1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角定义、数量积概念、运算律及应用。通过回顾平面向量数量积，提出“空间向量数量积是否一样”的问题，搭建从平面到空间的知识迁移支架，衔接旧知。 其亮点在于结合数学抽象与直观想象，通过探究投影向量（向向量、直线、平面投影）培养空间观念，典型例题如用向量法证明线面垂直判定定理，对比综合几何方法凸显优越性。小结清晰，检测巩固“知三求一”题型，助力学生掌握向量工具，教师可高效实施教学。

讲课人： 日期： 1.1.2 空间向量的数量积运算 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握空间向量夹角的概念及数量积的概念和运算律. 数学抽象 2.了解空间向量数量积的几何意义，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和模长问题． 直观想象 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 我们上一节课类别平面向量，学习了空间向量的概念以及与空间向量的相关的概念，那么，我们知道平面向量有数量积，空间向量的数量积与平面向量是否一样呢？ 这一节课我们将学习空间向量的数量积以及与数量积有关的性质和概念. 探索新知 空间向量的夹角 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 ，作 a，b，则 叫做向量 a，b 的夹角，记作 <a，b>. 通常规定，0≤<a,b>≤π.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且 <a,b>＝<b,a>. 如果 <a，b>＝ ，那么向量 a ，b互相垂直，记作 a⊥b. 探索新知 数量积的概念 已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做 a，b 的数量积，记作a·b. 即 a·b＝|a||b|cos<a，b> 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 【注意】 ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. ②数量积a·b的结果是一个数，不是向量. 探索新知 空间向量数量积的常用推论 求长度 求夹角 小试牛刀 （1）已知 解： （2） 解： 由 ，得 ∵ ∴ . 知三求一 探索新知 探究：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，在空间，向量 a 向向量 b 的投影有什么意义？向量 a 向直线 l 的投影呢？向量 a 向平面 β 的投影呢？ 如图 (1) ，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自 由向量，因此可以将它们平移到同一个平面 α 内，进而 利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c， 向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量. 类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影.如图 (2) 探索新知 小试牛刀 1. 已知 ||=5, ||=4, 与的夹角 q=120º, 求· 及 在方向上的投影. 解: = 54cos120º = -10. 120 O C 在 方向上的投影为 =5cos120 探索新知 空间向量数量积的运算律 (λa)・b＝λ(a・b)，λ∈R a・(b＋c)＝a・b＋a・c (分配律) a・b＝b・a (交换律) 向量的数量积运算类似于多项式运算，平方差公式、完全平方公式、十字相乘的均成立. 探索新知 思考：对于三个均不为0的实数a，b，c，若ab=ac，则b=c. 对于非零向量a，b，c，由a·b=a·c，能得到b=c吗？如果不能，请举出反例. 不一定. 由 a·b = a·c，有 a·(b－c)＝0. 从而有 b＝c 或 a⊥(b－c). 不能，向量没有除法运算. 向量的运算有加法、减法、数乘和数量积，没有实数除以向量和向量除以向量. 探索新知 数量积运算不满足结合律． 数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即 (a・b)c 不一定等于 a(b・c)．这是由于(a・b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b・c) 表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线． 典型例题 例 2 如图，在平行六面体 ABCDA'B'C'D' 中，，AA'， 求：(1) ； (2) AC' 的长 (精确到 0.1). 解：(1) ； (2) 所以 AC'≈13.3. 典型例题 新课学习 例3：如图，m，n是平面α内的两条相交直线，如果l⟂m，l⟂n， 求证：l⟂α. l m n g l m g n 证明：在平面 α 内作任意一条直线 g，分别在 直线 l，m，n，g 上取非零向量 l，m，n，g. 因为直线 m 与 n 相交,所以向量m，n不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序买数对 (x，y)， 使 g＝xm＋yn. 将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得 l · g＝xl·m＋yl·n. 因为 l·m＝0，l·n＝0，所以 l · g＝0. 所以 l⊥g. 这就证明了直线 l 垂直于平面 α 内的任意一条直线，所以 l⊥α. 探索新知 例 3 即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程. 尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？ 探索新知 课堂小结 1.空间向量数量积 2.空间向量的夹角 3.投影向量 课堂检测 C 课堂检测 D 课堂检测 B B 课后作业 课本第8页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 3.已知，空间向量e为单位向量，，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为( ) A.2 B.-2 C. D. $