3.2函数的表示方法（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块上册》【上好课】

高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 第三章 函数 3.2函数的表示方法 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节《3.2函数的表示方法》是第三章函数的核心基础内容，承接上一节函数的概念，是对函数对应关系的具象化、实操化延伸。此前学生已初步认识函数的定义、自变量与函数值，本节课学习的解析法、列表法、图像法三种表示方法，是后续学习函数性质、各类基本函数、分段函数应用的基础，也是中职数学解决实际问题的重要工具。 五、学情分析 学生已在初中阶段初步接触过一次函数、二次函数的解析式和图像，对表格统计数据也有一定认知，具备学习本节课内容的基础能力。 但学生普遍存在数学基础薄弱、逻辑思维参差不齐的特点，对三种函数表示方法的系统性区别、适用场景缺乏归纳总结能力，对分段函数的分段取值逻辑理解较为困难，容易混淆自变量取值范围与对应解析式的匹配关系。 六、教学目标 知识层面 理解函数的三种表示方法 (解析法､列表法､图像法), 掌握分段函数的概念，了解三种表示方法适用场景 能力层面 能通过三种函数表示方法刻画实际问题中的函数关系；能完成简单分段函数的识别与简单应用 核心素养层面 通过实际案例分析函数的不同表达形式，培养数学建模能力，提升数学抽象与直观想象的数学核心素养 七、教学重点 1.掌握函数三种表示方法的定义、优缺点及适用场景； 2.理解分段函数的概念，掌握简单分段函数的求值与基础应用。 八、教学难点 1.根据实际问题灵活选择合适的函数表示方法； 2.理解分段函数“自变量分段、分段对应解析式”的核心逻辑，准确求解分段函数值、确定定义域。 九、教学方法 1.情境教学法：结合汽车油耗、气温变化、阶梯水价、出租车收费等生活真实情境，激发学生学习兴趣，贴合中职生认知特点； 2.对比探究法：通过表格对比三种函数表示方法的优缺点与适用场景，帮助学生梳理知识、区分差异； 3.讲练结合法：精讲核心知识点与典型例题，搭配分层课堂练习，及时巩固新知，突破重难点； 4.启发式教学法：通过设问、引导观察、自主思考，启发学生主动探究函数规律，培养自主学习能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 情景 1: 汽车行驶与油耗 播放视频 在汽车研发中，需进行性能测试。下图记录了某新型家用小汽车在高速公路上行驶时，油箱剩余油量随时间的变化。 观察图像，我们可以直观地看出油量消耗的变化趋势以及特定时刻的剩余油量。 情景 2: 气温变化记录 气象站记录了某市夏季某日 6: 00 至 18: 00 的气温变化，气温随时刻(时) 的变化如下图所示。 / 时 6: 00 8: 00 10:00 12: 00 14: 00 16: 00 12 16 20 25 28 26 你能看出这一天最高气温出现在什么时候吗？ 14: 00 最高 情景 3: 商品销售与利润 某商店销售纪念品，进价 50 元 / 件，售价 80 元 / 件。若日销售量为 件，则日利润元与的关系可精确表示为: 图像 / 件 1 2 3 4 5 / 元 30 60 90 120 150 表格与图像可由解析式直接生成，解析法是函数最本质的表达方式。 一方面，从图像、表格、解析式三种不同形式呈现变量间的对应关系，让学生直观感知生活中函数的三种不同表达形式，初步建立“变量对应”的函数核心认知，自然引出本节课教学主题；另一方面，生活化情境能够有效激发学生的学习兴趣与探究欲望，降低新知学习的入门难度，符合高中生由具象到抽象的认知规律。 新知讲授 函数的表示方法 1: 解析法 情景 3 中，用数学表达式表示销售额 y 与销售量之间的对应关系，这个数学表达式称为函数解析式，简称解析式。 像这样利用解析式表示函数的方法称为解析法。 如义务教育阶段学习的一次函数､一元二次函数､反比例函数等都是用解析法表示的。 函数的表示方法 2: 列表法 / 时 6: 00 8: 00 10:00 12: 00 14: 00 16: 00 12 16 20 25 28 26 情景 2 中，像这样通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法。 年份𝑥 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 恩格尔系数r 33% 31.2% 31% 30.6% 30.1% 29.3% 28.4% 年份𝑥 2019 2020 2021 2022 2023 2024 ... 恩格尔系数r 28.2% 30.2% 29.8% 30.5% 29.8% 29.8% ... 上表中的恩格尔系数 r 随着时间 x 的对应关系也是用列表法表示的。 函数的表示方法 3: 图像法 情景 1 中，像这样利用图像表示函数的方法称为图像法。 函数的表示方法汇总 解析法： 列表法 / 件 1 2 3 4 5 / 元 30 60 90 120 150 图像法： 图像 对比分析 方法 优点 缺点 适用场景 直观性 列表法 精确､具体 不连续､有限 统计数据､离散值 ★★★☆☆ 图像法 直观､形象 不够精确 连续变化､趋势分析 ★★★★★ 解析法 精确､简洁 抽象 理论推导､公式计算 ★★☆☆☆ 如果想根据某同学五次数学考试成绩分析他这一学期的数学学习情况，试选择恰当的方法表示这个函数关系。 √图像法 新知速记 函数表示方法 1.解析法：利用解析式表示函数 2.列表法：利用表格表示函数 3.图像法：利用图像表示函数 分段函数：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示。 本环节遵循“情境提炼—概念生成—实例佐证—对比深化”的教学逻辑，循序渐进突破教学重点。依托导入环节的情境素材生成新知，实现情境与知识的无缝衔接，避免知识割裂，降低学生认知负担。通过生活化实例、社会统计案例双重举例，让三种函数表示方法不再局限于课本例题，拓宽学生知识应用视野。 增设三种方法的对比分析表格，直观呈现各方法的优劣与适用场景，帮助学生构建系统化知识体系，厘清知识差异，突破学生“混淆三种表示方法、不会灵活选用方法”的学习难点。 案例分析 例 1文具店内出售某种签字笔，每支售价 1.5 元，分别用列表法和解析法表示售出 1 支､2 支､3 支､4 支签字笔时，应收款与售出签字笔数量之间的函数关系。 解：先设表示购买签字笔的支数， 表示应付款数 (元) 则 。 签字笔数/ 支 1 2 3 4 / 元 1.5 3 4.5 6 用解析法表示为: , 。 用图像法表示如图所示。 例 2现阶段，我国很多城市普遍采用 “阶梯水价” 的办法计量水费。如某市居民用水 “阶梯水价” 的收费标准如下：每户每年用水不超过 时，水价为 ; 超过 不超过 时，超过的部分按 收费；超过 时，超过的部分按 收费。 结合给出的数据 (不考虑其他影响因素) (1) 求出每户每年应缴水费 与用水量 之间的函数解析式，并画出函数的图像； (2) 若某用户某年用水 , 试求该用户这一年应缴水费多少元？ 解：(1) 依题意，得到应缴水费与用水量之间的关系，见下表 用水量 应缴水费/ 元 由表得到函数的解析式： 根据解析式，可以画出函数的图像。 (2) 根据 时， (元) 该用户这一年应缴水费 1040 元。 分段函数 像这样，当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们称这样的函数为分段函数。 现实生活中，有很多函数是分段描述的。如阶梯电费､出租车费､个人所得税纳税额。 例 3已知分段函数 (1) 求 , 的值；(2) 求函数的定义域；(3) 作出该函数的图像。 解：(1) 当 时， , 所以 ; 当 时， , 所以 (2) 因为 { 所以该函数的定义域为 ; (3) 作出二次函数 在 范围内的图像；作出一次函数 在 范围内的图像。 得到该分段函数的图像如图所示。 采用“基础应用—生活进阶—抽象提升”的梯度化例题设计，贴合学生认知梯度，层层递进落实重难点。例1聚焦基础，巩固三种函数表示方法的基本用法，夯实课堂基础知识点，帮助学生熟练掌握基础题型；例2选取阶梯水价这一生活化分段函数模型，贴合学生生活认知，让学生理解分段函数产生的现实意义，体会分段函数在解决实际问题中的价值，突破本节课核心重难点；例3由具象生活模型转向抽象函数，提升学生的数学抽象、逻辑推理与数形结合能力，规范学生的解题步骤，培养严谨的数学解题思维。 学以致用 1.已知分段函数 求 , 的值。 解: ; 。 2.已知函数用列表法表示，求 、 , 并写出当 时自变量 的值。 −1 0 2 4 3 1 0 −2 解: ; 时， 3.已知分段函数 下列函数值计算结果错误的是 A. B. C. D. 解: A . 4.出租车收费：行程不超过 , 收费 8 元；超过 部分，每千米收费 1.5 元。设路程为 , 车费为元。写出 y 关于 x 的函数解析式。 解：分情况讨论 当 时: 当 时: 以即时练习为主，立足当堂知识点，题型全面、重难点突出，精准对接新知讲授与案例分析内容，实现“学完即练、当堂巩固”。基础求值题型帮助学生夯实分段函数的基础解题方法，提升学生的数学建模能力。 课堂练习 1.已知圆的半径为 r , 试分别写出圆的周长 C 和圆的面积 S 关于半径 r 的解析式。 解： 2.已知定义在 R 上的一次函数 可以用下表表示，写出它的解析式。 ... 0 1 ... ... 2 7 ... 解： 过点, 将 代入 得 解析式为 3.已知函数 的图像，如图， 则(1) 函数 的定义域为 (2) (3) 函数 的值域为 4.已知函数 则(1) 函数的定义域为 . (2) (3) . 解：(1) (2) (3) 5.李老师在菜市场购买标价为 的土豆 (单位:), 并花 2 元钱买了一个能装 物品的环保购物袋，求应付款 (单位：元) 的函数解析式。 解：因为李老师在菜市场购买标价为4元/kg的土豆x(kg)，所以李老师买土豆应付的钱为4x元， 又因为花2元钱买了一个能装6kg物品的购物环保袋,所以李老师买购物环保袋应付的钱为2元，因为购物环保袋最多能装6kg的物品，所以0<x≤6, 所以一共应付的钱数是y=4x+2. 故函数的解析式为:y=4x+2,x∈(0,6]. 6.作出函数 的图象 (这类函数通常称为常值函数), 并求 , , 解： 相较于学以致用的基础练习，本环节练习更具综合性与拓展性，实现基础巩固、能力提升、思维拓展的分层训练效果。题型覆盖公式推导、数形结合、实际建模、特殊函数认知，全方位考查学生对三种函数表示方法、分段函数、函数定义域与值域等核心知识的综合运用能力。 课堂小结 函数表示方法 1.解析法：利用解析式表示函数 2.列表法：利用表格表示函数 3.图像法：利用图像表示函数 分段函数：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示。 通过课堂小结，帮助学生系统回顾本节课所学知识，梳理知识脉络，整合零散的知识点，构建完整、清晰的知识体系，强化学生对重难点知识的记忆与理解。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 函数表示方法 1.解析法：利用解析式表示函数 2.列表法：利用表格表示函数 3.图像法：利用图像表示函数 分段函数：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示。 板书设计简洁清晰、重点突出、逻辑清晰，精准抓取本节课核心知识点，摒弃冗余内容。课堂板书能够直观呈现知识主干，帮助学生快速把握课堂重点。 11、 教学反思 本节课以生活情境为导入，贴合中职学生认知特点，通过情景探究、对比总结、例题精讲、分层练习的流程开展教学，顺利完成了本节课的知识、能力与素养目标，学生基本掌握了函数三种表示方法的区别与应用，能够完成简单分段函数的求值运算。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $