专题33 直线、平面垂直的判定与性质（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题33 直线、平面垂直的判定与性质 【复习目标】 1．理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直判定、性质定理，会利用定理觪决有关问题； 2．理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直判定、性质定理，会利用定理觪决有关问题； 3. 理解直线与平面所成的角、二面角的概念，会求两种角. 【考点1 线面垂直、面面垂直】 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 【即时训练】 1．如果直线与平面内两条相交直线都垂直，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 【答案】B 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理求解即可. 【详解】如果直线与平面内两条相交直线都垂直， 那么根据直线与平面的判定定理，直线与平面的位置关系是垂直. 故选：B. 2．下列命题中正确的是（   ） A．平面和分别过两条互相垂直的直线，则 B．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则 C．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则 D．若平面内的两条直线垂直于平面内的无数条直线，则 【答案】C 【分析】根据线面的判定定理即可得解. 【详解】当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错； 若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直，所以，故 C正确， 平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线或垂直无数条平行直线，都不能得到该直线与平面垂直，即不能得到，B，D错， 故选：. 3．设l，m是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理和空间中的直线的位置关系判断即可. 【详解】选项A，根据线面垂直的判定定理，当垂直平面内两条相交直线时，则，故不正确； 选项B，由线面垂直的性质可知，平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直这个平面，故正确； 选项C，，则或两线异面，故不正确； 选项D，，则，故不正确； 故选：B 4．命题①垂直于同一个平面的两个平面互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相垂直③垂直于同一条直线的两条直线互相平行④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中正确的命题个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中线面关系，面面关系，结合线面垂直的性质逐个分析即可. 【详解】命题①：垂直于同一个平面的两个平面互相平行，或相交，故①错误， ②：由线面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故②错误， ③：垂直于同一条直线的两条直线可能异面，平行或相交，故③错误， ④：由平面平行的判定定理可得，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故④正确， 故正确的有1个， 故选：D. 5．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的是（      ） ①面面 ②面面 ③面面 ④面面． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】由于，由垂直于正方形所在平面，所以. 因为平面， 所以平面，则平面平面； 又，故平面，则平面平面． 故选：A. 6．下列命题正确的是（   ） A．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任何直线都与另一个平面垂直 B．如果两个平面与某一条直线垂直，那么两个平面垂直 C．如果一个平面含有另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 D．如果两个平面互相垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，那么这条直线不一定在这个平面内 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质及判定定理逐项判断即可得解. 【详解】如果两个平面互相垂直，根据面面垂直的性质可知，只有一个平面内垂直于交线的直线才于另一个平面垂直，故错误； 如果两个平面与某一条直线垂直，则两个平面相互平行，故错误； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，即如果一个平面含有另一个平面的垂线，则两个平面垂直，故正确； 如果两个平面互相垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，根据面面垂直的性质可知，这条垂线一定在这个平面内，故错误， 故选：. 7．在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（ ） A． B． C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质定理即可判断. 【详解】∵平面，直线平面， 又l与直线不重合， ∴， 故选：B． 8．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确. 【详解】A选项，缺条件，结论不成立； B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立； C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确 D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立. 故选：C 9．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，线面垂直，面面垂直的判定即可求解. 【详解】对C，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以， 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面； 因为平面，所以平面平面；故C正确. 对A，因为由已知条件不可得到平面， 又由选项C可得，平面平面，平面平面， 所以由两个平面垂直的性质可得，平面不一定垂直平面，故A错误. 对B，当长度趋近于时，点D趋近于中点，则三棱锥趋近于平面图形， 所以平面平面结论不一定正确，故B错误. 对D，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以，又因为平面平面， 平面，平面，所以为平面的二面角， 因为条件有限，所以不一定为，则平面平面结论不一定正确，故D错误. 故选：C. 10．下列命题错误的是（ ） A．如果两个平面所成的角是90°，那么两个平面互相垂直. B．如果平面内一条直线与平面垂直，那么与垂直. C．如果，且交线为，经过内一点的直线，那么 D．如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线必垂直于另一个平面. 【答案】C 【分析】根据平面与平面垂直的定义、判定定理及性质即可得解. 【详解】选项：如果两个平面所成的角是90°，那么两个平面互相垂直，故正确； 选项：如果平面内一条直线与平面垂直，那么与垂直，故正确； 选项C：若，且交线为，经过内的一点的直线， 直线可能不在平面内，因此不一定垂直于平面，故错误； 选项：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线必垂直于另一个平面，故正确， 故选：C. 【考点2 线面所成角、二面角】 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. (2)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． 【即时训练】 1．直线l与平面所成的角为，直线，则m与所成的角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线平行的性质得到直线与平面所成角. 【详解】∵，∴直线l与平面所成的角等于m与所成的角， 又直线l与平面所成的角为， ∴m与所成的角为， 故选：B. 2．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面角的定义，结合正方体的结构特征即可得解. 【详解】由正方体的性质可知平面， 所以为直线与平面所成的角， 而，所以直线与平面所成角的大小为. 故选：B. 3．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得为与平面所成的角，再利用勾股定理即可得解. 【详解】如图，取的中点，连接.    因为三棱柱为直三棱柱，则平面. 又平面，所以. 由题意得，为等腰直角三角形，且为斜边的中点，则. 因为，且两直线在平面内，所以平面. 则为与平面所成的角. 又平面，所以，则是直角三角形. 在等腰直角三角形中，，则. 在直三棱柱中，则. 所以在直角中，. 故选：C. 4．搭建正四棱锥形状的帐篷，底面边长为 4m，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的高为（   ）. A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【分析】根据线面角的定义和正四棱锥的结构特征即可得解. 【详解】正四棱锥底面边长为 4m，所以底面对角线的一半为， 侧棱与底面所成角为，所以正四棱锥的高为， 故选：. 5．如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出二面角的平面角，并求出其大小. 【详解】由长方体的性质可知平面，平面，平面， ∴，且， ∴为二面角的平面角． ∵，∴． 故选：B. 6．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 【答案】B 【分析】根据题中所给条件，找出二面角的平面角. 【详解】∵平面，平面， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴， ∴为二面角的平面角. 故选：B. 7．在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，结合正方体的性质得出为平面与平面所成二面角的夹角，在中运用余弦定理求解即可． 【详解】如图：取中的，连接，，，，    ∵在正方体中，设棱长为， ∴， 根据正方体的几何性质得出平面， ， ∵平面， ∴， ∴， ∵平面，平面； 平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面， ∴， ∴为平面与平面所成二面角的夹角， ∴ 在中，. 故选：. 8．已知正方体，则下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面的夹角为 C．直线与的夹角为 D．平面与平面所成的二面角为 【答案】D 【分析】根据据直线与直线、直线与平面所成角及二面角知识逐项分析即可. 【详解】A选项中，因为为正方体， 所以平面， 因为平面， 所以，异面直线与所成的角为，故A错误， B选项中，因为为正方体， 所以平面， 所以为直线与平面的夹角，因为， 所以直线与平面的夹角为，故B错误， C选项中，直线，和均为正方体的面对角线， 所以为等边三角形， 所以直线与的夹角为，故C错误， D选项中，因为为正方体， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 因为，所以平面与平面所成的二面角为，故D正确， 故选：D. 9．已知边长为的菱形，，将菱形沿对角线折成直二面角，则的长为（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】由题意，结合二面角的定义可得，所以是等腰直角三角形，根据条件求解即可. 【详解】如图，取中点，连接，    因为， 则为二面角的平面角，由题意， 所以是等腰直角三角形， 因为，所以， 因此． 故选：C． 10．在一个的二面角的一个平面内有一点C，它到另一个平面的距离，则它到棱的距离（   ）    A． B． C．5 D．20 【答案】A 【分析】根据题意，结合二面角的概念、线面垂直的判定定理和性质定理，即可求解. 【详解】由题意，设，则， 又，，所以，， 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以是二面角的平面角，即， 所以. 故选：A. 【考点3 线面垂直、面面垂直综合题】 一、 证明“线面垂直”的方法（核心重点） 方法核心：要在平面内找到 两条相交直线，都跟目标直线垂直。 解题步骤（找线技巧）： 1、先找现成的垂直：看题目给出的已知条件（如直棱柱侧棱⊥底面，菱形对角线⊥，等腰三角形底边中线⊥等）。 2、利用“线面垂直”推“线线垂直”：如果已知另一条线垂直于这个平面，那它自然垂直于平面内所有直线（性质定理）。 二、 证明“面面垂直”的方法 方法核心：找一个平面经过另一个平面的一条垂线。 判定定理：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。 解题步骤： 1、寻找垂线：先在其中一个平面（比如平面α）内找一条直线 2、证明线面垂直：证明这条直线垂直于另一个平面（比如平面β）。 【即时训练】 1．如图平面，中，，，， 求： (1)直线与平面所成的角. (2)点P到直线的距离. (3)平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由于平面，故在平面的射影为，即为所求，从而可求解. （2）由已知可证平面，从而，即为所求，在可求解. （3）由（1）可知，且，故是平面与平面所成角.在中可求解. 【详解】（1）由于平面，故在平面的射影为，即为所求角. 在中，，，故， 在，， 所以. （2）因为平面，平面， 所以， 又，，平面PBC， 所以平面， 又因为平面，所以. 即点到直线的距离为， 所以在中，，，故. （3）由（1）知，且， 故平面与平面所成的角， 在中，. 2．如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析. (2). 【分析】（1）由直线与平面垂直的定义与判定方法即可得解. （2）由直线与平面所成的角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在三棱柱中,底面. 所以. ,,为中点. 所以. ，且两直线在平面内， 所以. （2） 连接,因为,所以是直线与平面形成的角. 在直角中. 所以. 综上所述:直线与平面所成角为 3．在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 【答案】(1)30° (2) 【分析】（1）由正四棱锥可知底面对角线焦点与顶点连线垂直底面，求出线面角即可. （2）由棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接AC，BD交于点，连接PO. 因为，底面ABCD是正方形，所以， 且平面ABCD，则就是PB与平面ABCD所成的角. ，， 又， 所以，则. （2）正四棱锥的底面面积，高， 根据体积公式， 可得体积. 4．如图，已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为a，求 (1)侧棱PA与底面ABCD所成角的度数； (2)二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出直线与平面所成的夹角，再结合勾股定理，正四棱锥的特征即可求解. （2）先找出二面角所成的平面角，再结合勾股定理，正四棱锥的特征即可求解. 【详解】（1）连接AC，过P点作PO垂直AC. 则AO为PA在底面的投影. 所以是侧棱PA与底面ABCD所成角. 由勾股定理可得，， 在直角三角形PAO中， . 所以. 即侧棱PA与底面ABCD所成角的度数为. （2）过P点作PM垂直BC，连接OM. 在正四棱锥中， 因为，所以点M为中点. 则. 因为平面， 平面. 所以即为二面角的平面角. . 二面角的余弦值为. 5．如图所示，已知是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的点，直线平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得直径所对的圆周角为直角，再由面面垂直的判定定理即可证明. （2）作一条垂直，再证明一条垂直，找到二面角后放到三角形中求解即可. 【详解】（1）是圆的直径， ， 又平面，平面， ， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （2）过作于，连结． 平面，平面， ， ，且平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， 在中，，， ， 则， 二面角的余弦值为. 6．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，． (1)证明：平面⊥平面； (2)求四棱锥的体积与表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)体积为，表面积为 【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）在（1）的基础上，得到为四棱锥的高，由体积公式求出四棱锥的体积，得到△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形，求出四个三角形面积，求出表面积. 【详解】（1）取AD的中点为O，连接QO，CO． 因为，，则， 而，，故． 在正方形ABCD中，因为，故，故， 因为，故， 故为直角三角形且， 因为，平面，故⊥平面， 因为QO平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD． （2）取中点，连接， 由（1）可知为四棱锥的高，且， 底面正方形ABCD的边长为2， 所以四棱锥的体积， 由（1）可知平面QAD⊥平面ABCD， 又因为，AB平面ABCD，平面QAD平面， 所以AB⊥平面QAD， 又因为AQ平面QAD，QD平面QAD， 所以，，故 又，， 故⊥，△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形, 其中， 四边形的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为，， 所以棱锥的表面积为． 1. （2026·河北对口升学·真题T19）圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用线面垂直的性质找到二面角的平面角即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为， 故选：. 2. （2024·河北对口升学·真题T11）已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面，面面的位置关系判断ACD；根据线面垂直的性质可判断B. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，根据线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误， 故选：B. 3. （2024·河北对口升学·真题T27）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，作，由线面垂直的判定与性质定理可得，在中，用等面积法求解即可. 【详解】如图，连接，作，垂足为， 在边长为的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点， 将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角， 所以， 如图，则为折叠成的二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，则， 又平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 由等面积法可得，，即， 解得，即点C到BD的距离为. 故答案为：. 4. （2024·河北对口升学·真题T29）在正方体中，二面角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取BD的中点O，连接，可得为二面角的平面角，利用余弦定理，即可求解． 【详解】 如图所示，取的中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 为二面角的平面角. 设正方体的棱长为 1 ，则， . 同理 故答案为： 5.（2023·河北对口升学·真题T28）已知在三棱锥中PA、AB、AC两两互相垂直，则二面角的正切值为_______.. 【答案】5 【解析】 【分析】运用二面角平面角及求法，直线与平面垂直的性质解题即可. 详解】作，并连接PH. 因为，平面，平面，. 所以平面， 因为平面，所以. 因为，平面，平面，， 则平面， 因为平面，所以. 故二面角为， 因为两两相互垂直，所以，则， 根据等面积法，可得，即，则. 二面角的正切值为. 故答案为：5. 6.（2023·河北对口升学·真题T29）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由平行直线找到异面直线所成的角，再由边的关系求解即可. 【详解】取AB中点记H，连接CH，DH，EH， 因为G，H分别为CD，AB中点， 因为为矩形，所以，， 所以为平行四边形，所以， 所以为直线CE与AG所成角， 因为ABCD是矩形，为正方形，， 所以，， 因为矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角， 所以可知面ABCD，面ABCD， 所以， 所以为直角，即， 因为在三角形EHC中有，， 所以三角形EHC为直角三角形， 所以在直角三角形EHC中有，， 所以， 所以直线CE与AG所成角为. 故答案为：. 7.（2022·河北对口升学·真题T25）已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 8.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件推导出即为二面角的平面角，进而求解. 【详解】 设平面PAB与a交于O,连接 由题意可知，，， 所以，，，， 又因为， 所以面， 所以，， 所以即为二面角的平面角， 如图所示，， 所以， 则二面角的大小为. 故答案为; 7.（2026·河北对口升学·真题T29）已知直棱柱，底面为直角梯形，且，，侧棱，点为棱的中点. （1）求证: 平面； （2）略； （3）略. 【答案】（1）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为，，侧棱， 则. 取的中点，连接.则，则，进而. 因为，所以. 因为平面，则. 因为平面，则平面. 8.（2025·河北对口升学·真题T28）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面. （1）求证：平面； （2）略. 【答案】（1）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，由直线与平面垂直的判定定理证得结论； 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以． 因为平面，平面，所以． 又，平面 所以平面． 9.（2024·河北对口升学·真题T36）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，． （1）求证：平面平面PCD； （2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找到直线BD与平面PBC所成角，再根据余弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【小问1详解】 因为四边形ABCD是正方形，所以. 又因为，平面PCD. 所以平面PCD. 又因为平面，所以平面平面PCD 【小问2详解】 如图所示，取的中点E，连接. 因为是等边三角形，E是的中点， 所以. 由（1）知平面PCD，平面PCD，所以. 因为，，平面， 所以平面. 从而是直线BD与平面PBC所成角. 因为四边形ABCD是正方形，是等边三角形，是直角三角形 所以，，. 则. 进而. 10.（2023·河北对口升学·真题T36）已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO. （1）求证：点为的中点; （2）若平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质证出线线平行即，再由中点得到为的中位线即可证明为中点. （2）由圆的直径所对圆周角为直角证出，再根据面面垂直性质证明平面，即可证明平面，进而证明. 【小问1详解】 证明：因为平面，且平面， 平面平面，所以， 又因为为直径的中点，所以为的中位线， 所以为中点. 【小问2详解】 因为为圆O的直径，C为圆周上一点， 所以，所以. 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又由（1）知，，所以平面. 又因为平面，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题33 直线、平面垂直的判定与性质 1．理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直判定、性质定理，会利用定理觪决有关问题； 2．理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直判定、性质定理，会利用定理觪决有关问题； 3. 理解直线与平面所成的角、二面角的概念，会求两种角. 【考点1 线面垂直、面面垂直】 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α， ， ，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即： ⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为 . ②线面角θ的范围：θ∈ . 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈ ． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即： ⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 【即时训练】 1．如果直线与平面内两条相交直线都垂直，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 2．下列命题中正确的是（   ） A．平面和分别过两条互相垂直的直线，则 B．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则 C．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则 D．若平面内的两条直线垂直于平面内的无数条直线，则 3．设l，m是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．命题①垂直于同一个平面的两个平面互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相垂直③垂直于同一条直线的两条直线互相平行④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中正确的命题个数为（   ） A． B． C． D． 5．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的是（      ） ①面面 ②面面 ③面面 ④面面． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．下列命题正确的是（   ） A．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任何直线都与另一个平面垂直 B．如果两个平面与某一条直线垂直，那么两个平面垂直 C．如果一个平面含有另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 D．如果两个平面互相垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，那么这条直线不一定在这个平面内 7．在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（ ） A． B． C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直 8．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 9．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 10．下列命题错误的是（ ） A．如果两个平面所成的角是90°，那么两个平面互相垂直. B．如果平面内一条直线与平面垂直，那么与垂直. C．如果，且交线为，经过内一点的直线，那么 D．如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线必垂直于另一个平面. 【考点2 线面所成角、二面角】 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为 . ②线面角θ的范围：θ∈ . (2)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈ ． 【即时训练】 1．直线l与平面所成的角为，直线，则m与所成的角等于（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 3．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 4．搭建正四棱锥形状的帐篷，底面边长为 4m，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的高为（   ）. A．m B．m C．m D．m 5．如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 7．在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体，则下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面的夹角为 C．直线与的夹角为 D．平面与平面所成的二面角为 9．已知边长为的菱形，，将菱形沿对角线折成直二面角，则的长为（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 10．在一个的二面角的一个平面内有一点C，它到另一个平面的距离，则它到棱的距离（   ）    A． B． C．5 D．20 【考点3 线面垂直、面面垂直综合题】 一、 证明“线面垂直”的方法（核心重点） 方法核心：要在平面内找到 两条相交直线，都跟目标直线垂直。 解题步骤（找线技巧）： 1、先找现成的垂直：看题目给出的已知条件（如直棱柱侧棱⊥底面，菱形对角线⊥，等腰三角形底边中线⊥等）。 2、利用“线面垂直”推“线线垂直”：如果已知另一条线垂直于这个平面，那它自然垂直于平面内所有直线（性质定理）。 二、 证明“面面垂直”的方法 方法核心：找一个平面经过另一个平面的一条垂线。 判定定理：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。 解题步骤： 1、寻找垂线：先在其中一个平面（比如平面α）内找一条直线 2、证明线面垂直：证明这条直线垂直于另一个平面（比如平面β）。 【即时训练】 1．如图平面，中，，，， 求： (1)直线与平面所成的角. (2)点P到直线的距离. (3)平面与平面所成角的正切值. 2．如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 3．在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 4．如图，已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为a，求 (1)侧棱PA与底面ABCD所成角的度数； (2)二面角的余弦值. 5．如图所示，已知是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的点，直线平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，，求二面角的余弦值． 6．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，． (1)证明：平面⊥平面； (2)求四棱锥的体积与表面积． 1. （2026·河北对口升学·真题T19）圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（ ） A. B. C. D. 2. （2024·河北对口升学·真题T11）已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. （2024·河北对口升学·真题T27）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 4. （2024·河北对口升学·真题T29）在正方体中，二面角的余弦值为________． 5.（2023·河北对口升学·真题T28）已知在三棱锥中PA、AB、AC两两互相垂直，则二面角的正切值为_______.. 6.（2023·河北对口升学·真题T29）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 7.（2022·河北对口升学·真题T25）已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 8.（2022·河北对口升学·真题T30）在二面角内有一点P，过P作于点A，作于点B，若，则二面角的大小为_______________. 7.（2026·河北对口升学·真题T29）已知直棱柱，底面为直角梯形，且，，侧棱，点为棱的中点. （1）求证: 平面； （2）略； 8.（2025·河北对口升学·真题T28）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面. （1）求证：平面； （2）略. 9.（2024·河北对口升学·真题T36）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，． （1）求证：平面平面PCD； （2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值． 10.（2023·河北对口升学·真题T36）已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO. （1）求证：点为的中点; （2）若平面平面，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $