 平面向量的概念 一、知识梳理 1、有向线段及其有关概念 1）有向线段的定义 线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.在有向线段终点处画上箭头表示它的方向，以A为始点，B为终点的有向线段，记作：.表示有向线段时，始点一定要写在终点的前面，有向线段与是不同的. 2）有向线段的长度（或模） 对于有向线段，线段AB的长度叫做有向线段的长度（或模），的长度记作： 2、向量及其有关概念 1）向量的定义及表示方法 （1）定义：具有大小又有方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向. （2）向量的表示方法： ①向量可用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 ②用两个大写的英文字母及箭头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量另外，在印刷时，向量常用黑体小写字母a,b,c,···来表示，书写时，则用带箭头的小写字母，··来表示.在建立坐标系后，还可以用坐标表示向量. （3）向量与数量的区别 数量只有大小没有方向，可进行代数运算，可以比较大小；向量既有大小又有方向，不能比较大小. 2）向量的长度（模） 向量的大小称为向量的长度（或称模）. 3）相等向量 如果两个向量a和b的方向相等且长度相等，则称a和b相等，记作：a=b. 4）零向量 长度等于零的向量叫做零向量，记作：0．零向量的方向是不确定的 ，是任意的。 5）向量平行（共线） 如果两个向量方向相同或相反,则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量a平行于向量b，记作a∥b 【注】①零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a．②向量平行时，向量所在直线平行或重合. 6）单位向量 长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 二、题型精练 题型1 向量的概念 【典例1】．下列命题中，说法正确的是( ) A.两个向量相等，则他们的起点相同，终点相同 B.若|a|=|b|，则a=±b C.零向量与任意向量平行 D.在平行四边形ABCD中，一定有 【典例2】．下列命题： （1）有向线段就是向量，向量就是有向线段； （2）大小相等的两个向量叫做相等向量； （3）零向量没有方向； （4）向量的长度与向量的长度相同； （5）若向量a∥b且b∥c，则a∥c. 其中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 理解向量有关概念 【典例1】．如图所示，在三角形ABC中，点D、E、F分别为三边中点. （1）写出图中的相等向量； （2）写出图中与模相等的向量； （3）写出图中与的同向平行向量. 三、知识检测 1. 下列命题中，真命题的个数是 ( ) ①向量的要素是：方向和大小； ②在正方形ABCD中 ③同向且等长的有向线段表示相等向量； ④有向线段有三个要素：始点、方向、长度. A.1 B.2 C.3 D.4 2. O是正方形ABCD的中心，则向量、、、是 ( ) A.相等向量 B.平行向量 C.单位向量 D.模相等的向量 3. 已知下列四个命题： ①单位向量长度都相等； ②零向量与任意向量都平行； ③模相等的向量一定是共线向量； ④平行于同一向量的两个向量是平行向量. 其中，正确的是 ( ) A.① B.①② C.①③④ D.①②③ 4. 若向量a与b平行，则 ( ) A.a与b方向相同 B.a与b方向相反 C.a与b是共线向量 D.a与b是相等向量 5. 四边形ABCD中，如果，则它一定是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 6. 如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 7.下列说法正确的是 ( ) A.零向量没有方向 B.空间向量不可以平行移动 C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D.同向且等长的有向线段表示同一向量 8. 下列说法正确的是 ( ) A.若|a|=|b|，则a=±b B．零向量的长度是0 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量 9. 如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（       ） A． B． C． D． 10.在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 11.有下列命题： ①若，则； ②若，则四边形是平行四边形； ③若，，则； ④若，，则. 其中，假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12.下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 13.下列说法中，正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14. 如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个. 15. 如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 平面向量的概念 一、知识梳理 1、有向线段及其有关概念 1）有向线段的定义 线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.在有向线段终点处画上箭头表示它的方向，以A为始点，B为终点的有向线段，记作：.表示有向线段时，始点一定要写在终点的前面，有向线段与是不同的. 2）有向线段的长度（或模） 对于有向线段，线段AB的长度叫做有向线段的长度（或模），的长度记作： 2、向量及其有关概念 1）向量的定义及表示方法 （1）定义：具有大小又有方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向. （2）向量的表示方法： ①向量可用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 ②用两个大写的英文字母及箭头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量另外，在印刷时，向量常用黑体小写字母a,b,c,···来表示，书写时，则用带箭头的小写字母，··来表示.在建立坐标系后，还可以用坐标表示向量. （3）向量与数量的区别 数量只有大小没有方向，可进行代数运算，可以比较大小；向量既有大小又有方向，不能比较大小. 2）向量的长度（模） 向量的大小称为向量的长度（或称模）. 3）相等向量 如果两个向量a和b的方向相等且长度相等，则称a和b相等，记作：a=b. 4）零向量 长度等于零的向量叫做零向量，记作：0．零向量的方向是不确定的 ，是任意的。 5）向量平行（共线） 如果两个向量方向相同或相反,则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量a平行于向量b，记作a∥b 【注】①零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a．②向量平行时，向量所在直线平行或重合. 6）单位向量 长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 二、题型精练 题型1 向量的概念 【典例1】．下列命题中，说法正确的是( ) A.两个向量相等，则他们的起点相同，终点相同 B.若|a|=|b|，则a=±b C.零向量与任意向量平行 D.在平行四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【分析】本题考查向量的基本概念，包括相等向量、向量模、零向量、平行向量，逐一辨析各选项即可。 【解析】方向相同且大小相等的向量叫做相等的向量，跟位置无关，故A错；长度相等的向量，方向有可能不相同，也不相反，故B错；在平行四边形ABCD中，一定有，故D错. 【典例2】．下列命题： （1）有向线段就是向量，向量就是有向线段； （2）大小相等的两个向量叫做相等向量； （3）零向量没有方向； （4）向量的长度与向量的长度相同； （5）若向量a∥b且b∥c，则a∥c. 其中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】本题考查向量相关基本概念，区分有向线段与向量、相等向量、零向量、向量模、向量平行，逐个判断命题真假。 【详解】（1）有向线段是向量的一种表示形式，但向量是既有大小又有方向的量，不是有向线段，故（1）为假命题； （2） 相等向量要求大小相等且方向相同，只大小相等不能叫相等向量，故（2）为假命题； （3） 零向量有方向，它的方向是任意的，不是没有方向，故（3）为假命题； （4） AB与BA方向相反，但长度（模）相等，故（4）为真命题； （5）若b=0，零向量和任意向量平行，此时a与c不一定平行，故（5）为假命题。 综上，只有 1 个真命题。故选：A. 题型2 理解向量有关概念 【典例1】．如图所示，在三角形ABC中，点D、E、F分别为三边中点. （1）写出图中的相等向量； （2）写出图中与模相等的向量； （3）写出图中与的同向平行向量. 【答案】 (1)，(2)，，， (3)， 【分析】本题考查相等向量、向量的模、同向平行向量，结合三角形中位线性质，从大小、方向两个角度分析向量。 【详解】已知 D、E、F 分别为三边中点，由三角形中位线定理得：DE∥AC，DE= AC；FD∥BC，FD= BC；EF∥AB，EF= AB。 （1）相等向量要求大小相等、方向相同。与，大小相等，方向相同， 所以的相等向量为，。 （2）模相等只要求向量长度相等，方向不作要求。 FD是中位线，FD= BC=AE=EC， 故与模相等的向量：，，， （3）同向平行向量：方向相同，大小不一定相等。∥∥，且方向相同， 故与的同向平行向量为， 三、知识检测 1. 下列命题中，真命题的个数是 ( ) ①向量的要素是：方向和大小； ②在正方形ABCD中 ③同向且等长的有向线段表示相等向量； ④有向线段有三个要素：始点、方向、长度. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】本题考查向量与有向线段的基本概念，掌握向量两要素、有向线段三要素、相等向量的定义，逐个判断命题真假。 【详解】①向量的要素是：方向和大小； 向量是既有大小又有方向的量，向量只由大小、方向决定，与起点无关，①为真命题； ②在正方形 ABCD 中，； 正方形中与长度相等，方向相同，满足相等向量的条件，②为真命题； ③同向且等长的有向线段表示相等向量； 相等向量要求大小相等、方向相同，同向且等长的有向线段对应相等向量，与起点位置无关，③为真命题； ④有向线段有三个要素：始点、方向、长度. 有向线段属于图形，起点不同即为不同有向线段，具备始点、方向、长度三要素，④为真命题。 综上，有 4 个真命题。故选：D. 2. O是正方形ABCD的中心，则向量、、、是 ( ) A.相等向量 B.平行向量 C.单位向量 D.模相等的向量 【答案】D 【分析】本题考查向量相关概念，区分相等向量、平行向量、单位向量、向量的模，结合正方形中心的几何性质进行判断。 【详解】O 是正方形 ABCD 的中心，则 O 到四个顶点 A、B、C、D 的距离相等。 、、、四个向量方向各不相同。 A. 相等向量需要大小相等且方向相同，四个向量方向不同，不是相等向量； B. 平行向量要求方向相同或相反，四个向量两两不满足，不是平行向量； C. 单位向量要求模长等于 1，题目没有给出正方形边长，无法确定模长为 1，不一定是单位向量； D. 模相等的向量，||=||=||=||，四个向量模长相等。 综上，故选：D. 3. 已知下列四个命题： ①单位向量长度都相等； ②零向量与任意向量都平行； ③模相等的向量一定是共线向量； ④平行于同一向量的两个向量是平行向量. 其中，正确的是 ( ) A.① B.①② C.①③④ D.①②③ 【答案】B 【分析】本题考查单位向量、零向量、共线（平行）向量的概念，逐个辨析命题真假，注意零向量的特殊情况。 【详解】①单位向量长度都相等； 单位向量的模均为1，所以长度都相等，①为真命题； ②零向量与任意向量都平行； 这是零向量的规定，②为真命题； ③模相等的向量一定是共线向量； 模相等只代表长度相等，方向不一定相同或相反，不一定共线，③为假命题； ④平行于同一向量的两个向量是平行向量； 若该向量是零向量，零向量和任意向量平行，则这两个向量不一定互相平行，④为假命题。 综上，①②正确。故选：B. 4. 若向量a与b平行，则 ( ) A.a与b方向相同 B.a与b方向相反 C.a与b是共线向量 D.a与b是相等向量 【答案】C 【分析】本题考查平行向量（共线向量）的定义，理解向量平行包含方向相同、相反以及含有零向量的情况。 【详解】向量a与b平行，根据定义：平行向量也叫共线向量，包括方向相同、方向相反，还包含其中有零向量的情况。 A.a与b方向相同； 向量平行也可以方向相反，还可能含有零向量，不一定方向相同，A 错误； B.a与b方向相反； 向量平行可以方向相同，B 错误； C.a与b是共线向量； 平行向量就是共线向量，C 正确； D.a与b是相等向量； 相等向量需要大小相等且方向相同，平行只要求方向相同或相反，模不一定相等，D 错误。 综上，故选：C. 5. 四边形ABCD中，如果，则它一定是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】A 【分析】本题考查相等向量的几何意义，结合四边形的判定，利用分析边的关系。 【详解】，说明AB与DC长度相等，且方向相同，可得AB与DC平行且相等。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，题目条件无法得到邻边相等或者内角为直角，不能判定为矩形、菱形、正方形。 综上，故选：A. 6. 如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查相等向量的定义，相等向量需要模长相等且方向相同，结合正六边形的几何特征判断。 【详解】正六边形 ABCDEF 各边长都相等。需要找和它大小相等、方向完全相同的向量。 A.：方向与不同，不是相等向量； B：长度与相等，方向和相同，是相等向量； C.：方向与不同，不是相等向量； D.：方向与不同，不是相等向量。 综上，故选：B. 7.下列说法正确的是 ( ) A.零向量没有方向 B.空间向量不可以平行移动 C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D.同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D 【分析】本题考查向量的基本概念，辨析零向量、向量可平移、相等向量与有向线段，逐一判断选项正误。 【详解】A. 零向量没有方向 零向量是有方向的，它的方向任意，A 错误； B. 空间向量不可以平行移动 向量只看大小和方向，空间向量可以自由平行移动，B 错误； C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 向量不相同，有可能长度相等、方向不同，C 错误； D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 相等向量只要求大小相等、方向相同，与起点无关，同向且等长的有向线段表示同一向量，D 正确。 综上，故选：D. 8. 下列说法正确的是 ( ) A.若|a|=|b|，则a=±b B．零向量的长度是0 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【分析】本题考查向量的相关概念，区分向量模、零向量、相等向量、共线向量，对每个选项逐一判断。 【详解】A. 若|a|=|b|，则a=±b； 模相等仅说明长度相等，方向不一定相同或相反，不能推出a=b或a=-b，A 错误； B．零向量的长度是0； 零向量定义就是模长为0的向量，B 正确； C. 长度相等的向量叫相等向量； 相等向量要求长度相等且方向相同，只长度相等不满足条件，C 错误； D. 共线向量是在同一条直线上的向量； 共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，向量可以平移，不一定在同一直线上，D 错误。 综上，故选：B. 9. 如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解. 【详解】解：由题意，四边形是等腰梯形得，且，， 所以选项A错误，选项B正确， 又向量不能比较大小， 所以选项C，D错误， 故选：B 10.在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】由可得，结合可判断四边形ABCD的形状. 【详解】∵  ， ∴  ，又， ∴  四边形ABCD是梯形， 故选：A. 11.有下列命题： ①若，则； ②若，则四边形是平行四边形； ③若，，则； ④若，，则. 其中，假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可. 【详解】，则的方向不确定,则不一定相等, ①错误; 若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误; 若,,则,③正确； 若，，则时,不一定成立,所以④错误. 综上,假命题的是①②④,共3个. 故选:C. 12.下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】A 【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决. 【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误； 两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误； 与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误. 故选：A 13.下列说法中，正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D. 【详解】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确; 若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确; 向量不能比较大小,C不正确; 若，则,D,不正确. 故选:B. 14. 如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个. 【答案】39 【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可. 【详解】图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有个。则模与的模相等的向量（除本身）共有个. 故答案为：39个. 15. 如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，. 【分析】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $