专题46 二项分布 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题46 二项分布 一、知识梳理 1. n次独立试验 1．伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. n重伯努利试验的特征： (1）同一个伯努利试验重复做n次；(2）各次试验的结果相互独立 3．对n次独立重复试验的理解 （1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：每次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. （2）独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛. 2.二项分布 1．二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，称X服从参数为n,p的二项分布，简记为 X∼B(n,p) 2．二项分布的均值与方差：如果X∼B(n,p)，那么（1-p） 3．二项分布的理解 （1）二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，是概率论中最重要的几种分布之一. （2）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次. （3）由二项分布的定义，若X∼B(n,p)，则P(X .这里各个符号的意义要弄清. （4）由于在n次独立重复试验中某个事件恰好发生k次的概率恰好是二项展开式中的第k+1项（这里k 可取0,1,2,···,n中的各个值），所以称这样的随机变量X服从二项分布 二、题型精练 题型1 独立重复试验的概率 【典例1】．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）． （1)5次预报中恰有2次准确的概率； （2)5次预报中至少有2次准确的概率； （3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 【答案】 (1)0.05；(2)0.99；(3)0.08 【分析】 预报准确率p=0.8，5次预报X∼ B(5,0.8)。 二项分布：P(X=k)=。 【详解】 （1）恰有 2 次准确 P(X=2)==10×0.64×0.008≈0.05 （2）至少 2 次准确，用对立事件：P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1) P(X=0)==0.00032 P(X=1)==0.00064 P(X≥2)=1-0.00032-0.0064≈0.99} （3）恰 2 次准确且第 3 次一定准确：剩下 4 次预报中恰好 1 次准确 P=0.8××=0.8×4×0.8×0.008≈0.08 【典例2】．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果须用分数作答） （1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 【答案】 (1)；(2) 【分析】 射击相互独立，甲击中，未击中；乙击中，未击中。利用对立事件、独立事件概率公式求解。 【详解】 （1）“至少 1 次未击中” 对立事件：3 次全部击中 P(全击中)== P(至少1次未击中)=1- = （2）甲射击 2 次恰好击中 2 次： == 乙射击 2 次恰好击中 1 次： = = 甲乙相互独立： P== × = 题型2 二项分布的分布列 【典例1】．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列. 【答案】分布列见表格 【分析】 每位考生选做 15 题概率p= ，4 名考生相互独立， X∼B(4,)，X可取0,1,2,3,4。 概率公式：P(X=k)=。 【详解】 P(X=0)== P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)== P(X=4)== 表格 0 1 2 3 4 【典例2】．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布列. 【答案】分布列见表格 【分析】 连续射击 4 次，每次射击相互独立，击中概率p=0.8， X∼ B(4,0.8)，X可取0,1,2,3,4。 P(X=k)=。 【详解】 P(X=0)== P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)== P(X=4)== 表格 0 1 2 3 4 三、知识检测 1.n重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的；其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 【答案】C 【分析】 n 重伯努利试验条件： 1. 各次试验相互独立； 2. 每次试验只有两种结果（成功、失败）； 3. 每次试验成功的概率保持不变。 【详解】 ①各次试验之间是相互独立的 ✔ ②每次试验只有两种结果 ✔ ③各次试验成功的概率是相同的 ✔ ④每次试验发生的事件是互斥的 ❌，伯努利试验要求试验之间独立，不是互斥。 故①②③正确，选 C。 2．设随机变量，则P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据二项分布的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以P(X=3)== 故选：A 3. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以． 故选：B 4．已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式计算． 【详解】． 故选：D． 5．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则, ,选择D答案． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题． 6．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先建立方程求出，再计算即可. 【详解】解：因为随机变量，， 所以，则， 因为，即，解得 随机变量中， ， 故选：A 7．已知随机变量，则E(X),D(X）分别为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 二项分布，期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)，本题n=2，p = 。 【详解】 E(X)=np=2× = D(X)=np(1-p)=2××（1- ）=2×× = 故选 D。 8．若随机变量X服从二项分布，则 ( ) A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=2P(X=1) C.P(X=2)=P(X=3) D.P(X=3)=4P(X=1) 【答案】D 【分析】 ，P(X=k)=，分别计算对应概率。 【详解】 P(X=1)= = P(X=2)= = P(X=3)= = A：≠，错误 B：≠2×，错误 C：≠，错误 D：4P(X=1)=4× = =P(X=3)，正确 故选 D。 9．在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同.若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数X的期望和方差分别为( ) A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】A 【分析】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解. 【详解】设事件在每次试验中发生的概率为，则， 因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得， 所以，所以. 故选：A. 10.某一批黄豆种子，如果每一粒发芽的概率为0.8，那么播下3粒种子恰好有2粒发芽的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 每粒种子发芽概率0.8= ，不发芽概率0.2= ，播 3 粒恰好 2 粒发芽：2 粒发芽，1 粒不发芽，考虑哪一粒不发芽，共种情况。 【详解】 P = ×× =3\××= 故选 C。 11.设随机变量，则下列说法不正确的有（    ） A． B． C．的数学期望 D．的方差 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合n次独立重复试验的概率公式，以及二项分布的期望和方差公式判断即可. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，， ，故B不正确； X的数学期望，故C正确； X的方差，故D正确. 故选：B. 12.小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为．若，求； 【答案】 【分析】设小明第一轮答对的题数为，则，从而求出，再根据求出； 【详解】设小明第一轮答对的题数为， 由条件可知，则， 因为，所以， 因此，当时，． 13．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A,B,C 三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A，B,C每个项目测试的概率都是 （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X 的分布列. 【答案】 (1)；(2) 分布列见表格 【分析】 每个项目通过概率，各项目相互独立。 录用条件：通过 2 个或 3 个项目。先求单人被录用的概率，X表示甲、乙、丙 3 人中被录用的人数，X可取0,1,2,3，每个人是否被录用相互独立。 【详解】 （1）甲恰好通过 2 个项目，即 3 个项目中选 2 个通过，1 个不通过： P=）=3×= （2）先求单人被录用的概率p：通过 2 项或 3 项 p=+= + = X∼B(3,)，X=0,1,2,3 P(X=0)== P(X=1)== P(X=2)== P(X=3)== 表格 0 1 2 3 14.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下： 心理价位（元/件） 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望； 【答案】分布列见解析，期望为3.6； 【分析】由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率的分布列，由二项分布的期望公式得期望； 【详解】时，消费者购买该纪念品的概率， 由题意，，， ，同理，，，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 ； 15.一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌. 50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望； 【答案】 【分析】根据题意得到，再运用二项分布的期望公式直接求解即可； 【详解】由题意知，10个小球中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，4个白色球， 随机抽取一球，为黑色球或红色球的概率为， 所以，所以. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题46 二项分布 一、知识梳理 1. n次独立试验 1．伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. n重伯努利试验的特征： (1）同一个伯努利试验重复做n次；(2）各次试验的结果相互独立 3．对n次独立重复试验的理解 （1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：每次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. （2）独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛. 2.二项分布 1．二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，称X服从参数为n,p的二项分布，简记为 X∼B(n,p) 2．二项分布的均值与方差：如果X∼B(n,p)，那么（1-p） 3．二项分布的理解 （1）二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，是概率论中最重要的几种分布之一. （2）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次. （3）由二项分布的定义，若X∼B(n,p)，则P(X .这里各个符号的意义要弄清. （4）由于在n次独立重复试验中某个事件恰好发生k次的概率恰好是二项展开式中的第k+1项（这里k 可取0,1,2,···,n中的各个值），所以称这样的随机变量X服从二项分布 二、题型精练 题型1 独立重复试验的概率 【典例1】．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）． （1)5次预报中恰有2次准确的概率； （2)5次预报中至少有2次准确的概率； （3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 【典例2】．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果须用分数作答） （1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 题型2 二项分布的分布列 【典例1】．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列. 【典例2】．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布列. 三、知识检测 1.n重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的；其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 2．设随机变量，则P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 5．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 6．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，则E(X),D(X）分别为 ( ) A. B. C. D. 8．若随机变量X服从二项分布，则 ( ) A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=2P(X=1) C.P(X=2)=P(X=3) D.P(X=3)=4P(X=1) 9．在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同.若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数X的期望和方差分别为( ) A.和 B.和 C.和 D.和 10.某一批黄豆种子，如果每一粒发芽的概率为0.8，那么播下3粒种子恰好有2粒发芽的概率是（    ） A． B． C． D． 11.设随机变量，则下列说法不正确的有（    ） A． B． C．的数学期望 D．的方差 12.小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为．若，求； 13．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A,B,C 三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A，B,C每个项目测试的概率都是 （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X 的分布列. 14.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下： 心理价位（元/件） 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望； 15.一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌. 50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望； 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $