1.2 真子集与子集枚举（教案）-高教版第三版《数学 基础模块上册》【上好课】

该中职数学教案聚焦真子集、空集与非空集合关系、有限集子集有序枚举及数量规律，通过“子集两种情况”提问引出真子集，结合工具箱选择结果过渡到子集枚举，衔接子集概念，搭建知识递进支架。 此教案以问题驱动和直观图示为特色，按元素个数分类枚举子集培养数学抽象与逻辑推理，符号填空、集中提问强化规范表达发展数学语言，助力学生突破空集遗漏等难点，提升教师教学效率与学生学习效果。

高教版第三版《数学》基础模块上册 第一章 集合 1.2 真子集与子集枚举 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 本课是第1章”集合”的1.2节第二课时，承接子集与集合相等的概念，进一步学习真子集、空集与非空集合的关系、有限集合所有子集的有序枚举及数量规律。真子集是对子集概念的深化，空集的特殊地位有助于学生理解集合关系的极端情形，有序枚举方法与数量规律是后续学习集合运算（交集、并集、补集）的重要基础。通过本课学习，学生将进一步准确把握集合之间的包含关系，发展分类讨论与有序思维的能力。 学情分析 学生已经掌握集合、元素及集合表示方法，但对不遗漏空集和原集合，区分子集与真子集仍容易混淆。教学中应借助具体集合、图示、符号配对与分步练习，让学生经历观察、判断、表达和纠错过程。 教学目标 1．理解并掌握真子集的定义与符号、空集与非空集合的关系、有限集子集的有序枚举、n元集合有2ⁿ个子集； 2．能在有限集合、数集和简单实际情境中规范解决相关问题； 3．通过图示、分类、讨论与纠错，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象素养。 教学重难点 教学重点：按元素个数有序枚举所有子集，并由包含且不相等识别真子集。 教学难点：不遗漏空集和原集合，区分子集与真子集。 教学方法 情境导入法、直观图示法、问题驱动法、讲练结合法、小组合作法。 课前准备 教师准备：教材、PPT。 学生准备：复习上一课时内容，预习教材相应内容，教材、练习本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师提出教材“想一想”：如果集合A是集合B的子集，可能出现哪些情况？学生比较“两个集合相等”和“B中至少有一个元素不属于A”两种情况，引出真子集；随后用含两个元素的工具箱选择结果引出子集枚举。 从子集的两种情况过渡到真子集，再形成按元素个数有序枚举的需要。 新知讲授 知识点一　真子集的定义与符号 一般地，如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。 教材原例：C={1，3}，D={1，3，5}，因为5∈D且5∉C，所以C⫋D。 基础练习 1．判断{1}与{1，2}的关系。 【答案】{1}⫋{1，2}。 2．判断{1，2}是否为其本身的真子集。 【答案】不是。 【解析】集合与自身相等，只是自身的子集。 3．判断N与Z的关系。 【答案】N⫋Z。 提高练习 设A={x｜0<x<1}，B={x｜−1<x<2}，判断关系。 【答案】A⫋B。 知识检测 真子集比子集多了什么条件？ 【答案】两个集合不能相等，较大集合中至少有一个元素不属于较小集合。 知识点二　空集、子集和真子集 空集是任何非空集合的真子集；任何集合都是自身的子集，但不是自身的真子集。 教材例1关系辨析：{1，2，3，4}⫌{2，3}，N⫋Z，0∉∅，{1}={x｜x−1=0}。 基础练习 1．判断∅与{0}的关系。 【答案】∅⫋{0}。 2．判断∅是否为∅的真子集。 【答案】不是，∅=∅。 3．用适当符号填空：a______{a}，{a}______{a，b}。 【答案】∈；⫋。 提高练习 判断{−1，0，1}与{x∈Z｜−2<x<2}的关系。 【答案】相等。 知识检测 为什么空集不是自身的真子集？ 【答案】真子集要求两个集合不相等，而空集与自身相等。 知识点三　有限集合子集的有序枚举 教材例2：写出M={1，2，3}的所有子集，并指出真子集。按所含元素个数枚举：0个元素为∅；1个元素为{1}、{2}、{3}；2个元素为{1，2}、{1，3}、{2，3}；3个元素为{1，2，3}。共8个子集，除原集合外其余7个都是真子集。 由此归纳：n元集合有2ⁿ个子集、2ⁿ−1个真子集。 基础练习 1．写出{a，b}的所有子集。 【答案】∅，{a}，{b}，{a，b}。 2．指出{a，b}的所有真子集。 【答案】∅，{a}，{b}。 3．含4个元素的集合有多少个子集？ 【答案】2⁴=16个。 提高练习 某集合有32个子集，该集合有多少个元素？ 【答案】5个。 【解析】2⁵=32。 知识检测 枚举有限集合的所有子集时，怎样避免遗漏？ 【答案】按子集所含元素个数从0个到n个依次枚举，并检查空集和原集合。 以教材真子集定义、例1关系辨析和例2完整枚举为主线，使用按元素个数分类的方法防止遗漏。 课堂背诵 采用概念填空与同桌互背： 1．A是B的子集且A≠B，则A是B的______。【答案】真子集。 2．空集是任何______集合的真子集。【答案】非空。 3．n元集合有______个子集和______个真子集。【答案】2ⁿ；2ⁿ−1。 4．枚举时不能遗漏______和______。【答案】空集；原集合。 通过课堂背诵强化核心概念。 师生互动 请说出以下集合的子集、真子集及其个数 1. {0} 2. {0,1} 3. {0,1,2} 答案：1.子集2个：∅，{0}；真子集1个，∅ 2.子集4个：∅，{0}，{1}，{0,1}； 真子集3个：∅，{0}，{1} 3.子集8个：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}，{0,1,2}； 真子集7个：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2} 通过集中提问突破易错点。 课堂练习 1．下列关于真子集的说法，正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 集合 是自身的真子集 D. 空集不是任何集合的真子集 【答案】B 【解析】真子集是子集的特殊情况，若 则必有 。A错误，当 时 但 不是 的真子集；C错误，任何集合都是自身的子集，但不是自身的真子集；D错误，空集是任何非空集合的真子集。 2．下列说法正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ① 空集是任何非空集合的真子集；② ；③ 是 的真子集；④ 若 ，则 。 【答案】C 【解析】①正确，空集是任何非空集合的真子集；②正确， 的元素1属于 ，所以 ；③错误，空集与自身相等，不是自身的真子集；④正确，真子集要求两个集合不相等。故正确的有3个。 3．用适当的符号（，，，，）填空： （1） ______ ； （2） ______ ； （3） ______ ； （4） ______ 。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】（1）3是集合 的元素，属于元素与集合的关系，用 。 （2） 的元素3属于 且两集合不相等，用 。 （3）空集是任何非空集合的真子集，用 。 （4） 与 元素完全相同，集合中的元素无序，两集合相等，用 。 4．已知集合 。 （1）写出 的所有含有2个元素的子集； （2）若 且 含有3个元素，写出所有满足条件的集合 。 【答案】（1），，，，，。 （2），，，。 【解析】（1）含有2个元素的子集按顺序依次枚举：先固定0，分别与1、2、3搭配得 、、；再固定1，与2、3搭配得 、；最后固定2，与3搭配得 ，共6个。 （2）含有3个元素的真子集相当于从4个元素中去掉1个，分别去掉0、1、2、3，得到 、、、，共4个。这些子集均不等于原集合 ，故均为真子集。 课堂小结 一、真子集：包含且不相等。 二、空集：是任何非空集合的真子集。 三、枚举方法：按元素个数从0到n分类。 四、数量规律：n元集合有2ⁿ个子集、2ⁿ−1个真子集。 总结本节课的的核心知识，帮助学生记忆核心内容。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课依据教材原文组织情境、定义、例题、基础练习、提高练习和知识检测，突出符号使用与说理过程。后续可根据学生课堂作答情况进一步优化变式题梯度，对基础薄弱学生提供判断步骤或分类枚举支架，对掌握较好的学生增加开放性表达和同伴评价，促进概念理解与规范书写同步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $