专题01 整式加减的应用（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以七类典型应用为载体，系统提炼整式表达、化简、比较的方法体系，构建从具体情境到综合探究的知识逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形周长面积|4题|图形割补→字母表边长→化简求值|几何直观→代数式表达→运算能力| |数字数位应用|4题|两位数/三位数记法→整式推导数量关系|数感→符号意识→推理能力| |方案选择应用|4题|列整式→作差比较→分范围判断最优|模型意识→数据分析→应用能力| |月历数阵规律|4题|中间数表框选数→整式求和推理|规律探究→抽象概括→创新意识| |分段计费问题|4题|划分区间→分段列代数式→化简|分类讨论→数学表达→应用意识| |作差比较大小|4题|作差→化简差式→判断正负|逻辑推理→运算能力→理性精神| |新定义综合|4题|自定义规则转化→整式运算推理|阅读理解→知识迁移→创新意识|

专题01 整式加减的应用 题型一：图形周长、面积的整式表达与计算 题型二：数字与数位类整式应用 题型三：方案选择类实际应用题 题型四：月历、数阵规律探究 题型五：分段计费实际问题 题型六：作差法比较代数式大小综合 题型七：新定义与阅读理解型整式综合 题型一：图形周长、面积的整式表达与计算 方法技巧：结合图形割补，用字母表示边长，列代数式；通过去括号、合并同类项化简，代入数值求结果。 1．如图，大坝截面是梯形，梯形的上底为，下底为，高为40，溢洪口是直径为12的半圆． (1)求图中阴影部分的面积； (2)当，π取3，求阴影部分面积的值． 2．在年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵式中，中国人民解放军首次公开展示了陆、海、空基“三位一体”战略核力量，其中“东风”洲际战略核导弹方队作为压轴出场，彰显了我国强大的国防实力．某校数学兴趣小组观看阅兵式后深受震撼，在校园科技节上制作了一个“东风”导弹模型的侧面宣传板．宣传板由一个三角形和一个长方形组成，其尺寸标注如图： (1)用含的代数式表示模型的总面积(结果需化简)； (2)当，求模型的总面积． 3．有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示． (1)用含a、b、c的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求S的值． 4．如图①，从一个边长为a的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图②）． (1)剪去的小长方形的长为______；（用含a，b的代数式表示） (2)求美术字“5”的图案的周长；（用含a，b的代数式表示） (3)若，，求美术字“5”的图案的周长． 题型二：数字与数位类整式应用 方法技巧：两位数记作、三位数记作；利用整式加减推导数位变换后的数量关系。 1．阅读理解： 材料一：对于一个两位数M，交换它的个位数字和十位数字得到的新数N叫这个两位数M的倒序数．如：23的倒序数是32，50的倒序数是05． 材料二：对于一个两位数M，若它的个位数字与十位数字的和小于等于9，则把个位数字与十位数字的和插到这个两位数中间，得到的新数叫这个两位数M的凸数．如23的凸数是253． (1)直接写出54的倒序数和凸数； (2)嘉嘉说：“如果两位数M的十位数字大于个位数字，则M与它的倒序数的差能被9整除”，判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； (3)如果一个两位数的倒序数是它本身，且这个两位数有凸数，直接写出这个两位数的凸数； (4)如果一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，且有凸数，直接用含x，y的代数式表示这个两位数的凸数． 2．【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 3．一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，十位数字3恰好等于百位数字2与个位数字4之和的一半，所以234是“半和数”；又如369中，十位数字6恰好等于百位数字3与个位数字9之和的一半，所以369也是“半和数”． (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为（为不为0的偶数），个位数字为0，则十位数字为______，这个数为______（用含的代数式表示）； (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，（，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为______． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 4．一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为，可记为，如果，那么我们把这个三位数叫做均衡数．例如：在三位数531中，，故531叫做均衡数． (1)基础巩固：①请写出一个均衡数_______，最大的均衡数是_______； ②已知一个均衡数的十位、个位上的数字分别为、2，用含的代数式表示这个三位数_______； (2)规律探究：均衡数一定能被哪个整数整除？先猜想，再证明你的结论； (3)拓展应用：对于任意一个三位数，交换百位数字和十位数字产生新数，两数之差最大能被_______整除． 题型三：方案选择类实际应用题 方法技巧：分别写出不同方案对应的整式表达式，作差比较大小，分范围判断最优方案。 1．10月份某商场所有商品的销量均减少，为吸引顾客，双11该商场进行全场促销，根据市场调查推出如下两种促销方案（两种方案不能叠加享受）： 方案一 可购买50元代金券，每张花费42元，每次消费时最多可使用4张，能使用尽量使用，未满50元的部分不得使用代金券． 方案二 消费后价格不超过200元的部分打9折优惠，超过200元的部分打8折优惠（不得同时使用代金券）． 例：某次消费70元，按照方案一使用代金券后，实际花费（元）． (1)若某次消费180元，按照方案一使用代金券后，实际花费多少元？ (2)小明一家在商场消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行付费，实际花费____元；若按照方案二进行付费，实际花费____元．（用含m的代数式表示） ②当时，选择哪种方案更省钱？ 2．为迎接新生，某中学计划添置100张课桌和x把椅子（）．现经调查发现，某家具厂的每张课桌定价200元，每把椅子定价80元，而厂方在开展促销活动期间，向客户提供了两种优惠方案：方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；方案二：课桌和椅子都按定价的付款． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该中学选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ (3)在的条件下，你有最省钱的购买方案吗？如果有，请写出购买方案并计算出费用；如果没有，请说明理由． 3．一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 4．某学校在布置食堂时，购置了一批餐桌和餐椅，现有如图所示的两种摆放方案：    (1)当有4张餐桌时，方案一能摆________把餐椅，方案二能摆________把餐椅； (2)当有n张餐桌时，方案一能摆________把餐椅，方案二能摆________把餐椅；（用含n的代数式表示） (3)该校有402名学生需要就餐，但只有150张这样的餐桌，如果只选择一种方案来摆放桌椅，请直接写出应选择哪种方案． 题型四：月历、数阵规律探究 方法技巧：抓住月历 “上下差 7，左右差 1”，用中间数表示框选的全部数；利用整式加减求和、推理判断可能性。 1．观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 2．项目式学习： 项目主题：干支纪年法探究 素材1 天干地支，简称“干支”，是中国古代用于记录年、月、日、时的序数系统，蕴含深厚传统文化与哲学思想，将天干和地支依次编号如下： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 编号 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 编号 对于年份，除以10的余数即该年的天干编号；除以12的余数即该年的地支编号．例如，对于2026年，有，，对应的天干编号为2，2为丙，地支编号为6，6为午，那么2026年为丙午年． 素材2 苏轼（1037～1101），字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川眉山）人，北宋著名文学家、书法家、画家，与其父苏洵（字明允）、弟苏辙（字子由）合称“三苏”，并同为唐宋八大家之一．苏轼在其中年时期的代表词作《水调歌头•明月几时有》序言中写道：“□□中秋，欢饮达旦，大醉，作此篇，兼怀子由．”（方框处所缺两字为创作该词时年份的干支） 问题解决 任务1 (1)你的出生年份为______年（填数字），以干支纪年法表示为______年（填干支）． 任务2 (2)下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（    ） A．辛亥革命—1911年；B．戊戌变法—1898年； C．甲午战争—1894年；D．甲申之变—1645年． 任务3 (3)已知苏轼创作《水调歌头·明月几时有》时的年龄三三数正好，四四数余三，五五数余四，意思是：该年龄除以3余0，除以4余3，除以5余4．请据此通过计算确定苏轼创作该词时的年龄，并将序言中所缺干支补充完整． 3．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 活动一：图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数 活动二：移动平行四边形框，选取月历中的9个数；将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (1)移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则是__________，是__________； (2)移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则是__________，是__________；（注：用含的代数式表示和）． (3)若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是___________，是___________； (4)若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是___________（用含的代数式表示g）． 4．图1是2025年8月的月历，用图2的“”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为，某数学小组的小梅和小亮想探究这五个数的和是否能被5整除． (1)小梅探究时，设，则___________，___________；（用含的代数式表示） (2)小亮思考了一下，他发现设可使计算更简单，请你也来试试，并判断为这五个数的和是否能被5整除． 题型五：分段计费实际问题 方法技巧：划分不同收费区间，每一段分别列代数式；注意自变量取值范围，再做整式化简。 1．下表是某品牌网约车的收费标准． 收费标准 起步费 不超过3公里为12元 里程费 超过3公里后超过部分2元公里 远途费 超过10公里后超过部分0.4元公里 时长费 超过10分钟后超过部分0.6元分钟 例：乘车里程为20公里，行车时间30分钟，车费为： （元） 请回答以下问题： (1)小华家到影院的路程是公里，若乘该品牌网约车约需要分钟，求所需车费多少元？ (2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为公里，行车时间为分钟，求所需车费多少元(用含a、b的代数式表示)？ (3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为公里、公里，若汽车在市区内限速公里小时，小华比小明乘车时间多用了分钟，请通过计算说明谁付的车费多？ 2．水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 3．某搬家公司派出一辆货车，其收费包含运输费和搬运费，具体计费标准如下： 运输费 货物容积 起步价（5公里以内） 超出5公里但不超过25公里部分 超出25公里部分 不超过 100元 4元/公里 5元/公里 超出但不超 200元 超出但不超过车辆核定装载量 300元 搬运费 基础搬运费 100元 楼层搬运费 ①通过电梯搬运收40元； ②通过楼梯搬运，1楼不收费，2楼及以上每层收40元； ③搬上楼和搬下楼分开计算． 大件搬运费 30元/每件 注：搬运费由基础搬运费+楼层搬运费+大件搬运费三部分构成 根据以上信息，回答下列问题： (1)将容积为的物品从A处搬到x公里外的B处，若距离超出5公里但不超过25公里时，运输费需要______元；若距离超出25公里时，运输费需要______元（均用含x的代数式表示）： (2)小明准备搬家，从原来的楼梯房1楼搬迁到15公里外的电梯房9楼，搬运总容积为（未超过车辆核定装载量），且有3件大件家具，则搬家总费用为多少？ (3)小红也找了同一家搬家公司进行搬家，从原来的楼梯房3楼搬到了新的电梯房12楼，搬运总容积为，且有5件大件家具，搬家总共花费675元，小红的搬家距离有多远？ 4．眉山移动公司推出了以下手机资费套餐（如下表） 套餐类型 月租费（元） 月租内免费服务 超套餐外资费 国内流量 国内主叫通话时长 畅享轻量版 58 通用 200分钟 流量：5元／；主叫通话：元／分钟 尊享主力版 88 通用 500分钟 流量：5元／；主叫通话：元／分钟 (1)设小宇妈妈每月国内通用流量使用，国内主叫通话时长使用分钟，每月通信总费用为W元．若小宇妈妈选择“畅享轻量版”，请用代数式表示她每月的通信费用W； (2)小宇的妈妈每月使用手机的情况是：国内主叫通话时长约300分钟，国内通用流量约，小宇妈妈选择套餐时，选哪种更划算，说明理由． 题型六：作差法比较代数式大小综合 方法技巧：两个代数式作差，化简差式；根据差的正负，判断两个代数式的大小关系。 1．【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 2．我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 3．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 4．【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，“作差法”是常用的比较方法之一．例如：要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】请用“作差法”解决下列问题： (1)比较和的大小． (2)春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的甲、乙、丙三种打包方式，所需打包带的长度分别为，，（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． ①用含a、b、c的代数式分别表示，，． ②当时，这三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？请说明理由． 题型七：新定义与阅读理解型整式综合 方法技巧：读懂题目自定义规则，转化为整式加减运算；作差、求和推理，解决判断、求值问题。 1．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 2．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_____“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 4．综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． (1)猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； (2)证明上述猜想． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式加减的应用 题型一：图形周长、面积的整式表达与计算 题型二：数字与数位类整式应用 题型三：方案选择类实际应用题 题型四：月历、数阵规律探究 题型五：分段计费实际问题 题型六：作差法比较代数式大小综合 题型七：新定义与阅读理解型整式综合 题型一：图形周长、面积的整式表达与计算 方法技巧：结合图形割补，用字母表示边长，列代数式；通过去括号、合并同类项化简，代入数值求结果。 1．如图，大坝截面是梯形，梯形的上底为，下底为，高为40，溢洪口是直径为12的半圆． (1)求图中阴影部分的面积； (2)当，π取3，求阴影部分面积的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为 (2)阴影部分面积为5546 【分析】（1）根据梯形的面积（上底下底）高，阴影部分的面积等于梯形的面积减去半圆的面积，列式进行计算即可得解； （2）把代入（1）中的代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ． （2）解：当，π取3时， 原式 ． 所以，阴影部分面积的值为5546． 2．在年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵式中，中国人民解放军首次公开展示了陆、海、空基“三位一体”战略核力量，其中“东风”洲际战略核导弹方队作为压轴出场，彰显了我国强大的国防实力．某校数学兴趣小组观看阅兵式后深受震撼，在校园科技节上制作了一个“东风”导弹模型的侧面宣传板．宣传板由一个三角形和一个长方形组成，其尺寸标注如图： (1)用含的代数式表示模型的总面积(结果需化简)； (2)当，求模型的总面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了三角形和长方形的面积计算、代数式的化简与求值，关键是分别求出三角形和矩形的面积，再相加得到总面积，然后代入数值计算 （1）先分别计算矩形和三角形的面积，再将两者相加并化简，得到总面积的代数式；（2）将给定的、的值代入（1）中得到的代数式，计算出具体的总面积数值． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为，三角形的底为，高为， ∴模型的总面积为； 故答案为：． （2）解：当，时， ； 答：模型的总面积为． 3．有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示． (1)用含a、b、c的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求S的值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）把，，，代入求值即可． 【详解】（1）解： 由题意得：； （2）解：当，，时， ∴． 4．如图①，从一个边长为a的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图②）． (1)剪去的小长方形的长为______；（用含a，b的代数式表示） (2)求美术字“5”的图案的周长；（用含a，b的代数式表示） (3)若，，求美术字“5”的图案的周长． 【答案】(1) (2) (3)56 【分析】本题考查了代数式的表示，周长的计算及代数式求值． （1）根据题意及图形列代数式，表示出剪去的小长方形的长； （2）利用平移的方法找出长度关系，即可表示出美术字“5”的图案的周长； （3）由（2）求出的周长将已知条件代入即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，剪去的一个小长方形的长为， 故答案为：． （2）解：由平移的方法可知： 美术字“5”的图案的周长为． （3）解：当，时， ， ∴美术字“5”的图案的周长为56． 题型二：数字与数位类整式应用 方法技巧：两位数记作、三位数记作；利用整式加减推导数位变换后的数量关系。 1．阅读理解： 材料一：对于一个两位数M，交换它的个位数字和十位数字得到的新数N叫这个两位数M的倒序数．如：23的倒序数是32，50的倒序数是05． 材料二：对于一个两位数M，若它的个位数字与十位数字的和小于等于9，则把个位数字与十位数字的和插到这个两位数中间，得到的新数叫这个两位数M的凸数．如23的凸数是253． (1)直接写出54的倒序数和凸数； (2)嘉嘉说：“如果两位数M的十位数字大于个位数字，则M与它的倒序数的差能被9整除”，判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； (3)如果一个两位数的倒序数是它本身，且这个两位数有凸数，直接写出这个两位数的凸数； (4)如果一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，且有凸数，直接用含x，y的代数式表示这个两位数的凸数． 【答案】(1)45，594 (2) 嘉嘉的说法正确，理由如下： 设，则M的倒序数， ， ∵是整数， ∴能被9整除， ∴嘉嘉的说法正确； (3)，，， (4) 【分析】本题考查新定义与代数式的应用，正确理解题意并列代数式表示所求的数是关键． （1）根据题干给的新定义进行计算即可； （2）设，则M的倒序数，相减判断是否能被9整除即可； （3）根据题意，这个两位的十位数字和个位数字相同，数字和又要小于等于9，写出符合条件的所有数字，并求出对应的凸数即可； （4）根据凸数的定义，先计算出其百位数字、十位数字和个位数字，用代数式表示这个数即可． 【详解】（1）解：由题意可知，54的倒序数为45，54的凸数为594； （2）略 （3）解：设这个两位数，则M的倒序数， ∵， ∴， ∴， ∵M有凸数， ∴，即， ∴，，，，对应的凸数为，，，； （4）设这个数为M，则， 根据凸数的定义，M的凸数得百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴这个数为． 2．【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 【答案】(1)22 (2)结果稳定在某一个数上，或者在某几个数之间循环 【分析】（1）设这三个数分别为、、，得到6个不同的两位数，再利用整式的加减运算求和即可得解； （2）任意写下一个三位数，按题中条件作变换，观察结果即可得到规律． 【详解】（1）解：设这三个数分别为、、， 6个不同的两位数分别为，，，，，， ， 所得的和除以这三个数字的和， 即这6个两位数相加所得的和除以这三个数字的和，结果是； （2）解：任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 观察发现，结果稳定在某一个数上，或者在某几个数之间循环． 3．一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，十位数字3恰好等于百位数字2与个位数字4之和的一半，所以234是“半和数”；又如369中，十位数字6恰好等于百位数字3与个位数字9之和的一半，所以369也是“半和数”． (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为（为不为0的偶数），个位数字为0，则十位数字为______，这个数为______（用含的代数式表示）； (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，（，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为______． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)结论正确，理由： 设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为正整数，且m、n不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： ， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：， 将新“半和数”与原“半和数”相加得： ∵m，n均为正整数，且m、n不为0， ∴为正整数， ∴是的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是的倍数． 【分析】（1）根据定义计算十位数字，再表示出三位数即可； （2）直接根据定义推导得到，，的关系式； （3）分别用代数式表示原半和数、新半和数，求和化简后即可判断结果是否为111的倍数． 【详解】（1）解：∵该三位数是“半和数”，百位数字是7，个位数字是1， ∴十位数字为， ∴这个数是． 当百位数字为，个位数字为时， ∴十位数字为，这个三位数为． （2）根据“半和数”的定义，十位数字等于百位数字与个位数字之和的一半，可得 ， 整理得． （3）略 4．一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为，可记为，如果，那么我们把这个三位数叫做均衡数．例如：在三位数531中，，故531叫做均衡数． (1)基础巩固：①请写出一个均衡数_______，最大的均衡数是_______； ②已知一个均衡数的十位、个位上的数字分别为、2，用含的代数式表示这个三位数_______； (2)规律探究：均衡数一定能被哪个整数整除？先猜想，再证明你的结论； (3)拓展应用：对于任意一个三位数，交换百位数字和十位数字产生新数，两数之差最大能被_______整除． 【答案】(1)①642（答案不唯一），999；② (2) 均衡数一定能被3整除，证明如下： 设均衡数为，其中a、b、c都是大于且小于等于的正整数，且不为0， 则， 即均衡数为， ∵a、b、c都是大于等于且小于等于的正整数，且不为0， ∴是正整数， ∴一定能被3整除， 即均衡数一定能被3整除． (3)90 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，列代数式，正确理解新定义是解题的关键． （1）①根据均衡数的定义解答即可；②根据均衡数的定义可得百位上的数字为，即可求解； （2）设均衡数为， 则，即均衡数为，结合a、b、c都是大于且小于等于的正整数，故一定能被3整除，即可求解； （3）设这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为m，n，s，且m，n，s都是大于等于且小于等于的正整数，且m，n不为0，可得这个三位数为，新数为，求出两数的差，即可求解． 【详解】（1）解：①假设这个百位上的数字是6，个位上的数是2，则十位上的数字为， ∴三位数是均衡数， ∵要求最大的均衡数， ∴百位上的数为，个位上的数为，则十位数字为， ∴最大的均衡数是； 故答案为：642（答案不唯一），999； ②∵均衡数的十位、个位上的数字分别为、2， ∴百位上的数字为， ∴这个三位数为； 故答案为： （2）略 （3）解：设这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为m，n，s，且m，n，s都是大于等于且小于等于的正整数，且m，n不为0， ∴这个三位数为，新数为， ∵ ， ∵m，n，s都是大于等于且小于等于的正整数，且m，n不为0， ∴两数之差最大能被90整除． 故答案为：90 题型三：方案选择类实际应用题 方法技巧：分别写出不同方案对应的整式表达式，作差比较大小，分范围判断最优方案。 1．10月份某商场所有商品的销量均减少，为吸引顾客，双11该商场进行全场促销，根据市场调查推出如下两种促销方案（两种方案不能叠加享受）： 方案一 可购买50元代金券，每张花费42元，每次消费时最多可使用4张，能使用尽量使用，未满50元的部分不得使用代金券． 方案二 消费后价格不超过200元的部分打9折优惠，超过200元的部分打8折优惠（不得同时使用代金券）． 例：某次消费70元，按照方案一使用代金券后，实际花费（元）． (1)若某次消费180元，按照方案一使用代金券后，实际花费多少元？ (2)小明一家在商场消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行付费，实际花费____元；若按照方案二进行付费，实际花费____元．（用含m的代数式表示） ②当时，选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)156 (2)① ， ②方案二更省钱 【分析】本题考查了列代数式及代数式的值，理解两个优惠方案，正确建立代数式是解题关键． （1）根据方案一可得消费180元可以使用3张代金券，据此列式运算式子，计算有理数的四则混合运算即可得； （2）①按照方案一，可以使用张代金券，据此列出代数式，化简即可得；按照方案二可列出代数式，化简即可得；②根据①的结果，将的值代入方程即可得． 【详解】（1）解：按照方案一使用代金券后，实际花费为（元）， 故答案为：156． （2）解：①若按照方案一使用代金券进行优惠，则实际花费为（元）； 若按照方案二进行优惠，则实际花费为（元）； 故答案为：；． ②当时， 方案一， 方案二：， 故方案二更省钱． 2．为迎接新生，某中学计划添置100张课桌和x把椅子（）．现经调查发现，某家具厂的每张课桌定价200元，每把椅子定价80元，而厂方在开展促销活动期间，向客户提供了两种优惠方案：方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；方案二：课桌和椅子都按定价的付款． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该中学选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ (3)在的条件下，你有最省钱的购买方案吗？如果有，请写出购买方案并计算出费用；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)方案一需付款元；方案二需付款元 (2)选择方案二更省钱 (3)有，用方案一购买100张桌子，再用方案二买100把椅子最省钱，所需费用为26000元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，列出代数式． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将代入代数式分别求出两种方案需要的费用，然后进行比较即可； （3）求出用方案一购买100张桌子，再用方案二买100把椅子需要的费用，然后与另外两种方案需要的费用对比，即可得出答案． 【详解】（1）解：方案一：元， 方案二：元， 答：方案一需付款元；方案二需付款元； （2）解：当时，方案一：（元）； 方案二：（元）； ∵， ∴该中学选择方案二更省钱； （3）解：使用方案一购买100张桌子，赠送100把椅子，再用方案二买100把椅子， 元， ， 答：用方案一购买100张桌子，再用方案二买100把椅子最省钱，所需费用为26000元． 3．一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【答案】(1), (2)方案一更省钱 (3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式． （1）分别根据方案一和方案二列式计算即可； （2）将代入（1）中代数式求解并判断，即可解题； （3）先用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可． 【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元， 方案二的总付款金额为元； 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一的总付款金额为：（元）， 方案二的总付款金额为：（元）， ， 方案一更省钱； （3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买， 混合总费用为：（元）， ， 存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元． 4．某学校在布置食堂时，购置了一批餐桌和餐椅，现有如图所示的两种摆放方案：    (1)当有4张餐桌时，方案一能摆________把餐椅，方案二能摆________把餐椅； (2)当有n张餐桌时，方案一能摆________把餐椅，方案二能摆________把餐椅；（用含n的代数式表示） (3)该校有402名学生需要就餐，但只有150张这样的餐桌，如果只选择一种方案来摆放桌椅，请直接写出应选择哪种方案． 【答案】(1)18，12 (2)， (3)应选择方案一 【分析】本题考查了图形类规律探索、列代数式与代数式求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图形可得方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；据此列式，计算加法即可得； （2）根据图形可得方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；据此归纳类推出一般规律即可得； （3）将代入（2）的结论中，找出能摆餐椅的数量大于402把的方案即可得． 【详解】（1）解：由图可知，方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅； 方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅； 则当有4张餐桌时，方案一能摆餐椅的数量为（把）；方案二能摆餐椅的数量为（把）， 故答案为：18，12． （2）解：方案一：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 归纳类推得：当有张餐桌时，方案一能摆把餐椅． 方案二：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 归纳类推得：当有张餐桌时，方案二能摆把餐椅． 故答案为：，． （3）解：应选择方案一，理由如下： 方案一：当时，， 方案二：当时，， 所以应选择方案一． 题型四：月历、数阵规律探究 方法技巧：抓住月历 “上下差 7，左右差 1”，用中间数表示框选的全部数；利用整式加减求和、推理判断可能性。 1．观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 【答案】(1)同一行中，右侧的数比左侧相邻的数大； 同一列中，下方的数比上方相邻的数大； (2)套色方框中的9个数之和等于方框正中间数的9倍 (3)成立，理由如下： 设方框正中间的数为，根据日历的数字规律，方框内9个数可表示为： 上一行：， 中间行：， 下一行：， 9个数相加得，， 所以9个数的和恒等于中间数的9倍，只要该月日历能框出3×3的9个日期，这个关系就成立，对任意月份的日历都适用． (4)对角线规律：两条对角线上的三个数之和相等，均等于中间数的3倍， 设方框正中间的数为， 左上到右下：． 右上到左下：． 【分析】（1）根据日历中的数写出规律即可； （2）求出套色方框中的9个数之和与中间的数比较即可； （3）设方框正中间的数为，根据日历中相邻日期数的规律，可表示出其余8个数，将这9个数相加，得，故9个数的和恒等于中间数的9倍； （4）由（3）设中间数为，两条对角线上的数分别可表示为和，相加均得，即可得出对角线的规律． 【详解】（1）略 （2）解：日历图的套色方框中的9个数的总和为：， 方框正中间的数为10，可得， 因此套色方框中9个数的和，等于方框正中间数的9倍． （3）略 （4）略 2．项目式学习： 项目主题：干支纪年法探究 素材1 天干地支，简称“干支”，是中国古代用于记录年、月、日、时的序数系统，蕴含深厚传统文化与哲学思想，将天干和地支依次编号如下： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 编号 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 编号 对于年份，除以10的余数即该年的天干编号；除以12的余数即该年的地支编号．例如，对于2026年，有，，对应的天干编号为2，2为丙，地支编号为6，6为午，那么2026年为丙午年． 素材2 苏轼（1037～1101），字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川眉山）人，北宋著名文学家、书法家、画家，与其父苏洵（字明允）、弟苏辙（字子由）合称“三苏”，并同为唐宋八大家之一．苏轼在其中年时期的代表词作《水调歌头•明月几时有》序言中写道：“□□中秋，欢饮达旦，大醉，作此篇，兼怀子由．”（方框处所缺两字为创作该词时年份的干支） 问题解决 任务1 (1)你的出生年份为______年（填数字），以干支纪年法表示为______年（填干支）． 任务2 (2)下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（    ） A．辛亥革命—1911年；B．戊戌变法—1898年； C．甲午战争—1894年；D．甲申之变—1645年． 任务3 (3)已知苏轼创作《水调歌头·明月几时有》时的年龄三三数正好，四四数余三，五五数余四，意思是：该年龄除以3余0，除以4余3，除以5余4．请据此通过计算确定苏轼创作该词时的年龄，并将序言中所缺干支补充完整． 【答案】(1)示例：，庚辰（答案不唯一，按规则计算正确即可） (2)D (3)苏轼创作该词时年龄为岁，序言中所缺干支为丙辰 【分析】（1）根据题干给出的规则计算出生年份对应的干支即可，答案不唯一； （2）对每个选项按规则验证，选出错误选项； （3）先根据余数条件推导出年龄的表达式，结合苏轼生卒年确定符合条件的年龄，再计算对应年份的干支即可． 【详解】（1）解：示例：若出生年份为，计算得 ， ， 对应天干为庚， ， 对应地支为辰，故干支为庚辰，答案不唯一，符合计算规则即可． （2）A选项： ，， ，对应天干辛， ，对应地支亥，为辛亥年，A正确． B选项： ， ， ，对应天干戊， ，对应地支戌，为戊戌年，B正确． C选项： ， ， ，对应天干甲， ，对应地支午，为甲午年，C正确． D选项： ， ，，对应天干乙，，对应地支酉，为乙酉年，不是甲申年，D错误． （3）设苏轼创作该词时年龄为，根据题意得： 能被整除，除以余，除以余． 观察得能同时被和整除，和的最小公倍数为， 因此 （为正整数），即 ． 因为能被整除，所以 能被整除， 推得（为非负整数），代入得 ． 苏轼生卒年为 ，最大年龄为， 仅时符合条件， 时超出苏轼寿命，不符合． 因此年龄为岁，对应创作年份 ． 计算干支： ， ， 对应天干编号为丙， ， 对应地支编号为辰，因此干支为丙辰． 答：苏轼创作该词时年龄为（岁），序言中所缺干支为丙辰． 3．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 活动一：图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数 活动二：移动平行四边形框，选取月历中的9个数；将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (1)移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则是__________，是__________； (2)移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则是__________，是__________；（注：用含的代数式表示和）． (3)若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是___________，是___________； (4)若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是___________（用含的代数式表示g）． 【答案】(1)14；18 (2)， (3)18；6 (4) 【分析】（1）（2）根据月历的特点即可得到答案； （3）求出选取的9个数的和，进而可求出幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都为36，据此可得答案； （4）用含t的式子表示出其他8个数，求出选取的9个数的和，进而可求出幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和，据此可得答案． 【详解】（1）解：由月历的特点可得； （2）解：由月历的特点可得； （3）解：∵，， ∴幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都为36， ∴ （4）解：∵平行四边形框选取的数中最小的数是， ∴其他8个数分别为， ∴这选取的9个数的和为， ∵， ∴幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都为， ∴． 4．图1是2025年8月的月历，用图2的“”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为，某数学小组的小梅和小亮想探究这五个数的和是否能被5整除． (1)小梅探究时，设，则___________，___________；（用含的代数式表示） (2)小亮思考了一下，他发现设可使计算更简单，请你也来试试，并判断为这五个数的和是否能被5整除． 【答案】(1)； (2) 解：设，则，，，， ， 能被5整除． 这五个数的和能被5整除． 【分析】此题考查了整式的加减的应用，解题的关键是掌握运算法则． （1）根据题意列代数式即可； （2）分别表示出D，E，B，A，然后求和判断即可． 【详解】（1）解：设，则，； 故答案为：； （2）略 题型五：分段计费实际问题 方法技巧：划分不同收费区间，每一段分别列代数式；注意自变量取值范围，再做整式化简。 1．下表是某品牌网约车的收费标准． 收费标准 起步费 不超过3公里为12元 里程费 超过3公里后超过部分2元公里 远途费 超过10公里后超过部分0.4元公里 时长费 超过10分钟后超过部分0.6元分钟 例：乘车里程为20公里，行车时间30分钟，车费为： （元） 请回答以下问题： (1)小华家到影院的路程是公里，若乘该品牌网约车约需要分钟，求所需车费多少元？ (2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为公里，行车时间为分钟，求所需车费多少元(用含a、b的代数式表示)？ (3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为公里、公里，若汽车在市区内限速公里小时，小华比小明乘车时间多用了分钟，请通过计算说明谁付的车费多？ 【答案】(1)所需车费27元 (2)所需车费元 (3)小华付的车费多 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数的混合运算，读懂题意，列出正确的代数式是解题的关键． （1）根据题意列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据题意列出代数式，再根据整式的加减计算即可； （3）分别计算小华与小明的车费，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：（元） 故所需车费27元； （2）解：， 故所需停车费元； （3）解：（小时）分钟 ∴小华、小明乘车均超过10分钟 设小华乘车时间为分钟，则小明乘车时间为分钟， 由（2）题的代数式可得： 小华的车费为：元． 小明的车费为：元． 因为， 所以． 答：小华付的车费多． 2．水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 【答案】(1)吨，吨 (2) (3)545 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）用表示出、两个仓库分别向、运送的吨数，再乘以每吨的运费，然后合并起来即可； （3）把代入（2）中的代数式，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为吨，从B仓库运到D工地的水泥为吨； （2）解：把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费为： 元； （3）解：当时，（元）， 如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为元． 3．某搬家公司派出一辆货车，其收费包含运输费和搬运费，具体计费标准如下： 运输费 货物容积 起步价（5公里以内） 超出5公里但不超过25公里部分 超出25公里部分 不超过 100元 4元/公里 5元/公里 超出但不超 200元 超出但不超过车辆核定装载量 300元 搬运费 基础搬运费 100元 楼层搬运费 ①通过电梯搬运收40元； ②通过楼梯搬运，1楼不收费，2楼及以上每层收40元； ③搬上楼和搬下楼分开计算． 大件搬运费 30元/每件 注：搬运费由基础搬运费+楼层搬运费+大件搬运费三部分构成 根据以上信息，回答下列问题： (1)将容积为的物品从A处搬到x公里外的B处，若距离超出5公里但不超过25公里时，运输费需要______元；若距离超出25公里时，运输费需要______元（均用含x的代数式表示）： (2)小明准备搬家，从原来的楼梯房1楼搬迁到15公里外的电梯房9楼，搬运总容积为（未超过车辆核定装载量），且有3件大件家具，则搬家总费用为多少？ (3)小红也找了同一家搬家公司进行搬家，从原来的楼梯房3楼搬到了新的电梯房12楼，搬运总容积为，且有5件大件家具，搬家总共花费675元，小红的搬家距离有多远？ 【答案】(1) (2)搬家总费用为570元 (3)小红的搬家距离为30公里 【分析】本题考查了整式的应用，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据表格提供信息列式求解即可； （2）先求运输费，再求搬家费，相加即可； （3）先求搬运费，再求出运输费，再根据运输费的标准求解即可． 【详解】（1）解：将容积为的物品从A处搬到x公里外的B处， 若距离超出5公里但不超过25公里时，运输费需要（元）， 若距离超出25公里时，运输费需要（元）， 故答案为：； （2）解：运输费为：（元）， 搬运费为：（元）， （元） 答：搬家总费用为570元； （3）解：搬运费为：（元）， （元） （元） （元） （公里） （公里） 答：小红的搬家距离为30公里． 4．眉山移动公司推出了以下手机资费套餐（如下表） 套餐类型 月租费（元） 月租内免费服务 超套餐外资费 国内流量 国内主叫通话时长 畅享轻量版 58 通用 200分钟 流量：5元／；主叫通话：元／分钟 尊享主力版 88 通用 500分钟 流量：5元／；主叫通话：元／分钟 (1)设小宇妈妈每月国内通用流量使用，国内主叫通话时长使用分钟，每月通信总费用为W元．若小宇妈妈选择“畅享轻量版”，请用代数式表示她每月的通信费用W； (2)小宇的妈妈每月使用手机的情况是：国内主叫通话时长约300分钟，国内通用流量约，小宇妈妈选择套餐时，选哪种更划算，说明理由． 【答案】(1) (2) 解：选择尊享主力版更划算，理由如下： 选择畅享轻量版的通信费用为元； 选择尊享主力版的通信费用为88元； ∵， ∴选择尊享主力版更划算． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式的代入求值，准确理解题意是解题的关键． （1）利用套餐内的消费加上套餐外的消费分别列式求解即可； （2）分别求出两种套餐的费用即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：她每月的通信费用为； （2）略 题型六：作差法比较代数式大小综合 方法技巧：两个代数式作差，化简差式；根据差的正负，判断两个代数式的大小关系。 1．【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 2．我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）利用作差法得到，计算出结果即可得出答案； （2）①利用作差法得到，再根据即可得到答案； ②，再根据，，即可得出； （3）代入计算得到，根据无关型求得，得到，，再利用作差法，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：① ， 根据数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：，， ∴， ∴； ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 3．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)； (2)，，当时，；当时，；当时， (3)方案一 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； ∴； 故答案为：； （2）解：图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）解：根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ，且， ， 从省料角度考虑，应选方案一． 4．【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，“作差法”是常用的比较方法之一．例如：要比较M与N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】请用“作差法”解决下列问题： (1)比较和的大小． (2)春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，准备采用如图所示的甲、乙、丙三种打包方式，所需打包带的长度分别为，，（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）． ①用含a、b、c的代数式分别表示，，． ②当时，这三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，，； ②丙种方式最节省打包带，证明如下： ， ， ， ， ， 丙种方式比甲节省打包带． ， ， ， ， ， 丙种方式比乙节省打包带． 综上所述，丙种方式最节省打包带． 【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）利用求差法比较大小即可； （2）①根据图形列出代数式即可；②利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解： （2）解：①， ， ， ②略 题型七：新定义与阅读理解型整式综合 方法技巧：读懂题目自定义规则，转化为整式加减运算；作差、求和推理，解决判断、求值问题。 1．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）由题意可知，，即可求解． （2）由题意可知，，化简代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据可知， 根据可知； （2）解： 2．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_____“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1) 不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”， 理由：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； (2)①是；② 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，有理数的混合运算，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． （1）根据新定义，分别求出两数的差与两数积的3倍减2的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：①是“同心有理数对”， ． ∵，， ∴， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 4．综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． (1)猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； (2)证明上述猜想． 【答案】(1)能被11整除 (2)证明： ， 因为和都能被11整除， 所以四位数能被11整除， 故当能被11整除时，能被11整除． 【分析】（1）根据所给数字探究即可； （2）把整理成解答． 【详解】（1）解：1023，，0能被11整除； 1353，，0能被11整除； 2805，，能被11整除； …； ∴当，，，满足能被11整除，四位数能被11整除； （2）略． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $