7.4.2一元线性回归-（人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》

7.4.1用样本估计总体 一、知识梳理 1．相关关系 当一个变量取某个值时，另一个变量的取值与它有关，且带有一定的随机性，则称这两个变量之间的关系为不确定性相关关系，简称相关关系. 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 以两个变量的取值为坐标画出的用来反应两个变量相关关系的图形称为散点图. 观察所示散点图可以看出，所有的点大致分布在一条 直线附近，如图所示．一般地，若两个变量具有相关关系，且其散点图中的点大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之同具有线性相关关系．对具有线性相关关系的两个变量进行统计、分析的方法称为一元线性回归分析． 2．回归直线方程 研究表明，对于具有线性相关 关系的两个变量 x 和 y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为回归直线，其方程如下： 其中 这个方程称为 y 对 x 的回归直线方程，称为回归系数. 回归直线方程较好地近似表示了具有线性相关关系的两个变量之间的依赖关系，因此利用回归直线方程可以对相关问题进行合理预测． 二、题型精练 题型1 回归直线方程概念 【典例1】：回归直线方程的性质 ①回归直线方程一定过点； ②一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是________； ③的实际意义：当增大一个单位时，________个单位. 【典例2】：根据如下样本数据得到的线性回归方程为，则（    ） 3 4 5 6 7 8 4.0 2.5 0.5 A．， B．， C．， D．， 题型2 回归直线必过点 【典例1】：回归直线方程表示的直线必经过点（   ） A． B． C． D． 【典例2】：已知与之间的一组数据 0 1 2 3 1 3 5 7 若与线性相关，则与的回归直线方程必过点（    ） A． B． C． D． 题型3 利用回归直线求未知数 【典例1】：为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A．2.82 B．2.86 C．2.88 D．2.92 【典例2】：已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 【典例3】：为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A．5 B．6 C．7 D．8 题型4 回归直线方程求值 【典例1】：某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与自天平均气温，如下表： 气温 18 13 10 用电量y（度） 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程为，当气温为时，预测用电量为（    ） A．68度 B．67度 C．66度 D．52度 【典例2】：已知y与x的回归直线方程是，当时，y的值为________. 题型5 回归方程过样本点的中心 【典例1】：由变量x与y相对应的一组数据，，，，得到的回归直线方程为，则（    ） A．25 B．125 C．120 D．24 题型6 利用线性方程求解--综合 【典例1】：某产品的广告费用(单位:万元)与销售额(单位:万元)的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程. (1)求; (2)估计广告费用万元时，销售额是多少万元? 【典例2】：为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，，，，试求： (1)物理成绩关于数学成绩的回归直线方程（结果保留一位小数）； (2)当数学成绩为92分时，物理成绩的线性回归估计值（取整数）. 3、 知识检测 1．已知回归直线方程为，则变量x增加1个单位时，y平均（    ） A．增加1.2个单位 B．增加3个单位 C．减少1.2个单位 D．减少3个单位 2．某变量与变量正相关，则其回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．工人月工资y（单位：元）关于劳动生产率x（单位：千元）的回归直线方程为，下列说法中正确的个数是（   ） ①劳动生产率为1000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元． A．1 B．2 C．3 D．4 4．根据变量x和y的一组试验数据，计算可得，，则x与y之间的回归直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知变量与线性相关，且，，回归系数，则回归直线方程中的的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知某回归直线方程为，若，则______. 7．某车间生产一种玩具，为了确定加工玩具所需要的时间（单位：分钟），进行了10次试验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间/分钟 4 7 12 15 21 25 27 31 37 41 如回归直线方程的回归系数是b，则a的值是（   ） A． B． C． D． 8．观测两个相关变量，得到如下数据： 5 4 3 2 1 5 4.1 2.9 2.1 0.9 则两变量之间的线性回归方程为（   ） A． B． C． D． 9．某车间生产一种玩具，为了确定加工玩具所需要的时间（单位：分钟），进行了次试验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 加工时间/分钟 4 7 如回归直线方程的回归系数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为（    ） A．16亿元 B．19亿元 C．21亿元 D．23亿元 11．某公司生产某种婴幼儿纸尿裤的产量x与相应的生产能耗y有如下样本数据： x 3 4 5 6 y 2.4 3.1 4 4.5 已知这组样本数据具有线性相关关系，由表中数据，求得回归直线的斜率为0.72，则这组样本数据的回归直线方程是（   ） A．B．C．D． 12．我国在2020年如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，脱贫攻坚战取得全面胜利，历史性地解决了绝对贫困问题，并全面建成了小康社会．现就2013—2019年年末全国农村贫困人口数进行了统计，制成如下散点图：    据此散点图，下面个回归方程类型中最适宜作为年末贫困人数和年份代码的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 13．某手机店统计手机售价x（单位：百元）与月销量y（单位：部）的关系，数据如下表： 售价x 20 25 30 35 40 月销量y 80 70 60 50 40 (1)判断手机售价x与月销量y的相关关系类型（正相关/负相关）； (2)求月销量y对售价x的回归直线方程. 14．两组数据x，y的对应值如下表所示： x 4 5 6 7 8 y 12 10 9 8 6 若已知x，y是线性相关的，且回归直线方程，经计算知，则a为（   ） A．17.4 B． C．0.6 D． 15．已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若从散点图可以看出y与x线性相关，回归直线方程为，则等于________． 16．已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则______. 17．某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到经验回归方程，则实数（    ） A． B． C． D． 18．已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若y对x的回归直线方程为，且回归系数，则等于（   ） A．0.45 B． C．0.35 D． 19．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若关于的线性回归方程为，则__________． 20．稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（   ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 21．某生物实验室对某种动物注射某种麻醉药物，下表是注射剂量（单位：ml）与注射4h后单位体积血液药物含量相对应的样本数据，得到变量与的线性回归方程为，则的值为（    ） 2 3 4 5 6 7 5 6.6 9 10.4 15 A．12.2 B．12.5 C．12.8 D．13 22．某产品的广告费用（单位：千元）与销售额（单位：万元）的回归直线方程为，当广告费用为 15 千元时，预测销售额为________万元。 23．已知施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，对玉米产量的估计值为________． 24．若施肥量与水稻产量的回归直线方程为，当施肥量为时，预计水稻产量约为________. 25．某校随机抽取8名同学，测量同学们的体重（单位：kg）与身高（单位：cm），所得数据见下表，已知回归系数，某同学身高185cm，其体重大约为________.（保留两位小数）. 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体重 63 40 38 44 39 37 46 42 26．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（万亿元）关于年份代号的回归方程为，则由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值约为________万元．（保留一位小数） 27．已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位:年）与维护费用单位:千元）之间有如表数据: 使用年限年 维护费用千元 与之间具有线性相关关系,且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计,使用年限为年时,维护费用约为______千元. 28．人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归直线方程为，如果某人50岁，那么这个人的脂肪含量（    ） A．为28.4% B．在28.4%附近的可能性较大 C．无任何参考数据 D．以上解释都没有道理 29．已知某商品的价格x（单位：元）与销售量y（单位：件）的回归直线方程为，当该商品价格为10元时，预测销售量为（    ） A．20件 B．30件 C．40件 D．50件 30．某工厂统计“生产时间（小时）与产品产量 （件）”的数据，计算得，，，，，则回归系数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．某化工厂为预测某产品的销量，需要研究它与某原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得，，回归直线方程为，则当时，的预测值为（   ） A．28 B．27.5 C．26 D．25 32．某超市记录了某农副产品5个月内的月平均销售价格，得到的统计数据如下表. 月份x 1 2 3 4 5 月平均销售价格y/（元/千克） 12 10.5 10 8.5 9 (1)若月平均销售价格y与月份x之间的回归直线方程为，求的值； (2)请根据（1）预测6月份该农副产品的月平均销售价格； (3)求该农副产品在这5个月内的月平均销售价格的方差. 33．下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量（吨） 2 3 5 6 销售收入（万元） 7 8 9 12 (1)画出散点图； (2)求出回归直线方程； (3)根据回归直线方程估计销售量为9吨时的销售收入. 34．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： 地区A 地区B 地区C 地区D 地区E 外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84% 根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为． （1）求的值； （2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市地区F有10000名外来务工人员，试根据线性回归方程估计地区F需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取． 35．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位区间为241～3246吨，船员的数目从5人到32人.通过对船员人数关于轮船的吨位数进行回归分析，得到如下结果：船员人数轮船吨位. (1)假设两轮船吨位相差1000吨，船员人数平均相差多少？ (2)对于最小的轮船，估计的船员人数是多少？对于最大的轮船，估计的船员人数是多少？ 36．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据，且与线性相关． 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 根据表中提供的数据得到线性回归方程中的． (1)求的值． (2)预测销售额为万元时，大约需要多少万元的广告费？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.1用样本估计总体 一、知识梳理 1．相关关系 当一个变量取某个值时，另一个变量的取值与它有关，且带有一定的随机性，则称这两个变量之间的关系为不确定性相关关系，简称相关关系. 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 以两个变量的取值为坐标画出的用来反应两个变量相关关系的图形称为散点图. 观察所示散点图可以看出，所有的点大致分布在一条 直线附近，如图所示．一般地，若两个变量具有相关关系，且其散点图中的点大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之同具有线性相关关系．对具有线性相关关系的两个变量进行统计、分析的方法称为一元线性回归分析． 2．回归直线方程 研究表明，对于具有线性相关 关系的两个变量 x 和 y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为回归直线，其方程如下： 其中 这个方程称为 y 对 x 的回归直线方程，称为回归系数. 回归直线方程较好地近似表示了具有线性相关关系的两个变量之间的依赖关系，因此利用回归直线方程可以对相关问题进行合理预测． 二、题型精练 题型1 回归直线方程概念 【典例1】：回归直线方程的性质 ①回归直线方程一定过点； ②一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是________； ③的实际意义：当增大一个单位时，________个单位. 【答案】 增大 【分析】根据回归直线方程的性质填空即可. 【详解】回归直线方程的性质 ①回归直线方程一定过点； ②一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是； ③的实际意义：当增大一个单位时，增大个单位. 故答案为：①；②增大. 【典例2】：根据如下样本数据得到的线性回归方程为，则（    ） 3 4 5 6 7 8 4.0 2.5 0.5 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】作散点图，由散点图确定，的正负. 【详解】画出散点图， 由图可得，． 故选：B. 题型2 回归直线必过点 【典例1】：回归直线方程表示的直线必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可推出点满足方程. 【详解】由，得， 即点满足方程． 故选：C. 【典例2】：已知与之间的一组数据 0 1 2 3 1 3 5 7 若与线性相关，则与的回归直线方程必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据回归直线必过点求解. 【详解】，， 回归直线必过点. 故选：D. 题型3 利用回归直线求未知数 【典例1】：为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A．2.82 B．2.86 C．2.88 D．2.92 【答案】B 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心即可求解； 【详解】由表可知，，， 所以，解得， 故选：B 【典例2】：已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用样本中心点在回归直线上这一性质计算的值. 【详解】由表格可知，，， 因为样本中心点在回归直线上， 可得：，解得， 故选：D. 【典例3】：为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】首先表示出样本中心点，将其代入线性回归方程求解即可. 【详解】由题意可得， ， 所以样本中心点为， 又与的线性回归方程， 所以，解得. 故选：C. 题型4 回归直线方程求值 【典例1】：某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与自天平均气温，如下表： 气温 18 13 10 用电量y（度） 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程为，当气温为时，预测用电量为（    ） A．68度 B．67度 C．66度 D．52度 【答案】A 【分析】根据题意，先求得a的值，继而求得线性回归方程，代入即可求解. 【详解】由题意，， 所以，解得， 所以， 所以当气温为时，预测用电量为度. 故选：A. 【典例2】：已知y与x的回归直线方程是，当时，y的值为________. 【答案】2.8 【分析】根据方程代入求值即可. 【详解】当时，. 故答案为：2.8. 题型5 回归方程过样本点的中心 【典例1】：由变量x与y相对应的一组数据，，，，得到的回归直线方程为，则（    ） A．25 B．125 C．120 D．24 【答案】C 【分析】根据回归方程过样本点的中心，即可解决. 【详解】∵. ∵回归直线方程过定点，则， . 故选：C. 题型6 利用线性方程求解--综合 【典例1】：某产品的广告费用(单位:万元)与销售额(单位:万元)的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程. (1)求; (2)估计广告费用万元时，销售额是多少万元? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出与，然后代入回归方程即可求； （2）将代入回归方程即可. 【详解】（1），， 数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程， ， ， （2）由（1）知线性回归方程是， 广告费用为6万元时销售额为万元， 【典例2】：为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，，，，试求： (1)物理成绩关于数学成绩的回归直线方程（结果保留一位小数）； (2)当数学成绩为92分时，物理成绩的线性回归估计值（取整数）. 【答案】(1). (2)90分. 【分析】（）根据题意求出即可得解. （）将代入回归直线方程中即可得解. 【详解】（1）由已知数据可得，， 故，， 所以. （2）当时，， 故当数学成绩为92分时，物理成绩的线性回归估计值为90分. 3、 知识检测 1．已知回归直线方程为，则变量x增加1个单位时，y平均（    ） A．增加1.2个单位 B．增加3个单位 C．减少1.2个单位 D．减少3个单位 【答案】A 【分析】先求出变量x增加1个单位时，的值，作差即可求解. 【详解】变量x增加1个单位时，， 由， 即y平均增加1.2个单位. 故选:A. 2．某变量与变量正相关，则其回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由经验回归方程的特征判断即可. 【详解】设关于y与x的经验回归方程为， 因为变量与变量正相关，则， 四个选项中只有D选项符合. 故选：D. 3．工人月工资y（单位：元）关于劳动生产率x（单位：千元）的回归直线方程为，下列说法中正确的个数是（   ） ①劳动生产率为1000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】代入方程计算可判断. 【详解】①劳动生产率为1000元时，即，此时，①正确； ②劳动生产率提高1000元时，，此时工资提高个元，②正确，故③不正确； ④当月工资为810元时，，解得，即劳动生产率约为2000，故④正确. 故选：C. 4．根据变量x和y的一组试验数据，计算可得，，则x与y之间的回归直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线性回归方程必过样本中心点求解即可. 【详解】因为.所以样本中心为. 将样本中心分别代入选项中的方程，只有C选项满足. 可得x与y之间的回归直线方程可能是. 故选：B. 5．已知变量与线性相关，且，，回归系数，则回归直线方程中的的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据回归直线方程的性质求解. 【详解】将样本中心点，和回归系数， 代入回归直线方程中得： ，解得， 故选：A . 6．已知某回归直线方程为，若，则______. 【答案】3.5 【分析】把代入回归直线方程求值即可. 【详解】解：因为回归直线方程过样本中心点， 所以. 故答案为：3.5 7．某车间生产一种玩具，为了确定加工玩具所需要的时间（单位：分钟），进行了10次试验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间/分钟 4 7 12 15 21 25 27 31 37 41 如回归直线方程的回归系数是b，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，代入回归直线，即可得出答案． 【详解】， ， 回归直线过点，所以． 故选：B. 8．观测两个相关变量，得到如下数据： 5 4 3 2 1 5 4.1 2.9 2.1 0.9 则两变量之间的线性回归方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据计算平均数，再计算回归方程斜率和纵截距即可得解. 【详解】由题意， ， 则回归直线斜率为， 则，故线性回归方程为. 故选：B. 9．某车间生产一种玩具，为了确定加工玩具所需要的时间（单位：分钟），进行了次试验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 加工时间/分钟 4 7 如回归直线方程的回归系数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图表中的数据求出样本中心点的坐标，即可求出的值 【详解】由标准数据可得，， ， 得. 故选：B. 10．乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为（    ） A．16亿元 B．19亿元 C．21亿元 D．23亿元 【答案】B 【分析】由题意，先算出样本中心点，代入回归方程，即可求得的值，再把代入回归方程即可求解. 【详解】由表可知：，， 又因为回归方程过样本中心点，所以， 所以回归方程为：， 当时，. 故选：B. 11．某公司生产某种婴幼儿纸尿裤的产量x与相应的生产能耗y有如下样本数据： x 3 4 5 6 y 2.4 3.1 4 4.5 已知这组样本数据具有线性相关关系，由表中数据，求得回归直线的斜率为0.72，则这组样本数据的回归直线方程是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由题可设回归直线方程为，根据回归直线经过点可求解. 【详解】设回归直线方程为， 由样本数据可得：，. 因为回归直线经过点， 所以，解得， 所以回归直线方程为. 故选：C 12．我国在2020年如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，脱贫攻坚战取得全面胜利，历史性地解决了绝对贫困问题，并全面建成了小康社会．现就2013—2019年年末全国农村贫困人口数进行了统计，制成如下散点图：    据此散点图，下面个回归方程类型中最适宜作为年末贫困人数和年份代码的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合散点图中点的分布特征即可得出结果. 【详解】由散点图可知所有的点几乎分布在一条直线上，结合选项可知选A, 故选：A. 13．某手机店统计手机售价x（单位：百元）与月销量y（单位：部）的关系，数据如下表： 售价x 20 25 30 35 40 月销量y 80 70 60 50 40 (1)判断手机售价x与月销量y的相关关系类型（正相关/负相关）； (2)求月销量y对售价x的回归直线方程. 【答案】(1)负相关 (2) 【分析】（1）观察题中数据x与y的变化趋势判断相关关系类型； （2）利用公式计算回归系数和，进而可得回归直线方程． 【详解】（1）观察表格中数据：售价x从20增加到40（百元），月销量y从80减少到40（部）， 因为随着售价的增大，月销量呈现出减小的趋势， 所以手机售价与月销量是负相关关系． （2）根据题中数据可得： ，， ，， ， ； 所以， ， 所以回归直线方程为. 14．两组数据x，y的对应值如下表所示： x 4 5 6 7 8 y 12 10 9 8 6 若已知x，y是线性相关的，且回归直线方程，经计算知，则a为（   ） A．17.4 B． C．0.6 D． 【答案】A 【分析】根据表格求出，代入回归直线方程即可得解. 【详解】由题中表格可知，，． ． 故选：A. 15．已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若从散点图可以看出y与x线性相关，回归直线方程为，则等于________． 【答案】2.6/ 【分析】根据点在回归直线上，列方程求解即可. 【详解】，， 点在回归直线上， ，. 故答案为：2.6. 16．已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则______. 【答案】 【分析】将，代入方程即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：. 17．某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到经验回归方程，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据样本点的中心为，求得m=9，然后利用样本点的中心，由甲求得，，再由乙求得样本点的中心，代入回归直线方程求解. 【详解】解：由题可知，假设甲输入的为，为， 所以，， 所以，， 所以改为正确数据时得，， 所以样本点的中心为， 将其代入回归直线方程，得． 故选：D 18．已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若y对x的回归直线方程为，且回归系数，则等于（   ） A．0.45 B． C．0.35 D． 【答案】C 【分析】求出代入直线方程中即可得解. 【详解】由题意可知，，， y对x的回归直线方程为，且回归系数， 将代入直线方程中得， 解得， 故选：. 19．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若关于的线性回归方程为，则__________． 【答案】2 【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心点，代入求解即可. 【详解】由题意得，，， 所以样本中心点为， 将样本中心点代入线性回归直线方程为， 解得. 故答案为：2. 20．稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（   ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 【答案】B 【分析】由题可知，根据线性回归方程过过样本中心点，代入回归方程求出的值，再根据平均数公式列式即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为线性回归方程过样本中心点， 所以， 又，解得. 故选：B. 21．某生物实验室对某种动物注射某种麻醉药物，下表是注射剂量（单位：ml）与注射4h后单位体积血液药物含量相对应的样本数据，得到变量与的线性回归方程为，则的值为（    ） 2 3 4 5 6 7 5 6.6 9 10.4 15 A．12.2 B．12.5 C．12.8 D．13 【答案】C 【分析】利用样本点的中心在回归直线上，列方程即可求得的值. 【详解】由表中数据，得，而样本点的中心在回归直线上， 则，所以，解得， 故选：C. 22．某产品的广告费用（单位：千元）与销售额（单位：万元）的回归直线方程为，当广告费用为 15 千元时，预测销售额为________万元。 【答案】38 【分析】根据回归直线方程的预测应用解答. 【详解】将代入回归方程， 得， 故答案为：38. 23．已知施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，对玉米产量的估计值为________． 【答案】882.5/ 【分析】根据回归直线方程，将代入回归直线方程即可求解. 【详解】因为施肥量与玉米产量之间的回归方程为， 则当施肥量时，． 故答案为：882.5. 24．若施肥量与水稻产量的回归直线方程为，当施肥量为时，预计水稻产量约为________. 【答案】 【分析】将代入回归直线方程即可得出预测值. 【详解】已知施肥量与水稻产量的回归直线方程为， 把代入回归直线方程可得其预测值. 故答案为：. 25．某校随机抽取8名同学，测量同学们的体重（单位：kg）与身高（单位：cm），所得数据见下表，已知回归系数，某同学身高185cm，其体重大约为________.（保留两位小数）. 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体重 63 40 38 44 39 37 46 42 【答案】 【分析】求出的平均值，代入回归直线方程中求出得出回归方程，再将代入回归方程中即可得解. 【详解】， ， 因为，则，解得， 所以， 当时，， 故答案为：. 26．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（万亿元）关于年份代号的回归方程为，则由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值约为________万元．（保留一位小数） 【答案】 【分析】根据题意求出国内生产总值再除以人数即可. 【详解】根据题意，2035年对应年号，所以（万亿）， 所以我国在2035年底人均国内生产总值约为万元. 故答案为：. 27．已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位:年）与维护费用单位:千元）之间有如表数据: 使用年限年 维护费用千元 与之间具有线性相关关系,且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计,使用年限为年时,维护费用约为______千元. 【答案】/ 【分析】先根据条件写出,代入关于的线性回归方程为,求出,确定关于的线性回归方程,令即可得到结果. 【详解】由已知得: , 因为关于的线性回归方程为, 所以, 解得, 所以关于的线性回归方程为, 则当时,千元. 故答案为:. 28．人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归直线方程为，如果某人50岁，那么这个人的脂肪含量（    ） A．为28.4% B．在28.4%附近的可能性较大 C．无任何参考数据 D．以上解释都没有道理 【答案】B 【分析】将年龄代入回归直线方程，即可得到y的估计值，然后根据回归分析的意义即可求解. 【详解】因为人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归直线方程为， 将代入回归方程为， 根据回归分析的意义得：预报值仅仅是一个估计值，而不是精确值. 故选：B 29．已知某商品的价格x（单位：元）与销售量y（单位：件）的回归直线方程为，当该商品价格为10元时，预测销售量为（    ） A．20件 B．30件 C．40件 D．50件 【答案】B 【分析】将代入回归直线方程求解即可. 【详解】将商品价代入回归直线方程， 得：，故预测销售量为30件. 故选：B. 30．某工厂统计“生产时间（小时）与产品产量 （件）”的数据，计算得，，，，，则回归系数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据线性回归系数公式求解. 【详解】， ， 则回归系数. 故选：B. 31．某化工厂为预测某产品的销量，需要研究它与某原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得，，回归直线方程为，则当时，的预测值为（   ） A．28 B．27.5 C．26 D．25 【答案】A 【分析】由回归直线方程过样本的中心，再将代入回归直线方程可得的预测值即可. 【详解】由题意可知，有效成分含量的平均值， 销售量的平均值， 由回归直线方程过样本的中心， 可知过点，可求得， 再将代入回归直线方程可得. 故选：A. 32．某超市记录了某农副产品5个月内的月平均销售价格，得到的统计数据如下表. 月份x 1 2 3 4 5 月平均销售价格y/（元/千克） 12 10.5 10 8.5 9 (1)若月平均销售价格y与月份x之间的回归直线方程为，求的值； (2)请根据（1）预测6月份该农副产品的月平均销售价格； (3)求该农副产品在这5个月内的月平均销售价格的方差. 【答案】(1) (2)7.6元/千克 (3) 【分析】（1）根据样本中心必满足线性方程即可求解.. （2）利用线性方程即可求解. （3）根据方差公式即可求解. 【详解】（1）依题意，，， 将代入回归直线方程，有，得. （2）令，得，即6月份该农副产品的月平均销售价格为7.6元/千克 （3）月平均销售价格的方差 33．下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量（吨） 2 3 5 6 销售收入（万元） 7 8 9 12 (1)画出散点图； (2)求出回归直线方程； (3)根据回归直线方程估计销售量为9吨时的销售收入. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)14.5万元. 【分析】（1）根据题中数据，在坐标系中描点可得散点图； （2）求出，，，，代入公式求得，，进而可得回归直线方程； （3）当时，求出即可． 【详解】（1）在坐标系中描出点，，，，散点图如图. （2），， ， ， ，， 所求的回归直线方程为. （3）当时，. 故当销售量为9吨时，估计销售收入为14.5万元. 34．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： 地区A 地区B 地区C 地区D 地区E 外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84% 根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为． （1）求的值； （2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市地区F有10000名外来务工人员，试根据线性回归方程估计地区F需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取． 【答案】(1)51（2）万元 【分析】（1）根据回归直线方程过样本数据中心点求解. （2）根据线性回归方程，当时预测留当地过年人数即可求解. 【详解】（1），， 代入中， 可得 ， （2）由（1）知，人，因此地区F有10000务工人员，大约留在本地过年的有8186人，需补贴万元. 35．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位区间为241～3246吨，船员的数目从5人到32人.通过对船员人数关于轮船的吨位数进行回归分析，得到如下结果：船员人数轮船吨位. (1)假设两轮船吨位相差1000吨，船员人数平均相差多少？ (2)对于最小的轮船，估计的船员人数是多少？对于最大的轮船，估计的船员人数是多少？ 【答案】(1)6 (2)30 【分析】（1）根据船员人数与轮船吨位的表达式进行作差求解即可. （2）根据船员人数与轮船吨位的表达式与轮船的吨位区间范围进行求解即可. 【详解】（1）由可知，当与相差1000吨时， 船员平均人数相差人. （2）当取最小吨位241时，预计船员人数为人. 当取最大吨位3246时，预计船员人数为人. 36．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据，且与线性相关． 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 根据表中提供的数据得到线性回归方程中的． (1)求的值． (2)预测销售额为万元时，大约需要多少万元的广告费？ 【答案】(1)17.5 (2)15万元 【分析】（）根据表格求出与，代入回归方程中即可得解. （）由（）求出回归方程，将代入方程中即可得解. 【详解】（1）根据表格可知 ，则，解得. （2）由（）可知，， 当时，，解得万， 所以销售额为万元时，大约需要万元的广告费. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $