3.2.2 双曲线的几何性质（练习）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】（解析版）

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质，以"基础概念→性质应用→综合拓展"分层设计，通过梯度化题型培养运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|离心率、顶点坐标等单一性质|单选题（如离心率比较）、填空题（如虚轴长计算），直接应用公式| |巩固|性质综合应用（a,b,c关系、渐近线）|解答题（求顶点与渐近线）、单选题（已知渐近线求参数），强化运算推理| |提升|跨知识点综合（与椭圆结合、方程求解）|解答题（已知焦点和离心率求方程），培养模型意识与应用能力|

高等教育出版社《数学 拓展模块一上册》（第三版） 第三章 圆锥曲线 3.2.2双曲线的几何性质 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一上册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节内容是第三章圆锥曲线的核心内容之一，位于双曲线标准方程之后、双曲线综合应用之前，是学生系统掌握双曲线知识的关键环节。教材以学生已学的椭圆几何性质、双曲线标准方程为基础，通过类比探究的方式，推导双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率五大几何性质。 渐近线是双曲线独有的核心性质，也是区别于椭圆的关键知识点，是本节课的重难点。 五、学情分析 学生已熟练掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质，掌握了双曲线的定义与两种标准方程，具备类比探究几何图形性质的基础能力。 学生具备一定的数形结合思维和简单的代数推导能力，但存在明显短板：对双曲线渐近线这一全新、抽象的概念理解困难，容易混淆双曲线与椭圆的轴、离心率、对称性等性质。 六、教学目标 知识层面 理解并掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等特性，对比椭圆与双曲线性质。 能力层面 能求解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线及离心率，能根据已知条件完成双曲线标准方程的推导。 核心素养层面 通过学习双曲线的几何性质，理解双曲线的特性，提升分析问题和解决实际问题的能力。 七、教学重点 1.双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率的核心几何性质； 2.两种位置双曲线几何性质的辨析与公式记忆。 八、教学难点 1.双曲线渐近线的概念理解与方程推导； 2.结合几何性质、隐含条件求解双曲线标准方程。 九、教学方法 1.类比探究法：类比椭圆几何性质的研究思路，引导学生自主探究双曲线性质，降低新知学习难度； 2.讲练结合法：精讲核心知识点，搭配典型例题、课堂练习，及时巩固所学； 3.启发式教学法：通过设问、追问引导学生思考难点问题，自主推导公式、归纳规律； 4.小组讨论法：针对易混淆知识点、难点问题，组织小组交流，突破学习误区。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 复习回顾：双曲线的标准方程 项目 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 焦点坐标 的关系 类比 回顾：标准方程为 的双曲线，其焦点在 轴上，焦点坐标为 、，其中 。 类比椭圆的研究方法，猜想双曲线有哪些几何性质？ 双曲线上的点是否有边界？ 图形是否有对称特征？ 与坐标轴是否有交点？ 开口程度如何刻画？ 性质 1：范围 由标准方程 分析： 双曲线的标准方程化为 因为 所以双曲线上的点满足 即 解得 或 本环节通过复习双曲线标准方程、焦点坐标及a、b、c的核心关系，夯实旧知、扫清新知学习障碍，同时延续椭圆的探究思路，渗透类比推理、数形结合的数学思想，通过设置指向双曲线核心几何特征的探究问题，启发学生主动思考、大胆猜想，明确本节课探究方向，有效调动学生课堂主动性，实现新旧知识的自然衔接。 新知讲授 性质 1：范围 对于双曲线 ： 双曲线的两支分别位于直线 的左侧与直线 的右侧，如图所示。 性质 2：对称性 类比椭圆： 关于 轴对称 关于 轴对称 关于原点对称 双曲线是轴对称图形，对称轴是 轴和 轴。 双曲线是中心对称图形，对称中心是原点。 性质 3：顶点 如图，计算双曲线 的顶点坐标。 令两个顶点分别是 。 令 ，得 。 这说明双曲线与 轴的两个交点 ，。 线段 叫做双曲线的长轴，它的长等于 。 是双曲线的实半轴长。 性质 3：顶点 对于双曲线 ： 令 ，得 ，这个方程没有实数解。 说明双曲线与 轴没有交点，我们仍将点 ， 画在 轴上。 线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 。 是双曲线的虚半轴长。 新知速记 性质 椭圆 双曲线 顶点数 4 个 2 个 长轴 / 实轴 长轴 实轴 短轴 / 虚轴 短轴 虚轴 性质 4：双曲线的渐近线 经过点 分别作 轴的平行线 ，，经过点 分别作 轴的平行线 ，。这四条直线围成一个矩形，如图所示。 连接矩形的两条对角线所在直线。 对于焦点在 轴上的双曲线 ，它的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。 双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。 推导 的渐近线方程。 左右两边同时 ： 化简得： 移项整理得： 提取 得： 左右两边开平方得： 性质 4：双曲线的渐近线 借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐近线的性质。将双曲线的标准方程化为 （ 接近 1） 可以看到，当 无限增大时， 的值无限接近于 或 的值。 这说明，当 无限增大时，双曲线与直线 或 无限接近，但永不相交。 你能推导 的渐近线方程吗？ 推导 的渐近线方程。 左右两边同时 ： 化简得： 移项整理得： 提取 得： 左右两边开平方得：（ 接近 1） 新知速记：双曲线的渐近线 标准方程 渐近线 性质 5：离心率 类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长之比 称为双曲线的离心率，记作 。即 因为 ，所以 。 由 可以看出， 越大 的值越大，从而渐近线 的斜率的绝对值越大，双曲线的 "张口" 就越大。 因此，离心率 反映了双曲线的 "张口" 大小。 新知速记・双曲线的几何性质 项目 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 对称性 关于 轴、 轴和坐标原点对称 顶点 ， ， 实轴、虚轴 实轴 、虚轴 渐近线 离心率 ， 对比辨析：椭圆与双曲线的几何性质 项目 双曲线 椭圆 顶点个数 两个顶点 四个顶点 轴 实轴 、虚轴 长轴 、短轴 有无渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率范围 的关系 遵循由浅入深、由直观到抽象的学生认知规律，按范围、对称性、顶点、渐近线、离心率的逻辑逐层推进教学，结合图形辅助、完整公式推导与分类对比，将抽象的代数方程与直观的几何图像相结合，引导学生深度参与推理运算过程，厘清焦点在不同坐标轴上的双曲线性质差异，区分椭圆与双曲线的核心区别，帮助学生突破渐近线、离心率等教学重难点，构建系统、清晰的知识体系，培养学生严谨的逻辑思维与数形结合素养。 通过结构化表格整合梳理不同类型双曲线及椭圆与双曲线的知识点，将零散的课堂新知系统化、条理化，帮助学生快速归纳核心公式与关键特征，精准辨析两类圆锥曲线的异同，聚焦双曲线渐近线、离心率、实虚轴等高频易错点，有效降低记忆难度，纠正认知混淆，强化学生的知识辨析能力，夯实课堂学习效果。 案例分析 例 1求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 解：把双曲线的方程 化为标准方程 由此可知，实半轴长 ，虚半轴长 ， 焦点坐标是 ，， 离心率 渐近线方程为 例 2求满足下列条件的双曲线的标准方程。 (1) 一个焦点的坐标为 ，一条渐近线的方程为 ； 解：(1) 由题设可知，双曲线的焦点在 轴上，渐近线的方程为 。 于是有 将 ""代入"" 得 化简得 得 解得 因此，所求的双曲线的标准方程为 【说一说】为什么不能由双曲线的渐近线方程 直接得到 ？ 只要比值为 都能得到渐近线，如 ；，…… (2) 焦距为 12，离心率为 。 强调：未说明焦点位置时，双曲线方程有两种。 解：(2) 由已知条件可知 ，因此 ，又 ，故 当双曲线的焦点在 轴上时，所求双曲线的标准方程为 当双曲线的焦点在 轴上时，所求双曲线的标准方程为 例 3用 "描点法" 画出双曲线 的图像。 分析：双曲线具有对称性，因此只需先画出双曲线在第一象限内的图像，然后对称性地画出全部图像。 解：当 时，双曲线的方程可以变形为 在 上，选取几个整数作为 的值，计算出对应的 值，列表 4 5 6 7 8 0 2.25 3.35 4.31 5.20 以表中的 值为横坐标，对应的 值为纵坐标，在平面直角坐标系中依次描出相应的点 ，用光滑的曲线顺次连接各点得到双曲线在第一象限中的图像。然后利用对称性，画出全部图像。 双曲线的绘制 可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像。具体步骤如下：① 由 ，得 ，则得到双曲线的两个顶点 、； ② 由 ，得 ，则得到双曲线的虚轴端点 ，； ③ 作出由直线 、 所围成的矩形，画出矩形两条对角线所在的直线，即双曲线的两条渐近线； ④ 依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像。 例 4已知 、 两个哨所相距 ，在 哨所听到炮弹爆炸声比在 哨所晚 ，求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程（空气中声速约为 ）。 分析：根据题意，由 、 两处听到爆炸声的时间差可算出 、 两处与爆炸点的距离差，它是一个定值。因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离 处比距离 处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近 处的一支上。 解：建立平面直角坐标系，使 、 两点在 轴上，且坐标原点为线段 的中点，设爆炸点 的坐标为 。 于是 ，，。 因为 ， 所以 ，， 又 ，故爆炸点 在双曲线的右支上，从而 。 因此，所求曲线方程为 采用由易到难的梯度化例题设计，涵盖基础性质运算、标准方程求解、图像绘制、实际建模四大题型，完整规范解题步骤、针对性点拨易错误区，既巩固学生公式应用与代数运算能力，培养严谨规范的答题素养，又通过实际情境问题引导学生建立数学建模思维，让学生掌握待定系数法、分类讨论等核心解题方法，实现知识从理解到应用的层层落地，适配不同层次学生的学习需求。 学以致用 1.求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 解：把双曲线的方程 化为标准方程 由此可知，实半轴长 ，虚半轴长 ， 焦点坐标是 ，， 离心率 渐近线方程为 2.已知双曲线 ，若该双曲线的离心率 ，且实轴长为 6，求其标准方程。 解：实轴长为 6，而实轴长为 ，所以 ，解得 。 已知离心率 ，代入 ，得 。 由 ，代入 ，，得： 即 ，解得 。 因此，双曲线的标准方程为 3.已知双曲线的一条渐近线方程为 ，焦点在 轴上，焦距为 4，求双曲线的标准方程。 解：设双曲线的标准方程为 于是有 解得 因此，所求的双曲线的标准方程为 设置分层、全覆盖的题型体系，全面对应本节课核心知识点与常考题型，能够当堂检测学生的知识掌握情况，帮助教师快速摸排学生知识漏洞、及时调整教学节奏，同时通过基础巩固与能力提升相结合的习题训练，全方位锻炼学生运算求解、分类讨论、灵活解题的能力，落实因材施教理念，确保全体学生当堂消化新知、夯实学习基础。 课堂练习 1.求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标，离心率与渐近线方程。 (1) ；(2) 。 解：(1) 变形得 得 ，， 实轴、虚轴的长是 和 ， 离心率 两个焦点坐标分别是 和 ， 顶点坐标分别是 ，。 渐近线方程为 解：(2) 变形得 得 ，， 实轴、虚轴的长是 和 ， 离心率 两个焦点坐标分别是 和 ， 顶点坐标分别是 ，。 渐近线方程为 2.求满足下列条件的双曲线的标准方程。 (1) 焦点在 轴上，实轴长为 8，虚轴长为 3； (2) 焦点在 轴上，焦距是 16，； (3) 顶点在 轴上，两顶点间的距离是 8，； (4) 渐近线方程为 ，其中一个焦点坐标为 。 解：(1) 由已知条件可知 ，， 因此 ，， 当双曲线的焦点在 轴上时，所求标准方程为 解：(2) 由已知条件可知 ，， 因此 ，， 当双曲线的焦点在 轴上时，所求标准方程为 解：(3) 由已知条件可知 ，， 因此 ，， 当双曲线的焦点在 轴上时，所求标准方程为 解：(4) 由已知条件可知 ，焦点在 轴上，， 于是有 得 ， 当双曲线的焦点在 轴上时，所求标准方程为 3.求以椭圆 的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程。 解：椭圆的 ， 焦点为 、 顶点为 、 得到双曲线的 ，， 当双曲线的焦点在 轴上时，所求标准方程为 4.求下列双曲线的渐近线方程。 (1) ；(2) 。 解：(1) (2) 5.双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，求 。 解：把双曲线的方程 化为标准方程 由此可知，实半轴长 ，虚半轴长 ， ，得 得 。 6.分别经过点 和点 的两条直线相交于点 ，且直线 、 的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么图形。 解：由题意，知 、 为焦点，，设点 的坐标为 两边同时除 100，得：，移项得标准方程为 练习题涵盖本节课所有核心知识点和常考题型，从基础巩固到能力提升，全方位训练学生公式应用、分类讨论、运算求解能力，夯实课堂所学。 习题难度梯度分明，基础题保障学困生掌握核心知识，提升题锻炼中等、优等生的综合解题能力，落实因材施教的教学理念。 课堂小结 双曲线的几何性质 项目 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 对称性 关于 轴、 轴和坐标原点对称 顶点 ， ， 实轴、虚轴 实轴 、虚轴 渐近线 离心率 ， 通过系统性梳理双曲线两类模型的全部几何性质，串联整合本节课零散的重难点知识，帮助学生复盘课堂内容、构建完整规范的知识体系。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 双曲线的几何性质 项目 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 对称性 关于 轴、 轴和坐标原点对称 顶点 ， ， 实轴、虚轴 实轴 、虚轴 渐近线 离心率 ， 采用结构化表格形式，简洁直观、条理清晰，集中对比焦点在不同坐标轴上的双曲线几何性质，突出本节课核心公式与重点考点，能够将抽象知识可视化。 11、 教学反思 本节课采用类比椭圆的探究式教学，贴合学生认知规律，有效降低了双曲线几何性质的学习难度，课堂衔接自然、逻辑清晰。通过设问启发、自主推导、例题精讲、课堂练习的闭环教学，大部分学生能够熟练掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率等基础性质，能独立完成基础量计算和简单方程求解。 本节课重点突破了渐近线这一重难点，通过几何图形直观展示+代数严格推导结合的方式，让学生理解渐近线的本质特征，同时通过椭圆与双曲线的对比辨析，帮助学生厘清知识差异，规避混淆误区。分层例题和练习设计，兼顾了不同层次学生的学习需求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $