34.3正多边形与圆（分层作业,8大知识点）数学新教材人教版五四制九年级上册

**基本信息** 本练习以“正多边形与圆”为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一概念到复杂情境的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角度计算、边数确定、边长与边心距|选择填空为主，直接应用公式，巩固核心概念| |综合|周长面积、直角三角形组合|结合圆的性质，需分步推理，提升运算能力| |拓展|旋转、多图形组合|复杂情境问题，如正六边形旋转中点距离，培养空间观念|

34.3正多边形与圆 知识点一 正多边形角度计算 1．（25-26九年级上·新疆和田·期末）正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 知识点二 已知正多边形的中心角求边数 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 4．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点三 已知半径，求正多边形边长、边心距 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（25-26九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的口至少要_______． 知识点四 正多边形周长、面积计算 1．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（    ） A．6 B．12 C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）半径为的正六边形，中心角_________，边心距_________，面积_________． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 4．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 知识点五 正多边形作图 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026九年级·全国·专题练习）在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 知识点一 直角三角形组合综合计算 1．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，内切于正六边形，已知对角线，则正六边形与的周长差为_____．（结果保留） 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，，则为__________． 知识点二 正多边形与圆综合 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，经过正六边形的顶点A、E，则所对的圆周角等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期末）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 1．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）将四个正六边形按如图所示的方式摆放在如图所示的圆中，顶点，，，，，均在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长为_____． 3．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于________． 4．（25-26九年级上·江西·期末）如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 34.3正多边形与圆 知识点一 正多边形角度计算 1．（25-26九年级上·新疆和田·期末）正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，掌握相关计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数． 【详解】解：∵正十边形的边数， ∴中心角度数为， 故选B． 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 知识点二 已知正多边形的中心角求边数 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 3．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 4．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 知识点三 已知半径，求正多边形边长、边心距 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 2．（25-26九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得． 【详解】解：这个正六边形的中心角为， 如图，过圆心作于点， ， 是等边三角形， ， ， 即这个正六边形的边心距为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键． 4．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的口至少要_______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结论． 【详解】解：设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点四 正多边形周长、面积计算 1．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，则边心距，先根据正六边形的性质、等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：边心距， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， ， 解得， 则正六边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的边心距、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）半径为的正六边形，中心角_________，边心距_________，面积_________． 【答案】 /度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识．了解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解题的关键．正六边形的中心角等于除以边数，边心距是从正多边形的中心到边的距离，可利用三角函数求出，面积可通过将正六边形分割成六个全等的正三角形来计算即可． 【详解】解：如图， 正六边形的边数，根据正多边形中心角，得； 正六边形半径，由于正六边形的边心距等于半径乘以，即； 将正六边形分割成六个全等的正三角形，每个正三角形的底边长等于正六边形的边长，为，高为边心距，所以一个正三角形的面积为，所以正六边形的面积． 故答案为：，，． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，正六边形的面积为，再运用勾股定理算出，最后把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形的性质，正八边形面积的求法是解题关键． 先将正八边形延长每一边构成一个大正方形，然后用大正方形的面积减去四个等腰直角三角形的面积；再用正八边形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】解：∵正方形面积是2， ∴其边长为：， 如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形， ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ， ∴正八边形的面积为： ， ∴非阴影部分面积是． 故答案为：． 知识点五 正多边形作图 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2026九年级·全国·专题练习）在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;（3）作图见解析;（4）作图见解析 【分析】本题要求使用圆规和无刻度的直尺画出圆的内接正多边形，包括正三角形、正方形、正六边形和正八边 形．作图的思路是：把圆分成等份，顺次连接各顶点，就得到正边形． 【详解】（1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形．如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求． （2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点 即可得到正方形． 如图所示，正方形为所求． （3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这 六个点即可得到正六边形．如图所示，正六边形为所求． （4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径 为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形． 如图所示，正八边形为所求． 【点睛】本题考查了作圆内接正多边形，解题的关键在于理解正多边形顶点在圆周上均匀分布的特性，并利用圆规和直尺进行作图． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）先连接，根据切线的性质作图即可； （2）先过圆心作出直径，然后作出的垂直平分线交于、两点，最后顺次连接、、、，即可得到圆内接正方形； （3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意； （4）先作半径的垂直平分线交于，连接，，则为等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）如图，正方形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，即为所求 【点睛】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键． 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 知识点一 直角三角形组合综合计算 1．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长公式，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，连接，根据圆的周长求出半径，得出为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，连接， 由圆的周长得，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴该正六边形的高为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 【答案】 【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是． 3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，内切于正六边形，已知对角线，则正六边形与的周长差为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查正六边形与其内切圆、外接圆的性质．熟悉正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，对角线是外接圆的直径，正六边形的内切圆半径（边心距）与边长的关系为，正六边形与内切圆、外接圆的位置关系：正六边形的中心与内切圆、外接圆的圆心重合，是解题的关键． 首先根据对角线是外接圆的直径，得到外接圆半径的长，再根据正六边形的边长等于其外接圆半径，得到正六边形的周长，根据正六边形的内切圆半径（边心距）与边长的关系得到内切圆半径，进而得到内切圆的周长，再计算周长差即可． 【详解】解：正六边形的对角线经过圆心， ∴是正六边形外接圆的直径， ∵， ∴外接圆半径， ∵正六边形的边长等于外接圆半径，即， ∴正六边形周长， ∵正六边形的内切圆半径等于边心距，对正六边形有， ∴内切圆周长， ∴周长差为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，，则为__________． 【答案】 【分析】连接、、、、、，可得，由圆周角定理可得，，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，由三角形外角的性质，可得，由等角对等边，即可得． 【详解】解：连接、、、、、， ∵六边形是的内接正六边形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆的综合，圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形，三角形外角的性质，等角对等边． 知识点二 正多边形与圆综合 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及到正八边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正八边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 连接、，根据正八边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图, 正八边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，经过正六边形的顶点A、E，则所对的圆周角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，连接，根据正六边形的性质可得全等三角形，则可得到是等边三角形，则可推导出圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接，，． 六边形是正六边形， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，，由垂径定理和圆周角定理可得，，则和都是等边三角形．通过直角三角形的性质和勾股定理，计算出的长，使用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 同理，， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期末）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) 解：为等边三角形． 理由：六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ． ． 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角，再由等边三角形的判定定理得出结论； （2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由扇形面积公式求出扇形的面积，再求出的面积，最后求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵点是的内心， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，正三角形的判定，三角形内心，解直角三角形，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 1．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质和线段和最小值问题，正多边形性质等，解题关键是取的中点构造两条中位线． 连接，取的中点，连接、，，根据中位线可得、，而根据三角形两边之和大于第三边可得，当、M、Q三点共线时成立，等号成立，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，，如图1， ∵若P，Q分别是，的中点， ∴，，，， ∵，当、、三点共线时成立，等号成立， ∴当旋转过程中的最大值时，，， 过点作，垂足为H，如图1， ∵在正六边形中，，， ∴，， ∴，，， ∴的最大值为， 当旋转过程中的最大值时，，如图2， 由正六边形性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：将正六边形 绕点A逆时针旋转时，，的最大值为， 故选B． 2．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）将四个正六边形按如图所示的方式摆放在如图所示的圆中，顶点，，，，，均在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形对应点的距离，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可． 【详解】解：连接交于O，则点O是圆心，过点O作于N，连接，取的中点G，连接，，连接交于， ∵两个大正六边形的边长均为4， ∴由正六边形对称性可知，， 由正六边形的性质可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由正六边形的性质可知，、、都是正三角形， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解直角三角形、正方形的性质、等边三角形的性质、内切圆的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题关键． 先求圆圆心到的距离（内接正方形性质），再求圆圆心到的距离（内接正三角形性质），然后分当两圆心在公共弦异侧和同侧两种情况求解即可． 【详解】解：如图：连接，设与相交于点F， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵对于，是内接正方形的一边，圆心为正方形中心， ∴， ∴到的距离． ∵对于，是内接正三角形的一边，圆心为正三角形中心， ∴，， ∵， ∴，即，解得： ∴到的距离为内切圆半径，即． 当、在异侧时，圆心距． 当、在同侧时，延长与相交于点F， ∴圆心距． 故答案为或． 4．（25-26九年级上·江西·期末）如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，即为所求． 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练的作图是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $