3.2利用导数研究函数的单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的单调性”核心考点，依据课标要求梳理了导数与单调性关系、单调区间求解、多项式函数单调性分析等考查维度，对接高考评价体系，明确其作为导数应用基础（后续最值极值必备）的高权重地位，归纳求单调区间、含参数单调性判断、参数取值范围三大常考题型。 课件亮点在于“必备知识落实+关键能力形成+学科素养提升”的系统设计，如例2通过分类讨论导数零点位置培养数学思维（推理能力），例3用参变分离法解决参数范围问题渗透数学语言（模型观念）。特设解题心得与对点训练，帮助学生掌握分类讨论、数形结合等技巧，教师可依托此框架实现精准复习，提升备考效率。

3.2　利用导数研究函数的单调性 第三章 2027 课标要求 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 备考指导 利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用,后面涉及的最值、极值等,都需要考虑函数的单调性,所以也是高考必考知识.应用时,要注意函数的定义域优先,准确求导变形,转化为导函数在某区间上的符号问题.常用到分类讨论和数形结合的思想,对数学运算核心素养有一定的要求. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 函数的单调性与导数的关系 一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,函数f(x)的单调性与其导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增,区间(a,b)为函数y=f(x)的单调递增区间; 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减,区间(a,b)为函数y=f(x)的单调递减区间. 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内为常函数. 温馨提示1.若在某个区间上有有限个(无限个不连续)点使f'(x)=0,而其余点恒有f'(x)>0(f'(x)<0),则f(x)仍单调递增(减),例如函数f(x)=x3(x∈R),f'(x)=3x2,尽管当x=0时,f'(x)=0,但函数f(x)=x3在R上仍单调递增. 2.在某一区间上f'(x)>0(f'(x)<0)是函数y=f(x)在该区间上单调递增(减)的充分不必要条件,而不是充要条件. 问题思考 “若f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f'(x)>0在区间(a,b)内恒成立”,这种说法是否正确? 不正确.可导函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且f'(x)在区间(a,b)内的任何子区间内都不恒为零. 若所求函数的单调区间不止一个,则这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接,只能用“,”或“和”隔开. 【知识巩固】 1.若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　) D 设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3, 且x1<0<x2<x3. 则在区间(-∞,x1)和(x2,x3)内,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,故函数y=f(x)的图象可能为D. 2.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(　　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) A ∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 3.若函数y=cos x+ax在区间 上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,1] C.[-1,-∞) D.[1,+∞) D 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 求函数的单调区间 例1　(1)若幂函数f(x)=xα的图象过点 ,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为　　　　　.  (-2,0) 所以f(x)=x2,所以g(x)=exx2, 于是g'(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x). 令g'(x)<0,得-2<x<0,故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0). 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知函数f(x)=xsin x+cos x的定义域为(-π,π),则f(x)的单调递增区间是 ____________.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得利用导数求函数单调区间的三种方法 导函数不等式可解时 解不等式f'(x)>0或f'(x)<0求出函数f(x)的单调区间 方程f'(x)=0可解时 解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分成若干个区间,确定各区间f'(x)的符号,从而确定函数f(x)的单调区间 导函数的方程、不等式都不可解时 根据f'(x)的结构特征,利用其图象与性质确定f'(x)的符号,从而确定函数f(x)的单调区间 注意:求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 B (2)函数f(x)=xex-ex+1的单调递增区间是(　　) A.(-∞,e) B.(1,e) C.(e,+∞) D.(e-1,+∞) D 由f(x)=xex-ex+1,得f'(x)=(x+1-e)ex, 令f'(x)>0,解得x>e-1,故函数f(x)的单调递增区间是(e-1,+∞). 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 判断含参函数的单调性 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论有以下三个: (1)求导后,考虑f'(x)=0是否有实数解,从而引起分类讨论. (2)求导后,f'(x)=0有实数解,但不清楚f'(x)=0的实数解是否落在定义域内,从而引起分类讨论. (3)求导后,f'(x)=0有实数解,f'(x)=0的实数解也落在定义域内,但不清楚这些实数解的大小关系,从而引起分类讨论. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练2 已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数). (1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值; (2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 根据函数的单调性求参数的取值范围 例3　若函数 在区间[1,4]上单调递减,则实数a的取值范围为__________________.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 拓展延伸1 将例3条件变为“函数h(x)在区间[1,4]上单调递增”,则实数a的取值范围为 　　　　　.  (-∞,-1] 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 拓展延伸2 将例3条件变为“函数h(x)在区间[1,4]上存在单调递减区间”,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  (-1,0)∪(0,+∞) 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 拓展延伸3 若例3条件变为“函数h(x)在区间[1,4]上不单调”,则a的取值范围为 　　　　　　　　.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法 (1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(减)求参数取值范围问题,可转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)对x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令区间I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练3 已知函数 ,其中a为常数. (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求实数a的取值范围. 解 (1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+∞), 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 等价转化思想在求参数范围中的应用 答案:C A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞) 答案:D 解析:至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,即f(x)-g(x)>0在区间[1,e]上有解. 故φ(x)在区间[1,e]上单调递增,即φ(x)min=φ(1)=0,因此a>0即可.故选D. 典例3　设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(　　) 答案:D 解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0,即为g(x)<h(x). 因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线. 如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象. 显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数解有无数多个. 而函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1), 反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参数不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)<0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数取值的范围. 本 课 结 束 ∵f'(x)=2x-(x>0), 由已知得y'=-sin x+a≥0,即a≥sin x在区间上恒成立,可得a≥1. () 因为f(x)的图象过点,所以,α=2, 由题意可知f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 令f'(x)=xcos x>0,又x∈(-π,π),所以x, 即f(x)的单调递增区间为 对点训练1 (1)函数y=4x2+的单调递增区间为(　　) A.(0,+∞) B. C.(-∞,-1) D. 由y=4x2+,得y'=8x-(x≠0),令y'>0,即8x->0,解得x>, 故函数y=4x2+的单调递增区间为 故选B. 例2　已知函数f(x)=-x+aln x,讨论f(x)的单调性. 解 由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=- ①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0, 即f(x)在区间(0,+∞)内单调递减. ②若a>2,令f'(x)=0,得x=或x= 当x,+时,f'(x)<0; 当x时,f'(x)>0. 即f(x)在区间,(,+∞)内单调递减, 在区间()内单调递增. 解 (1)由题意知x>0,f'(x)=+2ax-(a+2)=,则f'(1)=a-1. 因为函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直, 所以f'(1)=-1,所以f'(1)=a-1=3,解得a=4. (2)f'(x)=因为a>0,所以>0. ①当0<a<2时,得,当0<x<或x>时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0, 所以y=f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减. ②当a=2时,,对任意的x>0,f'(x)≥0恒成立, 所以y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. ③当a>2时,,当0<x<或x>时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0,所以y=f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减. 综上所述,当0<a<2时,y=f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减; 当a=2时,y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当a>2时,y=f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减. h(x)=ln x-ax2-2x(a≠0) (0,+∞) 因为函数h(x)在区间[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a恒成立. 设g(x)=, g'(x)=-,当x∈[1,4]时,g'(x)≥0恒成立,即g(x)在区间[1,4]上单调递增,所以g(x)max=g(4)==-,所以则a≥g(x)max,即a≥- 又因为a≠0,所以a的取值范围是(0,+∞). 因为h(x)在区间[1,4]上单调递增, 所以当x∈[1,4]时,h'(x)≥0恒成立,即a恒成立. 又因为当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1), 所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1]. 因为h(x)在区间[1,4]上存在单调递减区间, 所以h'(x)<0在区间[1,4]上有解, 所以当x∈[1,4]时,a>有解, 而当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1), 所以a>-1. 又因为a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 因为h(x)在区间[1,4]上不单调, 所以h'(x)=0在区间(1,4)内有解, 即a=-1在区间(1,4)内有解. 令m(x)=(x∈(1,4)),则-1<m(x)<- 故实数a的取值范围是 f(x)=-2x2+ln x 故f'(x)=-4x+3=(x>0). (2)由题意可知f'(x)=-4x+ 若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数, 则-4x+0或-4x+0在区间[1,2]上恒成立, 即4x-4x-在区间[1,2]上恒成立. 令h(x)=4x-,因为函数h(x)在区间[1,2]上单调递增, 所以h(2)或h(1),即3, 解得a<0或0<a或a≥1. 故a的取值范围是(-∞,0)[1,+∞). 典例1　若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在R上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,1] B. C. D. 解析:f(x)=x-sin 2x+asin x, 故f'(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+. 因为f(x)在R上单调递增, 所以f'(x)=-cos2x+acos x+≥0在R上恒成立. (方法一)由题意可得当cos x=1时,f'(x)≥0; 当cos x=-1时,f'(x)≥0, 即解得-≤a≤. (方法二)令t=cos x∈[-1,1], 当t=0时,>0恒成立; 当0<t≤1时,a≥t-. 令h(t)=t-,则h'(t)=>0, 即h(t)在区间(0,1]内单调递增. 由于h(t)max=h(1)=-,则a≥-; 当-1≤t<0时,a≤t-. 令g(t)=t-,则g'(t)=>0, 即g(t)在区间[-1,0)内单调递增. 由于g(t)min=g(-1)=,则a≤. 综上,-≤a≤. 典例2　已知函数f(x)=a-2ln x(a∈R),g(x)=-,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,则实数a的取值范围为(　　) 设F(x)=f(x)-g(x), 则F(x)=a-2ln x+=ax-2ln x>0在区间[1,e]上有解,即a>. 设φ(x)=,则φ'(x)=. 当x∈[1,e]时,φ'(x)=≥0, A. B. C. D. 所以当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增. 即g(x)的最小值为g. 与x轴的交点为D. 取点C. 由图可知, 当不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时, 须满足kPC≤a<kPA. 而kPC=,kPA==1, 即≤a<1.故选D. $