3.2.2 双曲线的几何性质（练习）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 本同步练习针对“双曲线的几何性质”，采用基础巩固与综合提升分层设计，通过从单一概念到综合应用的递进路径，强化运算能力与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|离心率、顶点坐标等单一概念及基本运算|单选、填空为主，聚焦概念辨析与直接应用（如虚轴长计算）| |提升层|渐近线与焦点综合、标准方程求解|解答题为主，侧重推理能力与模型意识（如结合椭圆焦点求双曲线方程）|

高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第三章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 一、单选题 1．双曲线的离心率与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．对于，左右两个顶点为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．双曲线 的虚轴长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．18 5．若双曲线，则顶点在（　　） A． 轴 B． 轴 C．直线 D．坐标原点 6．双曲线的一条渐近线是（　　） A． B． C． D． 7．双曲线 的实轴长为（　　） A． B． C． D． 8．双曲线的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 9．双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 10．双曲线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．双曲线中 ，则离心率 ______. 12．双曲线 的虚轴长为______. 13．双曲线的右焦点坐标为______. 14．双曲线 的渐近线方程为______. 15．双曲线的离心率______. 三、解答题 16．已知双曲线 . (1)求顶点坐标； (2)写出渐近线方程. 17．已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，且. (1)求标准方程； (2)写出渐近线方程. 18．已知双曲线，求它的顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程. 19．已知实轴长为8，焦点坐标为，求双曲线的标准方程. 一、单选题 1．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 3．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线方程为，则（    ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 5．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 9．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 10．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 11．依次求出下列圆锥曲线的标准方程、长轴长或实轴长、短轴长或虚轴长、焦距、离心率、渐近线． (1) (2) 12．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点的坐标为，一条渐近线的方程为； (2)焦距为12，离心率为. 13．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，它们的离心率之和为，求： (1)椭圆的焦点坐标和离心率； (2)双曲线的标准方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第三章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 一、单选题 1．双曲线的离心率与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线性质可直接得出结果. 【详解】双曲线恒有 ，离心率 . 故选：A 2．对于，左右两个顶点为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的几何性质即可求得结果. 【详解】是焦点在轴上的双曲线，顶点落在轴上. 令 ，解得 ， 所以顶点坐标. 故选：. 3．双曲线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出a的值，再由焦点位置求解顶点坐标即可. 【详解】双曲线中， 焦点位于轴，则顶点坐标为. 故选：C. 4．双曲线 的虚轴长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．18 【答案】A 【分析】先根据双曲线的方程求出，再由虚轴的定义可得结果. 【详解】由双曲线的方程可知，， 所以，虚轴长为. 故选：A. 5．若双曲线，则顶点在（　　） A． 轴 B． 轴 C．直线 D．坐标原点 【答案】A 【分析】利用双曲线性质即可得出结果. 【详解】因为双曲线，看正项对应的变量；项为正，顶点就在轴. 所以双曲线，焦点、顶点都在轴上. 故选：A 6．双曲线的一条渐近线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程公式即可得解. 【详解】双曲线，焦点在轴上， 则，， 所以渐近线方程为， 结合选项可知，正确， 故选：. 7．双曲线 的实轴长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线性质即可得出结果. 【详解】双曲线标准形式，可得，. 实轴长. 故选：C 8．双曲线的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程即可求得渐近线方程. 【详解】焦点在轴上的双曲线渐近线为， 由已知可得： 渐近线： 故选：B 9．双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】在双曲线中，， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 10．双曲线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的顶点坐标的求法求解. 【详解】在双曲线中，可得，从而，且顶点在轴上， 所以该双曲线的顶点坐标为. 故选：C. 二、填空题 11．双曲线中 ，则离心率 ______. 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率计算即可. 【详解】由已知可得：. 故答案为：. 12．双曲线 的虚轴长为______. 【答案】8 【分析】根据双曲线的几何性质即可求得结果. 【详解】双曲线标准方程为时，虚轴长， 由 可得，即 ， 所以虚轴长 . 故答案为： 13．双曲线的右焦点坐标为______. 【答案】 【分析】利用双曲线的性质计算即可得出结果. 【详解】， 所以，则右焦点为. 故答案为： 14．双曲线 的渐近线方程为______. 【答案】 【分析】由双曲线方程即可求得渐近线方程. 【详解】焦点在轴上时，渐近线可写为， 由已知可得： ， 所以， 故答案为：. 15．双曲线的离心率______. 【答案】 【分析】明确双曲线的标准方程以及离心率公式即可求解. 【详解】双曲线中， 所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 三、解答题 16．已知双曲线 . (1)求顶点坐标； (2)写出渐近线方程. 【答案】(1)顶点为 (2)渐近线为 【分析】（1）根据双曲线方程求出，进而得到顶点坐标. （2）根据双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】（1）方程，可得，即. 焦点在y轴的双曲线顶点在y轴上，所以顶点坐标为、. （2）由方程得，即. 则双曲线的渐近线方程为. 17．已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，且. (1)求标准方程； (2)写出渐近线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意求得，结合双曲线的标准方程和焦点位置，求解即可. （2）根据双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】（1）双曲线中，， 故， 又双曲线焦点在轴上，方程为. （2）因为双曲线焦点在轴上，且， 其渐近线方程为. 18．已知双曲线，求它的顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程. 【答案】顶点 ，焦点 ，渐近线 【分析】根据双曲线标准方程的几何性质求解. 【详解】双曲线焦点在轴上，，即. ，则. 顶点坐标为，即； 焦点坐标为，即； 渐近线方程为，即. 19．已知实轴长为8，焦点坐标为，求双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程与性质即可求解. 【详解】因为双曲线实轴长为8，所以，解得， 又焦点坐标为，则， 所以， 因为焦点在轴， 所以双曲线的标准方程为. 一、单选题 1．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程可知，，， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B. 2．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准方程后，求出，据此可得解. 【详解】双曲线方程可变形为， 所以，，从而实轴长. 故选：C 3．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将双曲线化为标准式，再得到渐近线的方程. 【详解】将双曲线方程转化为标准方程， ∴焦点在轴上，，， ∴双曲线的渐近线方程是． 故选：C. 4．已知双曲线方程为，则（    ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 【答案】B 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，得出的值即可解答. 【详解】双曲线方程化为标准方程为， 可得，所以，， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4. 故选：B. 5．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，再利用离心率公式代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程化成标准方程形式为， 所以，所以离心率， 故选：D. 6．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出的值，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线，则，， 所以，解得， 所以离心率， 故选：. 7．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的离心率公式求解. 【详解】由双曲线方程知，，故，， 所以离心率. 故选：C. 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合双曲线方程，表示出a和b的值，结合渐近线方程可得的值，继而列出等式求得m的值，即可求得虚轴长. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以焦点在x轴上，且，即， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 所以，即，解得， 所以，虚轴长为. 故选：C. 9．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 10．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合双曲线渐近线方程，列出方程组求出的值即可得解. 【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以双曲线的焦点在轴上，且， 则渐近线方程为， 所以，解得， 双曲线方程为， 故选：. 二、解答题 11．依次求出下列圆锥曲线的标准方程、长轴长或实轴长、短轴长或虚轴长、焦距、离心率、渐近线． (1) (2) 【答案】(1)标准方程:长轴长;短轴长;焦距;离心率; (2)标准方程:;实轴长虚轴焦距离心率渐近线 【分析】由椭圆的几何性质以及双曲线的几何性质即可求解. 【详解】（1）解：将化为标准方程为该曲线是焦点在y轴上的椭圆,且 即 所以长轴长:;短轴长:;焦距:;离心率:. （2）解:将化成标准方程为;该曲线是焦点在轴上的双曲,且 即 所以实轴长:虚轴长:焦距:离心率:渐近线: 12．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点的坐标为，一条渐近线的方程为； (2)焦距为12，离心率为. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用渐近线方程及焦点坐标，列方程组可得的值，据此可求解； （2）利用焦距及离心率，列方程可得的值，分焦点所在位置讨论可得结果. 【详解】（1）由题设可知，双曲线的焦点在轴上，渐近线的方程为.则 ，解得， 故所求的双曲线的标准方程为； （2）由已知条件可知，因此. 又，故，从而. ①当双曲线的焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为； ②当双曲线的焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为或 13．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，它们的离心率之和为，求： (1)椭圆的焦点坐标和离心率； (2)双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的方程确定的值，再由椭圆中的关系求出，即可确定焦点和离心率. （2）由焦点和离心率的值确定的值，再由双曲线中的关系求出，即可确定双曲线的标准方程. 【详解】（1）已知椭圆中，， 所以，焦点在轴上， 则焦点坐标为，离心率为. （2）因为双曲线与椭圆有相同的焦点， 所以双曲线焦点为，即， 由它们的离心率之和为，可得双曲线离心率为， 所以，则， 所以， 所以双曲线方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $