专题33 直线、平面垂直的判定与性质（练习）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题33直线、平面垂直的判定与性质 【考点1 线面垂直、面面垂直】 1．下列条件中，不能判断直线与平面垂直的是（  ） A．垂直于平面内三角形的两条边 B．垂直于内圆的两条直径 C．垂直于平面内梯形的两条边 D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理分析即可. 【详解】由线面垂直的判定定理可知，一条直线和平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直， 三角形的两条边两两相交，故A可以判定直线与平面垂直， 圆的直径相交于圆心，故B可以判定直线与平面垂直， 梯形的两条边，可能相互平行，不一定相交，故C不能判断直线与平面垂直， 由线面垂直的性质可知，，则， 故选：C. 2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理即可判断. 【详解】因为梯形的两腰所在的直线相交， 根据线面垂直的判定定理可知线面关系为垂直. 故选：A. 3．设为两个平面，则的充要条件是（ ） A．平行于同一个平面 B．垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 【答案】D 【分析】根据面面垂直的判定及性质定理即可判断. 【详解】平行于同一个平面时，则，故A错误； 垂直于同一个平面时，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，故B错误； 内一条直线垂直于内一条直线，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，故C错误； 内存在一条直线垂直于，则，反之也成立，故D正确. 故选：D． 4．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．不垂直 D．相交 【答案】B 【分析】利用面面垂直的判定定理即可得解. 【详解】由面面垂直的判定定理可知， 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 故选：B. 5．已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质定理即可判断求解. 【详解】由线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行. 所以直线的位置关系是平行. 故选：A． 6．如果直线平面，直线平面，那么（   ）． A． B． C．与不相交 D．与相交 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的性质即可求解. 【详解】因为直线垂直于平面，而直线位于平面内，根据直线与平面垂直的性质， 直线垂直于平面内的任意一条直线，所以. 故选：A. 7．下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面平行的判定可得，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 那么这条直线与这个平面平行，故①正确. 对②，由线面垂直的判定可得，平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线与这个平面垂直，故②错误. 对③，两平面垂直，一平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面，故③错误. 对④，由面面平行的判定可得，平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，故④正确. 综上，①④正确. 故选：D. 【考点2 线面所成角、二面角】 8．当直线与平面垂直时，它与平面所成的角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面垂直的定义求解即可. 【详解】当直线与平面垂直时，它与平面所成的角为. 故选：D. 9．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 【答案】C 【分析】分别根据空间异面直线的夹角，直线与平面的夹角的取值范围，二面角的取值范围及向量与向量夹角的取值范围即可得选项. 【详解】对于A选项，空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于B选项， 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于C选项， 二面角的取值范围是，故 C 正确； 对于D选项， 向量与向量夹角的取值范围是，故 D 选项错误. 故选：C. 10．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（    ） A．直线、都垂直于直线 B．直线、都垂直于平面 C．直线、都与直线成角 D．直线、都与平面成角 【答案】B 【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，都与垂直，可能，A选项错误. B选项，都垂直于平面，则，B选项正确. C选项，都与成角，可能相交，C选项错误. D选项，都与平面成角，可能异面，D选项错误. 故选：B 11．如图，在长方体中，，，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方体性质知平面，即可根据二面角定义求解得. 【详解】由长方体的性质可知平面，且平面， ∴，， ∴是二面角的平面角． 在中，， ∴，即二面角的大小为． 故选： B. 12．如图，在正方体中，二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，找到二面角的平面角，即可求解. 【详解】根据正方体的特征，可知平面，而在平面上，故，且. 二面角的平面角，. 故选：B. 13．将正方形沿对角线折成直二面角，此时等于（    ） A．30° B．45° C．90° D．60° 【答案】D 【分析】设正方形的对角线相交于点，边长为；作出折后的图形，可知是直二面角的平面角，在中，求得，据此可求解. 【详解】 如图，正方形的对角线相交于点，连接， 在正方形中，， 所以是直二面角的平面角，即. 设正方形边长为，则， 在中，， 又因为， 所以. 故选：D 【考点3 线面垂直、面面垂直综合题】 14．如图所示，已知正方形，是空间内一点，且平面，.求： (1)二面角的平面角的度数； (2)四棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质定理确定二面角的平面角，进而求解即可； （2）利用棱锥的体积公式求解即可； 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为是正方形，则， 而平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的一个平面角， 又因为是正方形，，所以， 又因为在中，， 所以，即二面角的平面角的度数为. （2）. 15．如图，在正方体中，求直线和平面所成的角.    【答案】 【分析】根据正方体性质作出直线和平面所成角的平面角，即可求得结果. 【详解】设正方体的棱长为a. 易知，，，平面， 所以平面， 又平面，所以. 又易知，，平面， 可得平面. 因此为斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，，， 可得. 所以. 即直线和平面所成的角为30°. 16．如图所示，平面，，求二面角的大小.                                    【答案】 【分析】先找到二面角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以.​ 【考点1线面垂直、面面垂直】 17．如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是______．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【答案】①②③ 【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可． 【详解】①由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； ②由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； ③由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故③正确； ④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以, 因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误． 故答案为：①②③． 18．若，且，则平面________平面. 【答案】 【分析】利用面面垂直的判定定理即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 19．平面平面，，直线，则直线m与n的位置关系是__________． 【答案】 【分析】利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得. 【详解】在长方体中，设平面为平面，平面为平面， 直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面， 因为，由线面垂直的性质定理，可得. 20．已知平面平面，，点，点，则“”是“”的_____条件． 【答案】充要 【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，结合充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】因为平面平面，，点，点， 当时，，则充分性成立； 当时，，则，则必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充要. 【考点2 线面所成角、二面角】 21．如图平面的斜线段的长为4cm，它在平面内射影的长为cm，则直线与平面所成的角的大小为_______    【答案】 【分析】先找到直线与平面所成的角，然后根据三角函数知识计算. 【详解】由题可知：直线与平面所成的角为， 又， 所以， 又，所以. 故答案为： 22．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 【答案】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 23．如图所示，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为_________． 【答案】 【分析】根据平面，得出为直线与平面所成的角即可解答. 【详解】平面， 为直线在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角， 又平面，平面， ，即，且， 所以，即直线与平面所成角的度数为， 故答案为：. 24．已知等腰的腰长为，底边长为，现沿着底边上的高对折，折后，则二面角的平面角大小是_________. 【答案】 【分析】首先根据二面角的概念得出为二面角的平面角，再由勾股定理即可确定的大小. 【详解】在等腰三角形中，底边为， 则有， 因为为底边上的高， 所以D为的中点，所以， 现沿着底边上的高对折，折后，如图， ，， 且平面，平面， 且平面平面， 所以为二面角的平面角， 因为， 所以， 所以， 二面角的平面角大小是， 故答案为：. 25．已知二面角，若平面内一点A到平面的距离为2，到棱的距离为4，则这个二面角大小为________． 【答案】或 【分析】利用二面角的定义，构造直角三角形即可得解. 【详解】 过点作平面的垂线，垂足为，设过点作l的垂线，垂足为， 因为，，所以， 因为且，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 则为二面角的平面角或其补角， 在中，，，， 又，所以或， 所以二面角的大小为或． 故答案为：或 26．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    【答案】 【分析】连接，证明，进而求出. 【详解】连接，    在直二面角中，， 又，，， 所以，又， 则，又， 所以在中， . 故答案为：. 【考点3 线面垂直、面面垂直综合题】 27．如图所示，点是边长为2的等边三角形所在平面外一点，，.求:    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作出辅助线，找到二面角的平面角，求出所需线段长度，代入余弦定理即可得解. （2）根据棱锥的体积公式，利用等体积法即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，    在中，，所以，同理， 所以为二面角的平面角， 在中，，故，同理， 在中，由余弦定理，得 （2）由（）可知，所以平面， 设到平面的距离为，根据三棱锥体积相等，得， 即， 在中，，则， 所以，， 所以，解得. 28．如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，，侧面是等边三角形，，点在平面上的射影恰是线段的中点． (1)二面角的大小； (2)异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设AD的中点F，连接PF，EF，即证∠PFE是二面角的平面角即可求解； （2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角即可求解． 【详解】（1）设，则， 如图，设AD的中点F，连接PF，EF， ∵ABCD是等腰梯形，且E为BC的中点， ∴ ，， ∵PAD是等边三角形，F为AD的中点 ， ∴，，， ∴∠PFE是二面角的平面角， ∵点P在平面ABCD上的射影为E， ∴，， 在中，， 即，所以. ∴二面角P－AD－M的大小是． （2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角． ∵GADC是平行四边形，∴， 又，则为等边三角形， ∴， ∵底面是等腰梯形，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得： ， ∴异面直线PA与CD所成角的余弦值为. 29．如图所示，在正四棱锥中，已知，，求： (1)与底面所成角的余弦值； (2)二面角的正弦值； (3)正四棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）首先连接AC，BD，AC与BD相交于点O，并连接PO，根据正四棱锥的几何特征得到与底面所成的角为，再根据勾股定理求出边长，利用直角三角形中的余弦的定义求值即可. （2）由正四棱锥的几何特征结合线面垂直的判定定理证明出平面，再由线面垂直的定义得出，由此可得为二面角为的一个平面角.，再由勾股定理求出各边长，利用直角三角形中的正弦的定义求值即可. （3）根据棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）如图所示，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，连接PO. ∵是正四棱锥，底面为正方形， ∴底面，与底面所成的角为. ， ， 又∵， ∴， ∴PA与底面ABCD所成角的余弦值为. （2）如图所示，取的中点E，连接. ∵是正四棱锥，底面为正方形， 为的中点， 在中， （三角形中位线）， ， ∴，即 又∵底面，平面， ∴，即， 为平面中两条相交直线， ∴平面，平面， ∴. ∴为二面角为的一个平面角. 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴二面角的正弦值为. （3） 1. （2026·河北对口升学·真题T19）圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用线面垂直的性质找到二面角的平面角即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为， 故选：. 2. （2024·河北对口升学·真题T11）已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面，面面的位置关系判断ACD；根据线面垂直的性质可判断B. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，根据线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误， 故选：B. 3. （2024·河北对口升学·真题T27）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，作，由线面垂直的判定与性质定理可得，在中，用等面积法求解即可. 【详解】如图，连接，作，垂足为， 在边长为的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点， 将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角， 所以， 如图，则为折叠成的二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，则， 又平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 由等面积法可得，，即， 解得，即点C到BD的距离为. 故答案为：. 4. （2024·河北对口升学·真题T29）在正方体中，二面角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取BD的中点O，连接，可得为二面角的平面角，利用余弦定理，即可求解． 【详解】 如图所示，取的中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 为二面角的平面角. 设正方体的棱长为 1 ，则， . 同理 故答案为： 5.（2023·河北对口升学·真题T28）已知在三棱锥中PA、AB、AC两两互相垂直，则二面角的正切值为_______.. 【答案】5 【解析】 【分析】运用二面角平面角及求法，直线与平面垂直的性质解题即可. 详解】作，并连接PH. 因为，平面，平面，. 所以平面， 因为平面，所以. 因为，平面，平面，， 则平面， 因为平面，所以. 故二面角为， 因为两两相互垂直，所以，则， 根据等面积法，可得，即，则. 二面角的正切值为. 故答案为：5. 6.（2023·河北对口升学·真题T29）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由平行直线找到异面直线所成的角，再由边的关系求解即可. 【详解】取AB中点记H，连接CH，DH，EH， 因为G，H分别为CD，AB中点， 因为为矩形，所以，， 所以为平行四边形，所以， 所以为直线CE与AG所成角， 因为ABCD是矩形，为正方形，， 所以，， 因为矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角， 所以可知面ABCD，面ABCD， 所以， 所以为直角，即， 因为在三角形EHC中有，， 所以三角形EHC为直角三角形， 所以在直角三角形EHC中有，， 所以， 所以直线CE与AG所成角为. 故答案为：. 7.（2022·河北对口升学·真题T25）已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 8.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件推导出即为二面角的平面角，进而求解. 【详解】 设平面PAB与a交于O,连接 由题意可知，，， 所以，，，， 又因为， 所以面， 所以，， 所以即为二面角的平面角， 如图所示，， 所以， 则二面角的大小为. 故答案为; 7.（2026·河北对口升学·真题T29）已知直棱柱，底面为直角梯形，且，，侧棱，点为棱的中点. （1）求证: 平面； （2）略； （3）略. 【答案】（1）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为，，侧棱， 则. 取的中点，连接.则，则，进而. 因为，所以. 因为平面，则. 因为平面，则平面. 8.（2025·河北对口升学·真题T28）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面. （1）求证：平面； （2）略. 【答案】（1）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，由直线与平面垂直的判定定理证得结论； 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以． 因为平面，平面，所以． 又，平面 所以平面． 9.（2024·河北对口升学·真题T36）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，． （1）求证：平面平面PCD； （2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找到直线BD与平面PBC所成角，再根据余弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【小问1详解】 因为四边形ABCD是正方形，所以. 又因为，平面PCD. 所以平面PCD. 又因为平面，所以平面平面PCD 【小问2详解】 如图所示，取的中点E，连接. 因为是等边三角形，E是的中点， 所以. 由（1）知平面PCD，平面PCD，所以. 因为，，平面， 所以平面. 从而是直线BD与平面PBC所成角. 因为四边形ABCD是正方形，是等边三角形，是直角三角形 所以，，. 则. 进而. 10.（2023·河北对口升学·真题T36）已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO. （1）求证：点为的中点; （2）若平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质证出线线平行即，再由中点得到为的中位线即可证明为中点. （2）由圆的直径所对圆周角为直角证出，再根据面面垂直性质证明平面，即可证明平面，进而证明. 【小问1详解】 证明：因为平面，且平面， 平面平面，所以， 又因为为直径的中点，所以为的中位线， 所以为中点. 【小问2详解】 因为为圆O的直径，C为圆周上一点， 所以，所以. 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又由（1）知，，所以平面. 又因为平面，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题33直线、平面垂直的判定与性质 【考点1 线面垂直、面面垂直】 1．下列条件中，不能判断直线与平面垂直的是（  ） A．垂直于平面内三角形的两条边 B．垂直于内圆的两条直径 C．垂直于平面内梯形的两条边 D． 2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内 3．设为两个平面，则的充要条件是（ ） A．平行于同一个平面 B．垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 4．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．不垂直 D．相交 5．已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 6．如果直线平面，直线平面，那么（   ）． A． B． C．与不相交 D．与相交 7．下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 【考点2 线面所成角、二面角】 8．当直线与平面垂直时，它与平面所成的角为（   ） A．0 B． C． D． 9．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 10．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（    ） A．直线、都垂直于直线 B．直线、都垂直于平面 C．直线、都与直线成角 D．直线、都与平面成角 11．如图，在长方体中，，，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 12．如图，在正方体中，二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 13．将正方形沿对角线折成直二面角，此时等于（    ） A．30° B．45° C．90° D．60° 【考点3 线面垂直、面面垂直综合题】 14．如图所示，已知正方形，是空间内一点，且平面，.求： (1)二面角的平面角的度数； (2)四棱锥的体积. 15．如图，在正方体中，求直线和平面所成的角.    16．如图所示，平面，，求二面角的大小.                                    【考点1线面垂直、面面垂直】 17．如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是______．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 18．若，且，则平面________平面. 19．平面平面，，直线，则直线m与n的位置关系是__________． 20．已知平面平面，，点，点，则“”是“”的_____条件． 【考点2 线面所成角、二面角】 21．如图平面的斜线段的长为4cm，它在平面内射影的长为cm，则直线与平面所成的角的大小为_______    22．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 23．如图所示，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为_________． 24．已知等腰的腰长为，底边长为，现沿着底边上的高对折，折后，则二面角的平面角大小是_________. 25．已知二面角，若平面内一点A到平面的距离为2，到棱的距离为4，则这个二面角大小为________． 26．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    【考点3 线面垂直、面面垂直综合题】 27．如图所示，点是边长为2的等边三角形所在平面外一点，，.求:    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离. 28．如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，，侧面是等边三角形，，点在平面上的射影恰是线段的中点． (1)二面角的大小； (2)异面直线与所成角的余弦值． 29．如图所示，在正四棱锥中，已知，，求： (1)与底面所成角的余弦值； (2)二面角的正弦值； (3)正四棱锥的体积. 1. （2026·河北对口升学·真题T19）圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（ ） A. B. C. D. 2. （2024·河北对口升学·真题T11）已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. （2024·河北对口升学·真题T27）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 4. （2024·河北对口升学·真题T29）在正方体中，二面角的余弦值为________． 5.（2023·河北对口升学·真题T28）已知在三棱锥中PA、AB、AC两两互相垂直，则二面角的正切值为_______.. 6.（2023·河北对口升学·真题T29）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 7.（2022·河北对口升学·真题T25）已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 8.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________. 7.（2026·河北对口升学·真题T29）已知直棱柱，底面为直角梯形，且，，侧棱，点为棱的中点. （1）求证: 平面； （2）略； 8.（2025·河北对口升学·真题T28）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面. （1）求证：平面； （2）略. 9.（2024·河北对口升学·真题T36）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，． （1）求证：平面平面PCD； （2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值． 10.（2023·河北对口升学·真题T36）已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO. （1）求证：点为的中点; （2）若平面平面，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $