7.4.1用样本估计总体-（人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》

7.4.1用样本估计总体 一、知识梳理 集中趋势与离散程度 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，反映这组数据中心点的位置所在.常用的表示集中趋势的统计量有算术平均数、 中位数和众数等. 1. 算术平均数 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数称为这组数据的算数平均数.设这组数据为 x1，x2，…，xn，则它们的算术平均数为． 可以看出，算术平均数的计算方法与基础模块中样本均值的计算方法是一致的，所以算术平均数也称为算术均值. 在某些实际问题中，不同样本数据的重要程度可能不同，从而对集中趋势产生不同的影响，若一组数据为 x1，x2，…，xn，它们出现的频数分别为 f1，f2，…，fn，则 称为这组数据的加权算术平均数，其中 fk 也称为样本数据 xk 的权重. 2. 中位数 一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数或者位于中间位置的两个数的算术平均数称为中位数， 记为 Me. 3. 众数 一组数据中出现次数最多的数值称为众数 4. 极差 一组数据的最大值和最小值之差称为极差，也称全距.极差是最简单的描述数据离散程度的统计量.若 xmax 与 xmin 分别表示这组数据的最大值和最小值，则这组数据的极差 R= xmax- xmin. 用极差来评价数据的离散程度时，极差值越小，说明数据的离散程度越小，数据越集中，算术平均数的代表性越好；反之，极差值越大，数据的离散程度越大，数据越分散，算术平均数的代表性越差. 5. 方差和标准差 设一组数据为为 x1，x2，…，xn，则这组数据的方差为 这组数据的标准差为 方差和标准差反映一组数据的平均离散程度，消除了样本含量的影响，通常与平均数一起用来描述一组数据的集中趋势和离散程度. 在平均数相同的情况下，方差和标准差越大，数据的离散程度越大；反之，数据的离散程度越小. 二、题型精练 题型1 平均数、众数、中位数、标准差、极差表示的含义 【典例1】：能反映一组数据的离散程度的是（    ） A．众数 B．平均数 C．标准差 D．极差 【答案】C 【分析】根据众数，平均数、标准差、极差表示的含义可得结果. 【详解】众数是反映数据的集中趋势特征的统计量，不能反映数据的离散程度，故A错误； 平均数反映数据的平均水平，不能反映数据的离散程度，故B错误； 标准差反映一组数据的平均离散程度，故C正确； 极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中，故D错误. 故选：C 【典例2】：如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据折线图的分布可判断两个样本的均值和方差、标准差的大小，故可得正确的选项. 【详解】由题图知，组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10； 组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10， 所以，. 显然. 又由图形可知，组数据的分布比组的均匀，变化幅度不大， 故组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小， 所以. 故选：B 题型2 平均数的计算 【典例1】：在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示： 金额/元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 这8名同学捐款的平均金额为（   ） A．3.5元 B．6元 C．6.5元 D．7元 【答案】C 【分析】根据平均数公式求解. 【详解】根据题意得：平均金额（元）. 故选：C. 【典例1】：一组数据3，5，7，，的平均数是6，则，的平均数为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．15 【答案】C 【分析】根据平均数的公式求解即可. 【详解】一组数据3，5，7，，的平均数是6， 所以，解得， 所以，的平均数为7.5. 故选：C. 【典例3】：若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据平均数的计算公式可求解. 【详解】因为样本数据的平均数是2， 所以, 故所求数据的平均数为： . 故选：C 【典例4】：某同学在计算一组数据的平均数时，误将102看成了12，若该同学得到的这20个数据的平均值为a，则实际的数据的平均数应为 ． 【答案】 【分析】根据平均数的定义求解即可； 【详解】由题意可知，20个数据实际的总和为， 则实际的数据的平均数为\． 故答案为： 题型3 众数、中位数的计算 【典例1】：样本数据12，18，15，22，20，22，24的中位数和众数分别是（    ） A．19和20 B．19和22 C．22和20 D．20和22 【答案】D 【分析】根据中位数和众数的概念求解即可. 【详解】数据按从小到大的顺序排列：， 中位数是20；数据22出现了2次，次数最多， 众数是22. 故选：D. 题型4 标准差、方差、极差的计算 【典例1】：一组数据的最大值为 36，最小值为 14，这组数据的极差为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】根据题意结合极差公式即可得解. 【详解】一组数据的最大值为 36，最小值为 14， 这组数据的极差为. 故选：. 【典例2】：某班一次数学测验成绩的平均分为 75，方差为 25，则标准差为 ______. 【答案】5 【分析】根据标准差的定义求解即可. 【详解】因为方差为 25，则标准差为 . 故答案为：5. 【典例3】：一组数据76、77、88、、85、94的平均数为85，则此组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据均值和标准差的有关知识即可求解. 【详解】由均值公式， 可得:，解得， 高教版： ， 人教版： 故选：C. 10．一个班有45人，取5人成绩分别是：. (1)求平均数； (2)求样本方差； (3)求样本标准差. 【答案】(1)80 (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）由平均数的计算方法即可得解； （2）由样本方差的计算方法即可得解； （3）由样本标准差的计算方法即可得解. 【详解】（1） 因为5人成绩分别是：85，90, 70, 60, 95 所以. （2） 方法一：对应高教版 样本方差 ， 方法二：对应人教版 样本方差 . （3） 方法一：对应高教版 样本标准差. 方法二：对应人教版 样本标准差. 题型5 平均数与方差的实际意义 【典例1】：某校决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名参加诗歌朗诵大赛，已知甲、乙、丙、丁四人的平均分相同，甲的方差为0.32，乙的方差为0.41，丙的方差为0.27，丁的方差为0.22，则选择哪位学生最合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据方差的实际意义即可得解. 【详解】四名学生的平均分相同，方差越小越稳定，， 则选择丁最合适， 故选：. 【典例2】：甲、乙两个同学在最近几次模拟考试中数学成绩如下： 甲：86，90，85，87，88 乙：96，80，83，85，86 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪位同学的成绩更稳定. 【答案】(1)；；（对应人教版）；；（对应高教版）； (2)甲比乙稳定. 【分析】（1）根据平均数及方差的计算公式可求解； （2）根据方差表示的含义可得结果. 【详解】（1）由题可知 ； ； 解法一（对应人教版）： ； ； 解法二（对应高教版）： ； ； （2），甲比乙稳定. 3、 知识检测 1．下列对一组数据的分析，不正确的说法是（    ） A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据标准差越小，样本数据分布越集中，稳定 D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 【答案】B 【分析】根据极差、平均数、方差、标准差表示的含义可得结果. 【详解】因为极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中，故A说法正确； 平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否，故B说法错误； 方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差较小的数据波动较小，稳定程度高；故C、D说法正确； 故选：B 2．某商场要反映不同品牌冰箱的销售情况，以确定主推品牌，应选择的统计指标是（    ） A．算术平均数 B．加权平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【分析】根据算术平均数、加权平均数、中位数及众数的概念求解. 【详解】“确定主推品牌”需选择销量最高的品牌，对应“出现次数最多的品牌”，需用众数判断； 算术平均数、加权平均数计算的是平均销量，中位数反映中间销量，均无法体现“销量最高”， 故选：D． 3．下列判断正确的是（   ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 【答案】D 【分析】根据样本平均数和总体平均数之间的关系逐个分析即可. 【详解】样本的平均数可能大于总体的平均数， 也可能小于总体的平均数，也可能等于总体的平均数， 故A，B，C错误， 总体平均数常常用样本平均数来估计，样本容量越大，估计越准确，故D正确， 故选：D. 4．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（   ） A．甲的数学成绩最后3次逐渐降低 B．甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的次数 C．甲有7次考试成绩比乙高 D．甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 【答案】C 【分析】根据折线图，对选项逐一进行分析即可. 【详解】对于A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法错误； 对于B，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B说法错误； 对于C，甲有7次考试成绩比乙高，故C的说法正确； 对于D，由折线图可知，甲、乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分， 因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D说法错误． 故选：C. 5．若样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据平均值的计算公式求解即可. 【详解】因为样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17， 所以，解得. 故选：C. 6．一个样本数据为24，17，，，18，其平均数为26，则为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】B 【分析】根据平均数计算公式求解即可. 【详解】将样本数据代入平均数计算公式得，解出方程得. 故选：B. 7．在这五个数中添加一个数，它们的平均数却没有变化，则__________. 【答案】5 【分析】先求出原五个数的平均数，再根据添加一个数后平均数不变列出方程求解. 【详解】原五个数、、、、的平均数为：， 添加一个数后，数据变为、、、、、，共个数，此时平均数仍为， 可列出方程：，得，解得， 故答案为：5. 7．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数是（   ） A．110 B．111 C．112 D．113 【答案】B 【分析】根据平均数计算公式即可得解. 【详解】由题意， 该学习小组数学成绩的平均数为. 故选：. 8．已知，，，的平均数为4，则由，，，组成的新数据的平均数为 . 【答案】7 【分析】根据平均数的计算公式求解. 【详解】∵，，，的平均数为4，∴， ∴，，，的平均数为. 故答案为：7. 9．一组观察值2，3，4，5出现的次数分别为2，2，3，3，则样本平均值为（   ） A．3.7 B．3.77 C．3.5 D．9.25 【答案】A 【分析】根据题意结合平均数公式即可得解. 【详解】样本的平均值为， 故选：. 10．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（   ） A．5 B．6 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据平均数的公式求解即可. 【详解】设成绩为8环的人数为，则平均成绩为， 解得. 故选：A. 11．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平均数的定义可求； （2）先求出甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生，列出所有可能然后求概率即可. 【详解】（1）甲班平均熬夜时长； 乙班平均熬夜时长； （2）甲班“过度熬夜”3人，设为，乙班“过度熬夜”2人，设为， 从过渡熬夜中抽取两人，有，种可能； 这2人都来自甲班有，种可能； 则这2人都来自甲班的概率. 12．一个社区有430户家庭，为了了解社区居民5月份的用水情况，从中随机抽取8个家庭，得到每个家庭用水量分别为20，10.2，10.9，13.4，18.2，8.8，13.3，11.6（单位：吨）请估计该社区每个家庭的平均用水量及该社区总的用水量. 【答案】13.3吨，5719吨. 【分析】根据平均值公式，再用平均用水量乘以社区家庭总数得到社区总用水量 【详解】因为每个家庭用水量分别为20，10.2，10.9，13.4，18.2，8.8，13.3，11.6， 所以该社区居民家庭月用水量平均值（吨）. 该社区居民月用水总量估计为吨. 13．某小组7名学生的中考体育分数（满分为分）如下：，该组数据的众数、中位数分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用众数、中位数的定义即可求解. 【详解】将数据重新排列为， 所以该组数据的众数为，中位数为， 故选：D 14．样本的标准差是________ 【答案】（人教版）;（高教版）. 【分析】首先求出样本的均值，再求出标准差即可. 【详解】样本的均值为. （人教版）方差为， 进而标准差为. （高教版）方差为， 进而标准差为. 故答案为：（人教版）;（高教版）. 15．样本中共有5个个体，其值分别为，0，1，2，3.若该样本的平均值为1，则样本方差为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】首先根据平均值求出，再根据方差的公式求解即可. 【详解】由样本平均值为1，知，故. 所以样本方差. 故选：D. 16．若样本数据的标准差为，则数据的标准差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设样本数据的标准差为，其平均数为，计算出数据的平均数和方差即可求解. 【详解】设样本数据的标准差为，其平均数为，则， 即方差，而数据的平均数为， 则其方差为 ， 所以. 故选：C. 17．若样本的平均数为10，方差为2，则样本的平均数和方差分别为 . 【答案】和 【分析】利用样本平均数与方差的性质即可得解. 【详解】因为样本的平均数为10，方差为2， 所以样本的平均数为， 方差为. 故答案为：和. 18．如果一组数据的平均数是，方差是，那么另一组数据的平均数和方差分别是（    ） A．2， B．2，1 C．4，1 D．4，3 【答案】D 【分析】根据平均数与方差的线性变换性质求解即可. 【详解】因为数据的平均数是，方差是， 所以新数据的平均数为， 方差为，选项D符合. 故选：D. 19．如果样本数据3，6，，4，2的样本均值为4，则样本方差为 _______ 【答案】（高教版）；（人教版） 【分析】根据均值的定义求出值，代入方差公式即可得解. 【详解】样本数据3，6，，4，2的样本均值为4， 则，解得， 解法一：高教版， ， 解答二：人教版， ， 故答案为：（高教版）；（人教版）. 20．在某项体育比赛中，7位裁判员为选手打出如下分数： 90  89  90  95  93  94  93 去掉一个最高分和最低分，所剩数据的方差为 ． 【答案】（人教版）；（高教版） 【分析】根据题意求出平均数，代入方差公式即可得解. 【详解】去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为90，90，93，94，93， 平均数为． 人教版： 方差为， 高教版： 方差为， 故答案为：（人教版）；（高教版）. 21．某射击运动员射击5次，命中的环数分别为9，8，6，8，9，这5个数据的方差为___________. 【答案】或. 【分析】由方差公式或即可求解 【详解】, 由方差公式， 得 或， 得 故答案为：或. 22．某车床生产一种型号的滚珠，现从这台车床生产的产品中抽取20件，测得滚珠的直径如下（单位：mm）： 15.0  14.5  15.2  15.5  14.8  15.1  15.2  14.8  15.2  15.0  14.8  15.2  15.0  15.0  14.8  14.8  15.1  14.9  15.3  14.8 试求这批零件的平均直径及样本方差（精确到0.001）. 【答案】平均直径；样本方差（对应高教版），（对应人教版） 【分析】根据平均数和样本方差的计算公式求解即可. 【详解】由题可得，平均直径（单位：)：. 样本方差为： . 23．已知甲、乙、丙、丁四名学生参加投篮选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，若要从这四人中选择一人参加投篮比赛，则最佳人选是（   ） 学生 甲 乙 丙 丁 平均成绩 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的实际意义进行分析即可. 【详解】由图表可知，乙和丙的平均成绩大于甲和丁， 所以从乙和丙中选择， 由方差可知丙的方差小于乙的方差， 方差越小越稳定，所以最佳人选为丙， 故选：C. 24．甲、乙、丙、丁四名运动员参加巴黎奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差分别为，，，，，，，，根据以上数据，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为（    ）. A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】利用平均数与方差的实际意义即可得解. 【详解】因为平均成绩反映了运动员的射击水平高低，平均成绩越高，说明射击水平越高； 标准差反映了成绩的稳定性，标准差越小，说明成绩越稳定， 因为甲的平均成绩，在四人中最低，首先排除甲， 乙、丙、丁的平均成绩均为，处于同一水平， 但，，，因为， 所以丙的标准差最小，成绩最稳定. 综上，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为丙. 故选：C. 25．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩（70分~99分），若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则 ；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是 . 【答案】 5 甲组 【分析】根据平均数公式求出的值，再根据方差公式判断成绩的整齐程度. 【详解】由题意可知，甲组和乙组学生的平均成绩相同， 故， 解得，即甲组和乙组的平均成绩是89分， 甲组和乙组的成绩方差为， 解法一（对应高教版）：， ， 所以，故成绩相对整齐的是甲组. 解法二（对应人教版）：， ， 所以，故成绩相对整齐的是甲组， 故答案为：；甲. 26．在学校组织的篮球比赛中，甲、乙两位同学各参加了7场比赛，平均得分都为16分，若两人7场比赛得分的标准差分别为5.02，3.96，则甲、乙同学发挥较稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙相同 D．不确定 【答案】B 【分析】根据平均数及标准差的意义判断即可. 【详解】由题意可知， 甲、乙7场比赛的平均数相等．而甲、乙两位同学标准差分别为和， 所以甲的标准差大于乙的标准差，发挥更稳定的是乙. 故选：B 27．某校决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名参加诗歌朗诵大赛，已知甲、乙、丙、丁四人的平均分相同，甲的方差为0.32，乙的方差为0.41，丙的方差为0.27，丁的方差为0.22，则选择哪位学生最合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据方差的实际意义即可得解. 【详解】四名学生的平均分相同，方差越小越稳定，， 则选择丁最合适， 故选：. 28．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是，，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（    ） A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比 【答案】A 【分析】根据方差的实际意义求解即可. 【详解】甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是，， 则，，所以甲比乙稳定. 故选：A. 29．我校八年一班甲、乙两名同学10次投篮命中的平均数均为7，方差，，教练想从中选一名成绩较稳定的同学加入校篮球队，那么应选_____． 【答案】甲 【分析】根据方差的概念，方差越小代表数据越稳定，即可解题． 【详解】∵两人的平均数相同，∴看两人的方差，方差小的选手发挥会更加稳定， 方差，，甲的方差较小， ∴应该选甲． 故答案为：甲. 30．某次考试后，对甲、乙两个班的数学成绩进行统计分析，根据分层抽样法从每班抽取了10名同学的试卷，记录成绩如下（百分制）： 甲班：81，88，85，84，91，87，88，82，89，85； 乙班：89，84，85，88，90，90，84，83，87，80． 由此可以估计，甲、乙两个班（　　） A．平均分一样但甲班的波动性较大 B．平均分一样但乙班的波动性较大 C．平均分甲班高但甲班的波动性较大 D．平均分乙班高但乙班的波动性较大 【答案】B 【分析】分别求出甲、乙两班成绩的平均数与方差，再根据计算结果判断两班成绩的平均分与波动情况即可； 【详解】由题可知，甲班的平均分为； 乙班的平均份为； 解法一（对应高教版）：甲班的方差为： ; 乙班的方差为： ； 解法二（对应人教版）： 甲班的方差为： ; 乙班的方差为： ； 所以，即甲、乙两个班的平均分相同； 因为，所以乙班波动大； 故选：B 31．为了了解甲、乙两人的设计情况，两人在相同情况下各射击次，成绩如下： 甲： 乙： (1)计算甲、乙两人的射击命中环数的平均数 (2)比较两人的成绩，谁的成绩比较好些. 【答案】(1)， (2)乙的成绩更稳定，乙的成绩比较好 【分析】（1）根据平均数的计算公式求值即可. （2）运用方差公式求值，再比较即可. 【详解】（1）甲的平均数为， 乙的平均数为. （2）解法一（人教版）： ， ， 解法二（高教版）： ， ， 因为，所以乙的成绩更稳定，乙的成绩比较好. 32．某工厂甲、乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔抽一包产品，称其质量（单位：）是否合格，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，乙：110，90，85，115. 计算两个车间质量的方差、标准差，说明哪个车间的产品较稳定. 【答案】答案见解析 【分析】根据数据的平均数与方差和标准差的公式，分别求得甲、乙车间的平均数和方差，比较即可求解. 【详解】由题可知 ，； ， . 所以，. 由于，，所以甲车间的产品较稳定. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.1用样本估计总体 一、知识梳理 集中趋势与离散程度 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，反映这组数据中心点的位置所在.常用的表示集中趋势的统计量有算术平均数、 中位数和众数等. 1. 算术平均数 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数称为这组数据的算数平均数.设这组数据为 x1，x2，…，xn，则它们的算术平均数为． 可以看出，算术平均数的计算方法与基础模块中样本均值的计算方法是一致的，所以算术平均数也称为算术均值. 在某些实际问题中，不同样本数据的重要程度可能不同，从而对集中趋势产生不同的影响，若一组数据为 x1，x2，…，xn，它们出现的频数分别为 f1，f2，…，fn，则 称为这组数据的加权算术平均数，其中 fk 也称为样本数据 xk 的权重. 2. 中位数 一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数或者位于中间位置的两个数的算术平均数称为中位数， 记为 Me. 3. 众数 一组数据中出现次数最多的数值称为众数 4. 极差 一组数据的最大值和最小值之差称为极差，也称全距.极差是最简单的描述数据离散程度的统计量.若 xmax 与 xmin 分别表示这组数据的最大值和最小值，则这组数据的极差 R= xmax- xmin. 用极差来评价数据的离散程度时，极差值越小，说明数据的离散程度越小，数据越集中，算术平均数的代表性越好；反之，极差值越大，数据的离散程度越大，数据越分散，算术平均数的代表性越差. 5. 方差和标准差 设一组数据为为 x1，x2，…，xn，则这组数据的方差为 这组数据的标准差为 方差和标准差反映一组数据的平均离散程度，消除了样本含量的影响，通常与平均数一起用来描述一组数据的集中趋势和离散程度. 在平均数相同的情况下，方差和标准差越大，数据的离散程度越大；反之，数据的离散程度越小. 二、题型精练 题型1 平均数、众数、中位数、标准差、极差表示的含义 【典例1】：能反映一组数据的离散程度的是（    ） A．众数 B．平均数 C．标准差 D．极差 【典例2】：如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型2 平均数的计算 【典例1】：在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示： 金额/元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 这8名同学捐款的平均金额为（   ） A．3.5元 B．6元 C．6.5元 D．7元 【典例1】：一组数据3，5，7，，的平均数是6，则，的平均数为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．15 【典例3】：若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【典例4】：某同学在计算一组数据的平均数时，误将102看成了12，若该同学得到的这20个数据的平均值为a，则实际的数据的平均数应为 ． 题型3 众数、中位数的计算 【典例1】：样本数据12，18，15，22，20，22，24的中位数和众数分别是（    ） A．19和20 B．19和22 C．22和20 D．20和22 题型4 标准差、方差、极差的计算 【典例1】：一组数据的最大值为 36，最小值为 14，这组数据的极差为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【典例2】：某班一次数学测验成绩的平均分为 75，方差为 25，则标准差为 ______. 【典例3】：一组数据76、77、88、、85、94的平均数为85，则此组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 10．一个班有45人，取5人成绩分别是：. (1)求平均数； (2)求样本方差； (3)求样本标准差. 题型5 平均数与方差的实际意义 【典例1】：某校决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名参加诗歌朗诵大赛，已知甲、乙、丙、丁四人的平均分相同，甲的方差为0.32，乙的方差为0.41，丙的方差为0.27，丁的方差为0.22，则选择哪位学生最合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例2】：甲、乙两个同学在最近几次模拟考试中数学成绩如下： 甲：86，90，85，87，88 乙：96，80，83，85，86 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪位同学的成绩更稳定. 3、 知识检测 1．下列对一组数据的分析，不正确的说法是（    ） A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据标准差越小，样本数据分布越集中，稳定 D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 2．某商场要反映不同品牌冰箱的销售情况，以确定主推品牌，应选择的统计指标是（    ） A．算术平均数 B．加权平均数 C．中位数 D．众数 3．下列判断正确的是（   ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 4．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（   ） A．甲的数学成绩最后3次逐渐降低 B．甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的次数 C．甲有7次考试成绩比乙高 D．甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 5．若样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．21 6．一个样本数据为24，17，，，18，其平均数为26，则为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 7．在这五个数中添加一个数，它们的平均数却没有变化，则__________. 7．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数是（   ） A．110 B．111 C．112 D．113 8．已知，，，的平均数为4，则由，，，组成的新数据的平均数为 . 9．一组观察值2，3，4，5出现的次数分别为2，2，3，3，则样本平均值为（   ） A．3.7 B．3.77 C．3.5 D．9.25 10．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（   ） A．5 B．6 C．4 D．7 11．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 12．一个社区有430户家庭，为了了解社区居民5月份的用水情况，从中随机抽取8个家庭，得到每个家庭用水量分别为20，10.2，10.9，13.4，18.2，8.8，13.3，11.6（单位：吨）请估计该社区每个家庭的平均用水量及该社区总的用水量. 13．某小组7名学生的中考体育分数（满分为分）如下：，该组数据的众数、中位数分别为（    ）． A． B． C． D． 14．样本的标准差是________ 15．样本中共有5个个体，其值分别为，0，1，2，3.若该样本的平均值为1，则样本方差为（    ） A． B． C． D．2 16．若样本数据的标准差为，则数据的标准差为（   ） A． B． C． D． 17．若样本的平均数为10，方差为2，则样本的平均数和方差分别为 . 18．如果一组数据的平均数是，方差是，那么另一组数据的平均数和方差分别是（    ） A．2， B．2，1 C．4，1 D．4，3 19．如果样本数据3，6，，4，2的样本均值为4，则样本方差为 _______ 20．在某项体育比赛中，7位裁判员为选手打出如下分数： 90  89  90  95  93  94  93 去掉一个最高分和最低分，所剩数据的方差为 ． 21．某射击运动员射击5次，命中的环数分别为9，8，6，8，9，这5个数据的方差为___________. 22．某车床生产一种型号的滚珠，现从这台车床生产的产品中抽取20件，测得滚珠的直径如下（单位：mm）： 15.0  14.5  15.2  15.5  14.8  15.1  15.2  14.8  15.2  15.0  14.8  15.2  15.0  15.0  14.8  14.8  15.1  14.9  15.3  14.8 试求这批零件的平均直径及样本方差（精确到0.001）. 23．已知甲、乙、丙、丁四名学生参加投篮选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，若要从这四人中选择一人参加投篮比赛，则最佳人选是（   ） 学生 甲 乙 丙 丁 平均成绩 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 24．甲、乙、丙、丁四名运动员参加巴黎奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差分别为，，，，，，，，根据以上数据，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为（    ）. A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 25．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩（70分~99分），若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则 ；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是 . 26．在学校组织的篮球比赛中，甲、乙两位同学各参加了7场比赛，平均得分都为16分，若两人7场比赛得分的标准差分别为5.02，3.96，则甲、乙同学发挥较稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙相同 D．不确定 27．某校决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名参加诗歌朗诵大赛，已知甲、乙、丙、丁四人的平均分相同，甲的方差为0.32，乙的方差为0.41，丙的方差为0.27，丁的方差为0.22，则选择哪位学生最合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 28．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是，，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（    ） A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比 29．我校八年一班甲、乙两名同学10次投篮命中的平均数均为7，方差，，教练想从中选一名成绩较稳定的同学加入校篮球队，那么应选_____． 30．某次考试后，对甲、乙两个班的数学成绩进行统计分析，根据分层抽样法从每班抽取了10名同学的试卷，记录成绩如下（百分制）： 甲班：81，88，85，84，91，87，88，82，89，85； 乙班：89，84，85，88，90，90，84，83，87，80． 由此可以估计，甲、乙两个班（　　） A．平均分一样但甲班的波动性较大 B．平均分一样但乙班的波动性较大 C．平均分甲班高但甲班的波动性较大 D．平均分乙班高但乙班的波动性较大 31．为了了解甲、乙两人的设计情况，两人在相同情况下各射击次，成绩如下： 甲： 乙： (1)计算甲、乙两人的射击命中环数的平均数 (2)比较两人的成绩，谁的成绩比较好些. 32．某工厂甲、乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔抽一包产品，称其质量（单位：）是否合格，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，乙：110，90，85，115. 计算两个车间质量的方差、标准差，说明哪个车间的产品较稳定. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $