3.3.1抛物线的标准方程（课件）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】

该中职数学课件聚焦抛物线的定义、四种标准方程及焦点准线与开口方向的对应关系，通过桥梁、投篮等生活实例和拉链画抛物线的动手操作，从直观现象到实践体验引出定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境和动手实践培养数学眼光，类比椭圆推导过程发展数学思维，用表格系统总结方程与焦点准线关系强化数学语言。如平南三桥实例引导观察曲线特征，动手操作助理解定义，帮助学生提升数形结合能力，教师可借助结构化内容高效教学。

3.3.1抛物线的标准方程 高教版（第三版）·拓展模块 第三单元 圆锥曲线 学习目标 知识层面 理解抛物线的定义，掌握抛物线四种形式的标准方程，识记抛物线焦点、准线与开口方向的对应关系 能力层面 能通过抛物线标准方程判断焦点、准线与开口方向；能根据已知条件求解抛物线的标准方程 核心素养层面 通过抛物线方程推导与实例应用，培养数形结合分析问题的能力，提升数学抽象、数学运算的核心素养 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 桥梁中的抛物线 教学导入 桥梁中的抛物线 平南三桥——世界最大跨径拱桥 位于广西壮族自治区，2020年建成，是世界上最大的跨径拱桥.多项技术填补了世界拱桥空白，成为"中国桥梁"建造的新名片. 问题思考 观察桥拱的轮廓线，它是什么图形？有什么特点？ 这种形如彩虹的曲线在数学中叫什么？ 1 2 教学导入 运动中的抛物线 投篮运动——篮球的飞行轨迹 篮球出手后在空中飞行，受到重力作用，形成一条优美的曲线 生活中的类似曲线 扔出的铅球 跳远的运动轨迹 教学导入 动手画抛物线 1 将一把直尺固定在画板上,再取一个直角三角板,紧靠直尺的一边放置； 直角三角板 直尺 (固定) 教学导入 动手画抛物线 拉链 取一条拉链,把它的一端固定在三角板的顶点处,另一端固定在画板上的点处； 2 将笔尖(点)放在拉链锁扣处保持锁扣与端的拉链部分始终在上,让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移动,就画出了一段曲线； 3 教学导入 动手画抛物线 当直角三角板的边 经过点下时, 向下翻转三角板. 保持锁扣与端的拉链部分始终在上, 让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动, 笔尖又画出一段曲线. 4 拉链 关键发现： 笔尖始终保持到定点的距离与到直尺边的距离相等. 2 知识讲授 知识讲授 抛物线 一般地,把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点称为抛物线的焦点, 定直线称为抛物线的准线. 知识讲授 类比与思考 类比椭圆与双曲线标准方程的推导： 建系 设点 列式 化简 思考：如何从抛物线的定义出发，建立恰当的坐标系来求出它的方程呢？ 知识讲授 类比与思考 类比椭圆与双曲线标准方程的推导： 观察抛物线的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的抛物线方程形式简单？ 知识讲授 抛物线方程的推导 轴：取过焦点 且垂直于准线的直线为轴; 轴：记轴与准线的交点为,以线段的垂直平分线为轴. 建系 知识讲授 抛物线方程的推导 利用定义建立方程 如图所示.设焦点到准线的距离为, 即, 知识讲授 抛物线方程的推导 点到的距离为, 则有. 利用定义建立方程 设为抛物线上的任意一点 于是,可得 知识讲授 抛物线方程的推导 利用定义建立方程 对式子两边平方，得 整理，得 移项，得 知识讲授 抛物线的标准方程 方程称为抛物线的标准方程. 知识讲授 抛物线的标准方程 按焦点所在坐标轴的位置可以推断四种情况： 焦点在x轴负半轴|焦点在y轴正半轴|焦点在y轴负半轴 焦点在轴正半轴 (已推导) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 知识讲授 抛物线的标准方程 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴 一次项变量决定对称轴；一次项系数正负决定开口方向 知识讲授 案例分析 例1 解： 根据条件, 求抛物线的标准方程. (1)焦点为; (2)准线方程为; (3)焦点在y轴的正半轴上, 并且. (1)因为抛物线的焦点在轴负半轴上， 所以抛物线的标准方程是. 知识讲授 案例分析 例1 解： 根据条件, 求抛物线的标准方程. (1)焦点为; (2)准线方程为; (3)焦点在y轴的正半轴上, 并且. (2)由准线方程为可知, 焦点在轴的负半轴上 所以抛物线的标准方程是 . (3)由焦点在y轴的正半轴上 ,且 所以抛物线的标准方程是 . 知识讲授 案例分析 例2 解： (1)因为，所以， 又因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以它的焦点坐标是， 准线方程是. 抛物线的焦点在y轴的负半轴上, 且, 因此, 所以它的焦点坐标是， 准线方程是. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. 知识讲授 案例分析 例3 解： 已知抛物线的方程为，求其焦点坐标和准线方程. 知识讲授 新知速记 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 一次项变量决定对称轴；一次项系数正负决定开口方向 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴 3 学以致用 学以致用 练习 解： 1.已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程. 因为，所以 ， 又因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 学以致用 练习 解： 2.已知焦点在轴正半轴的抛物线经过点,求抛物线的标准方程. 因为焦点在轴的正半轴上, 所以设抛物线方程为, 将的坐标代入得 得, 故所求方程为. 学以致用 练习 解： 因为抛物线的焦点在轴负半轴上， 所以抛物线的标准方程是. 4 课堂练习 课堂练习 练习 解： 1.已知抛物线的准线方程为，求其标准方程. 由准线方程为可知, 焦点在轴的负半轴上 所以抛物线的标准方程是 . 课堂练习 练习 解： 2.根据条件, 求抛物线的标准方程. (1)焦点为; (2)焦点为; (3)准线方程为; 课堂练习 练习 解： 3.求抛物线的焦点坐标. 因为抛物线的标准方程为， 所以焦点在轴负半轴上，且， 所以， 课堂练习 练习 解： 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)因为 ，所以 ， 又因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 抛物线的焦点在y轴的正半轴上, 且2p=2, 因此p=1, 课堂练习 练习 解： 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (3)移项得 ，所以 ， 课堂练习 练习 解： 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (4)， 抛物线的焦点在y轴的半轴上, 且, 因此, 课堂练习 练习 解： 5.已知抛物线，是抛物线上一点，且点到焦点的距离为，则到轴的距离为( ) 由抛物线方程可知，其准线方程为 根据抛物线的定义，抛物线上的点P到焦点的距离等于到准线的距离，因此点P到准线的距离为 点到轴的距离等于到准线的距离减去准线到轴的距离，即 课堂练习 练习 解： 6.求抛物线上到焦点的距离等于的点坐标. 由题意，得到，解得 焦点坐标为，准线方程为 设抛物线上的点为，则到焦点的距离为 P 列式： 或 解得：(舍)或 代入抛物线方程得 解得 满足条件的点的坐标为 5 课堂小结 课堂小结 一次项变量决定对称轴；一次项系数正负决定开口方向 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $