2026-2027学年山东省滕州市鲍沟中学晚辅练习卷 北师大版九年级数学上册-1.2菱形的性质与判定

**基本信息** 北师版九年级数学上册“菱形的性质与判定”同步练习，分层梯度合理，从基础性质应用到综合动态探究，适配新授课知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形边、角、对角线性质及面积计算|直接应用性质的选择填空（如菱形对角线求面积、角度计算）| |中档|性质与判定综合应用|结合平移、坐标几何的中档题（如平行四边形平移成菱形的条件）| |提升|动态几何与多步骤证明|含动点、尺规作图的综合解答题（如菱形中构造等边三角形探究数量关系）|

1. 2026-2027学年山东省滕州市鲍沟中学晚辅练习卷 1. 北师版九年级数学上册--1.2菱形的性质与判定 一、单选题 1．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 2．如图，在菱形中，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，a的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点，再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接、，则下列说法可能错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 10．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 12．如图，在中，平分，，则的周长为______． 13．如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，则直线即为所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是菱形，判定四边形是菱形的依据是________． 14．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 15．如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点分别在和上，那么的度数为________． 16．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 三、解答题 17．如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 18．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 19．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 20．如图，在菱形中，，，是中点． (1)求的长； (2)在直线上求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (3)在（2）的条件下求的面积． 21．如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 试卷第4页（共4页） 试卷第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B C C D A B C 1．D 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 2．B 【分析】由菱形的性质可得，，易得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 3．B 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后根据菱形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 由平移性质得． 4．B 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设另一条对角线长为 cm， ∵菱形的面积为，一条对角线是， ∴， ， ． 5．C 【分析】根据作图步骤可得：，从而判定四边形为菱形，利用菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据作图步骤可得：、， ， 四边形为菱形， 平分、、， 选项、、说法正确，不符合题意； ，当时， 不是等边三角形， 无法说明， 选项说法错误，符合题意． 6．C 【分析】利用菱形的性质得出的度数及平分，结合和，利用同角的余角相等即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，， ，平分，， ，， ， ， ， ， ． 7．D 【分析】由菱形的性质得，，由等边对等角得，， 结合平行线的性质可推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 8．A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 9．B 【分析】连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出的面积，依据，得出，进而得出的面积的面积即可解题． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∴， ， ∴的面积， ∵平分， ， ∴， ∴， ∴的面积的面积． 10．C 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 11．96 【分析】根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 12．12 【分析】根据平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义推出，从而证得，判定四边形为菱形，利用菱形周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长． 13．四边相等的四边形是菱形 【分析】根据作图方法，即可依据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形得出结论． 【详解】解：∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，根据画弧半径相等，可得， ∴根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可得四边形是菱形． 14． 【分析】首先根据菱形的性质得到，，推出轴，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在轴上， ∴轴，即轴， ∵点的坐标为， ∴，点B的横坐标为3， ∴点B的纵坐标为， ∴点的坐标为． 15． 【分析】设，则，根据三角形内角定理可得，进而可得，再根据可得，联立求出x，即可求出． 【详解】解：由题意知菱形和等边的边长相等， ，，，， ，，， 设，则， ， 等边中，， ， 又， ， ，即， ． 16．/ 【分析】连接，根据对称性得到，进而得到，易得为等边三角形，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【详解】解：连接， ∵菱形的周长为4，， ∴，垂直平分， ∴为等边三角形，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值是. 17．(1)证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由中线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 18．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）略． （2）解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形的面积为：． 19．(1)证明：四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ． 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形得，，又，满足，由勾股定理逆定理得，故四边形为菱形． （2）由菱形性质得．菱形面积可用底乘高和对角线乘积两种方式表示，列方程，解得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ． ， 菱形的面积，即， ． 20．(1) (2)解：点、如图所示； (3) 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得为等边三角形，则，，再利用勾股定理求解即可； （2）以为圆心，长为半径作圆，与直线交于点、，则，由等边可得等角； （3）设到的距离为，利用的面积求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，． ， 为等边三角形． 是中点， ，． ∴在中，． ， ， ∴在中，； （2）略 （3）解：由（2）可知，， ， 设到的距离为， ， ， ，， 即的面积为． 21．(1) (2)证明：如图所示： 在菱形中，，则由菱形的对称性可得， 四边形是菱形， ， ， 是的一个外角， ， 则由菱形的对称性可得， ， 是等边三角形， ， ， 即，，三点共线； (3)或 【分析】（1）根据菱形的对称性可得，又是等边三角形，，即得； （2）由菱形性质、等腰三角形性质、外角和性质及等边三角形性质得出即可得证； （3）根据题意，分两种情况：点在线段上或点在线段延长线上，由菱形性质及勾股定理求出与的长度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，点是射线上的动点， ∴由菱形的对称性可得， 是等边三角形， ， ； （2）略 （3）解：当时，，分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图所示： 是等边三角形， ， ， 由菱形的对称性可知， 是的一个外角， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ∴； 当在线段延长线上时，连接交于，如图所示： ， 是等边三角形，即， 是等边三角形， ， ， 由对称性可知， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． 答案第12页（共12页） 答案第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $