3.2.2 双曲线的几何性质（课件）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】

该中职数学课件聚焦双曲线的几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等核心知识点。课堂导入通过复习双曲线标准方程，类比椭圆研究方法提出猜想，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其特色在于通过类比椭圆对比辨析性质，结合案例分析（如炮弹爆炸点轨迹问题）培养数学思维与应用意识，用表格系统总结性质强化数学语言表达。学生能提升分析解决问题能力，教师可借助清晰流程与丰富实例提高教学效率。

3.2.2双曲线的几何性质 高教版（第三版）·拓展模块 第三单元 圆锥曲线 学习目标 知识层面 理解并掌握双曲线的几何性质:范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等特性,对比椭圆与双曲线性质 能力层面 能求解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线及离心率，能根据已知条件完成双曲线标准方程的推导 核心素养层面 通过学习双曲线的几何性质，理解双曲线的特性，提升分析问题和解决实际问题的能力 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 复习回顾 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 的关系 ， ， 双曲线的标准方程 教学导入 类比 在轴上，焦点坐标为 ，其中 类比椭圆的研究方法，猜想双曲线有哪些几何性质？ 双曲线上的点是否有边界？ 图形是否有对称特征？ 与坐标轴是否有交点？ 开口程度如何刻画？ 教学导入 性质1：范围 即 解得 2 知识讲授 知识讲授 性质1：范围 双曲线的两支分别位于直线的左侧与直线的右侧, 如图所示 知识讲授 性质2：对称性 关于轴对称 类比椭圆 关于轴对称 关于原点对称 双曲线是轴对称图形，对称轴是轴和轴 双曲线是中心对称图形，对称中心是原点 知识讲授 性质3：顶点 令两个顶点分别是 令, 得 这说明双曲线与轴的两个交点 线段叫做双曲线的长轴，它的长等于. 是双曲线的实半轴长 知识讲授 性质3：顶点 令, 得, 这个方程没有实数解 说明双曲线与轴没有交点，我们仍将点画在轴上 线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于. 是双曲线的虚半轴长 知识讲授 新知速记 性质 椭圆 双曲线 顶点数 个 个 长轴/实轴 长轴 实轴 短轴/虚轴 短轴 虚轴 知识讲授 性质4：双曲线的渐近线 经过点分别作轴的平行线, 经过点分别作轴的平行线.这四条直线围成一个矩形, 如图所示. 连接矩形的两条对角线所在直线. 知识讲授 性质4：双曲线的渐近线 ，它的两支向外延伸时， 两条直线叫做双曲线的渐近线. 双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交 知识讲授 性质4：双曲线的渐近线 近线方程 左右两边同时 化简得： 知识讲授 性质4：双曲线的渐近线 近线方程 左右两边开平方得： 知识讲授 性质4：双曲线的渐近线 借助双曲线的标准方程, 可以更严格地描述渐近线的性质.将双曲线的标准方程化为 可以看到, 当无限增大时, 的值无限接 接近 知识讲授 性质4：双曲线的渐近线 近线方程 左右两边同时 化简得： 知识讲授 性质4：双曲线的渐近线 近线方程 左右两边开平方得： 接近 知识讲授 新知速记 双曲线的渐近线 标准方程 渐近线 知识讲授 性质5：离心率 记作.即 因为，所以. 双曲线的“张口”就越大. 因此, 离心率e反映了双曲线的“张口”大小 知识讲授 新知速记 标准方程 对称性 顶点 实轴、虚轴 渐近线 离心率 关于轴、轴和坐标原点对称 ， ， 双曲线的几何性质 实轴、虚轴 知识讲授 对比辨析 椭圆与双曲线的几何性质 双曲线 椭圆 顶点个数 轴 有无渐近线 离心率范围 的关系 两个顶点 四个顶点 实轴、虚轴 长轴、短轴 有渐近线 无渐近线 知识讲授 案例分析 例1 解： 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 把双曲线的方程化为标准方程 由此可知，实半轴长 ，虚半轴长 ， ， 焦点坐标是，， 知识讲授 案例分析 例2 解： 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点的坐标为, 一条渐近线的方程为; (1)由题设可知, 双曲线的焦点在x轴上, 渐近线的方程为 说一说为什么不能由双曲线的渐近线方程 知识讲授 案例分析 例2 解： 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点的坐标为, 一条渐近线的方程为; (1)由题设可知, 双曲线的焦点在x轴上, 渐近线的方程为 解得 因此, 所求的双曲线的标准方程为 知识讲授 案例分析 例2 解： 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (2)由已知条件可知, 因此 强调：未说明焦点位置时，双曲线方程有两种. 当双曲线的焦点在轴上时, 所求双曲线的标准方程为 当双曲线的焦点在轴上时, 所求双曲线的标准方程为 知识讲授 案例分析 例3 解： 分析：双曲线具有对称性, 因此只需先画出双曲线在第一象限内的图像, 然后对称性地画出全部图像. 在上, 选取几个整数作为的值, 计算出对应的值, 列表 知识讲授 案例分析 例3 解： 在上, 选取几个整数作为的值, 计算出对应的值, 列表 以表中的值为横坐标, 对应的值为纵坐标, 在平面直角坐标系中依次描出相应的点, 用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图像.然后利用对称性, 画出全部图像. 知识讲授 双曲线的绘制 可以利用双曲线的顶点和渐近线,画出双曲线的大致图像.具体步骤如下： ①由,得,则得到双曲线的两个顶点； ②由,得,则得到双曲线的虚轴端点； ③作出由直线所围成的矩形, 画出矩形两条对角线所在的直线, 即双曲线的两条渐近线; ④依据双曲线经过实轴端点, 且逐渐接近渐近线这一特点, 画出大致图像. 知识讲授 案例分析 例4 已知两个哨所相距,在哨所听到炮弹爆炸声比在哨所晚,求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(空气中声速约为).   分析：根据题意, 由两处听到爆炸声的时间差可算出两处与爆炸点的距离差, 它是一个定值.因此, 爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上, 又因为爆炸点距离处比距离处远, 所以爆炸点应在该双曲线中靠近处的一支上.   知识讲授 案例分析 例4 已知两个哨所相距, 在哨所听到炮弹爆炸声比在哨所晚, 求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(空气中声速约为).   如图所示, 建立平面直角坐标系, 使两点在轴上, 且坐标原点为线段的中点，设爆炸点的坐标为． , 于是. 因为, 所以. 又, 故爆炸点在双曲线的右支上, 从而. 解： 因此, 所求曲线方程为 3 学以致用 学以致用 练习 解： 1.求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 把双曲线的方程化为标准方程 由此可知，实半轴长 ，虚半轴长 ， ， 焦点坐标是，， 学以致用 练习 解： 且实轴长为，求其标准方程. 实轴长为，而实轴长为，所以，解得. 由，代入，，得： ，即，解得. 学以致用 练习 解： 3.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点在轴上，焦距为，求双曲线的标准方程. 设双曲线的标准方程为 解得 因此, 所求的双曲线的标准方程为 4 课堂练习 课堂练习 练习 解： 1.求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标, 离心率与渐近线方程． 两个焦点坐标分别是 顶点坐标分别是 课堂练习 练习 解： 1.求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标, 离心率与渐近线方程． 两个焦点坐标分别是 顶点坐标分别是 课堂练习 练习 解： 2.求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上, 实轴长为, 虚轴长为; 课堂练习 练习 解： 2.求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上, 实轴长为, 虚轴长为; 课堂练习 练习 解： 2.求满足下列条件的双曲线的标准方程． 课堂练习 练习 解： 2.求满足下列条件的双曲线的标准方程． 课堂练习 练习 解： 线的标准方程. 焦点为 椭圆的 顶点为 得到双曲线的 课堂练习 练习 解： 4.求下列双曲线的渐近线方程. 课堂练习 练习 解： 5.双曲线的虚轴长是实轴长的倍，求. 把双曲线的方程化为标准方程 课堂练习 练习 解： 分别经过点的两条直线相交于点,且直线、 由题意，知为焦点，, 设点的坐标为 5 课堂小结 课堂小结 标准方程 对称性 顶点 实轴、虚轴 渐近线 离心率 关于轴、轴和坐标原点对称 ， ， 双曲线的几何性质 实轴、虚轴 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $