山西数学特色题培优——每天一道阅读题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以数学史和新定义为载体，系统融合代数推理与几何直观，通过25个专题构建"阅读-理解-应用"三阶训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数方法|6个专题|配方法、换根法、平均数法|从一元二次方程解法到函数最值，构建代数推理链条| |几何新定义|8个专题|构造法、转化法、性质探究|以"神奇四边形""邻对等四边形"等新定义为核心，形成几何性质探究路径| |几何性质|7个专题|相似判定、角平分线定理|从特殊图形到一般规律，建立几何证明逻辑体系| |实际应用|4个专题|数学建模、优化思想|运用函数与方程解决面积、容积等实际问题，体现应用意识|

山西数学特色题培优——阅读与思考专练 第1天 1．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 花拉子米与《代数学》 中亚细亚数学家阿尔•花拉子米（约780﹣约850）是对欧洲数学影响最大的数学家之一，他的著作《对消与还原》（拉丁文译本），重点论述解方程，该书传入欧洲后，到14世纪，演变为拉丁语“algebra”，这就成了今天英文“algebra”（代数）一词的来源，因此花拉子米的这一著作也称为《代数学》． 《代数学》一书，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及图解法．书中记载的图解法：形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法如下：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3”． 任务： （1）根据学过的一元二次方程的一般代数解法，求解方程：x2﹣4x+1＝0． （2）若按上述图解法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为72，则图中阴影小矩形的宽为　 ，该方程的正数解为　 　 ． 第2天 2．阅读与思考 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形” 例题分析：如图，在正方形ABCD中，M为AD边上一点（不与A，D重合），连接BM，过点A作AN⊥BM于点O，交CD于点N，连接MN，BN．求证：四边形ABNM是“神奇四边形”． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD（依据1），∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°． ∴∠BAO+∠DAN＝90°． ∵BM⊥AN， ∴∠AOB＝90°． ∴∠BAO+∠ABM＝90°（依据2）． … 任务： （1）下列选项中一定是“神奇四边形”的是　 　 ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）①例题分析中的依据1和依据2分别是什么？ 依据1：　 　 ， 依据2：　 　 ； ②补全上述证明过程； （3）在上述例题分析中，若四边形ABNM的面积为29cm2正方形的边长为7cm，则MN的长为　 　cm． 第3天 3．阅读下列材料，完成文后任务： 我们知道，a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2都称为完全平方式，通常把一个二项式加上某一项后使之成为完全平方式的方法称为配方法，利用配方法不仅可以解一元二次方程，还有其他方面的应用． 例如：若m2+2m+n2﹣4n+5＝0，求m和n的值． 解：由已知得，m2+2m+1+n2﹣4n+4＝0， ∴（m+1）2+（n﹣2）2＝0， ∴m+1＝0，n﹣2＝0， ∴m＝﹣1，n＝2． 又如：求代数式y2+6y+1的最小值． 解y2+6y+1＝y2+6y+9﹣8＝（y+3）2﹣8， （y+3）2≥0， ∴（y+3）2﹣8≥﹣8， 代数式y2+6y+1的最小值为﹣8． 任务： （1）已知x2+5y2﹣4xy+2y+1＝0，求x和y的值． （2）求代数式m2+m+2的最小值． 第4天 4．阅读与思考． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线也会交于一点吗？若能，怎样证明？若不能，它们会围成怎样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．理由如下： 如图1，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD的平分线交于点O，过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，OH⊥DA于点H． 由角平分线的性质可知：OE＝OH，OE＝OF，OF＝OG． ∴OH＝OG．∴点O在∠ADC的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的角平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形，勤奋小组用下面过程说明理由． 如图2，四边形ABCD的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． 求证：∠BQC+∠AND＝180． 证明：∵AN，DN分别平分∠BAD和∠ADC，∴∠NAD∠BAD，∠NDA∠ADC．… 任务： （1）材料中的依据为　 ； （2）在我们学习过的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是　 ；（写出一种四边形的名称即可） （3）请将勤奋小组的证明过程补充完整； （4）已知四边形ABCD是矩形，AD＞AB，∠ABC和∠BCD的平分线相交于点P（点P在矩形ABCD内），请分别在图3和图4中用不同的方法作出它的四个内角的平分线围成的四边形MNPQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母．） 第5天 5．阅读材料 我们都知道a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2． 于是，﹣2x2+40x+5＝﹣2（x2﹣20x）+5 ＝﹣2（x2﹣2•x•10+102﹣102）+5 ＝﹣2[（x﹣10）2﹣100]+5 ＝﹣2（x﹣10）2+205 又因为a2≥0，所以，（x﹣10）2≥0，﹣2（x﹣10）2≤0，﹣2（x﹣10）2+205≤205． 所以，﹣2x2+40x+5有最大值205． 为了美化校园环境，学校开展劳动实践与绿化美化活动．同学们打算在校园的空地上，用长30米的竹篱笆围出长方形花圃ABCD，同时还要在花圃旁打造一个边长为3米的正方形小水池CEFG（其中一边利用校园的围墙）．设AB＝x米． （1）请用含x的表达式表示BC的长（直接写出结果）； （2）设花卉种植范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S； （3）求出花卉种植范围面积S的最大值． 第6天 6．阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“邻对等四边形”的研究报告 勤学小组 研究对象：邻对等四边形． 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究． 定义：有一组邻角相等且对角线相等的四边形叫做邻对等四边形． 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，连接AC，BD，且AC＝BD，则四边形ABCD是一个邻对等四边形． 性质探究： 性质1：对角线相等，即AC＝BD． 性质2：有一组邻角相等，即∠ABC＝∠BCD． 性质3：在图1中，若AB＞CD，则∠BAC与∠BDC互补． 下面是性质3的探究过程：如图2，延长CD至点E，使得CE＝BA，连接BE． … 任务： （1）根据邻对等四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是邻对等四边形的是 　 　 （从下列选项中选出两个）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 （2）请你阅读上述报告，补全性质3的探究过程． （3）如图3，已知△ABC，∠C＞∠B＞∠A，请你在图3中作一个邻对等四边形ABCD，使得点D在AC的上方．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 第7天 7．阅读与思考 下面是数学爱好者小宇学了三角形相似后推导常用结论的手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 射影定理数学结论：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD•BD． 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高． 求证：CD2＝AD•BD． 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． ∵∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD（依据1）， ∴（依据2）， ∴CD2＝AD•BD． 任务： （1）材料中依据1是　 　 ；依据2是　 　 ． （2）如图2，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD，DC上的动点，连接AF，BE交于点H．若AF⊥BE，EH＝2，AH＝4，求HF的长． 第8天 8．阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 中方四边形定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 根据中方四边形的定义可知，对角线互相垂直且相等的四边形是中方四边形．下面是这个结论的证明过程： 已知：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝BD，AC⊥BD． 求证：四边形ABCD为中方四边形． 证明：如图1，分别取AB，BC，CD，AD的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，EH与AC交于点P，EF与BD交于点Q． 则EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，EHBD，EFAC． ∴EH∥FG，EF∥HG．∴四边形EFGH为平行四边形． ∵AC＝BD，∴EH＝EF．∴四边形EFGH为菱形．… 任务： （1）下列四边形中，一定是中方四边形的是　 　． A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）请补全材料中的证明过程． （3）如图2，已知△ABC为锐角三角形，分别以AB，AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG．连接BE，CG，EG，试证明四边形BCGE为中方四边形． 第9天 9．下面是劲风小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，完成相应的任务． 关于“网格中的神奇三角形”的研究报告 劲风小组 【研究对象】网格中的神奇三角形 【研究方向】探究网格中神奇三角形的面积、角度、全等或相似关系 【研究思路】探究网格中全等或相似三角形的判定条件，通过对应边、角关系解决问题． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明 【一般概念】 网格中有一类格点三角形，它们的三边之比为，我们称这类格点三角形为“神奇三角形”． 【揭示性质】 性质：最大的内角为135° 【推导证明】 如图①，已知网格中的格点△ABC是神奇三角形，求证：∠BAC＝135°． 证明：如图②，作一个神奇△ABD… 【理解图形】 问题：如图③在6×6的正方形网格中，已有线段AB，以AB为公共边，画两个神奇△ABC和△ABD，设△ABC与△ABD的相似比为k（k＞1），按k的值不同画出2种不同于图②的图形． （1）请将上面【推导证明】部分的证明过程补充完整； （2）请在图③完成【理解图形】提出的画图； （3）如图④，请在5×5的正方形网格中画出面积最大的神奇三角形． 第10天 10．请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理 角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC并交BC于点D，则．下面是这个定理的证明过程． 方法1：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E． ∵CE∥AD， ∴（依据），∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴． 方法2：如图③，过点C作CF∥AB，交AD的延长线于点F… 任务： （1）填空：方法1中的依据是　 　 ； （2）请按照上面的证明思路，补充方法2证明的剩余部分； （3）如图④，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，求AD的长． 第11天 11．阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式2x2+4x+5的最值． 解：2x2+4x+5＝（2x2+4x）+5＝2（x2+2x）+5＝2（x2+2x+1）+5﹣2＝2（x+1）2+3． ∵（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2+3≥3． ∴代数式2x2+4x+5的最小值为3． （1）以上解答过程，主要体现的数学思想是　 　 ； A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 （2）已知4x2+20x﹣1＝4（x+a）2+b，则a的值为　 ，b的值为　 　 ； （3）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值． 第12天 12．阅读与思考 用构图法解关于一元二次方程的解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35．然后画四个长为x+2，宽为x的矩形．按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2．还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144．据此易得原方程的一个正数根为x＝5． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，解方程x2﹣3x﹣10＝0，填写下面横线上的内容． 解：∵应构造面积是（x+x﹣3）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为x（x﹣3）＝10，中间的小正方形面积为32． ∴大正方形的面积为　 　． ∴大正方形的边长为　 　 ． ∴正数x＝　 　 ． 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正确构图是　 　（从序号①②③中选择）． （2）一般地对于形如：x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图（2）是由4个宽为x，长为x+a，这4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，求a，b，并求出正数x的值． 第13天 13．阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 作三角形的内接正方形 定义：如果一个正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形叫做这个三角形的内接正方形． 那么如何作一个三角形的内接正方形呢？如图1，作△ABC的内接正方形．可以用下面的方法：第一步：如图2，过点A作AD⊥BC于点D． 第二步：延长BC到点E，使得CE＝BD，连接AE． 第三步：作∠ADE的平分线，交AE于点F． 第四步：过点F作FG⊥AD于点G，交AC于点P，延长FG交AB于点Q． 第五步：过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N． 则四边形PQMN为△ABC的内接正方形． 下面证明这种作法的合理性，即证明四边形PQMN为正方形． 证明：∵AD⊥BC，PG⊥AD，PN⊥BC， ∴∠ADC＝∠DGP＝∠DNP＝90°． ∴四边形PGDN为矩形（依据）． ∴PQ∥BC，GD＝PN，∠QPN＝90°． … 任务： （1）填空：材料中的“依据”是指　 　 ． （2）补全材料中的证明过程． （3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°．直接写出Rt△ABC内接正方形的个数及对应的边长． 第14天 14．阅读与理解 下面是一篇数学科普读物的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 有趣的单尺作图 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形ABCD中，点E是AD边上的一点．现要用单尺作图，在DC边上求作一点F，使DF＝DE．作法如下： 如图2，第1步：连接BD；第2步：连接CE交BD于点P；第3步：作射线AP交CD于点F．点F即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形ABCD关于对角线BD所在直线对称，所求作的点F与点E也关于直线BD对称，由此可自然得到上述作法… 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）类比操作：如图3，点E是菱形ABCD边AD上的一点，连接BE．求作∠CBG，使∠CBG＝∠ABE，且点G在CD边上； （2）拓展探究：①如图4，点E是菱形ABCD边AD上的一点．求作BC边上的点H，使CH＝AE； ②如图5，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2AD，∠ABC的平分线交边CD于点N．求作线段BN的中点P． 第4天 15．阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数a，b，c又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数a，b，c之间满足的关系式是b2＝4ac． ②当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个根为m，则另一个根为2m． 根据题意，得a（x﹣m）（x﹣2m）＝0，即ax2﹣3max+2m2a＝0．， ∴ax2﹣3max+2m2a＝ax2+bx+c．∴b＝﹣3ma，c＝2m2a．∴． 把代入b2＝9m2a2，得．∴当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是2b2＝9ac． ③当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是什么？… 任务： （1）请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式． （2）请直接写出当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式． 第16天 16．阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 2024年×月×日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是①　 　 ； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC，发现∠ACB＝∠ACD． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 任务： （1）上述材料中，序号“①”处所对应的内容为：　 　 ； （2）补全材料中命题的证明过程； （3）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，S四边形ABCD＝36，请直接写出AC的值． 17．阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：…． 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理：　 　 ； （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法） 第18天 18．阅读与思考 如表是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于一些二元二次方程组解法的研究报告 善思小组 研究对象：二元二次方程组 研究思路：先明晰定义，然后探索其解法．类比之前解二元一次方程组、一元二次方程的思路探究，尝试将其通过消元、降次转化为已学过的方程（或方程组）． 研究内容： 【明晰定义】满足以下四个条件的方程组叫做二元二次方程组：①共有两个方程：②含有两个未知数；③含有未知数的项的最高次数为2；④方程组中各方程都是整式方程． 如，或等． 【解法探究】尝试求解一些特殊的二元二次方程组． 例如：解方程组： 解：由②，得y＝9﹣x．③运用了 　 　 消元法，实现将二元方程转化为一元方程． 将③代入①，得x（9﹣x）＝20， 解这个方程，得x1＝4，x2＝5． 将它们分别代入③，得y1＝5，y2＝4． 所以原方程组的解是，． … 任务： （1）直接写出研究报告中“横线”处空缺的内容； （2）请尝试解二元二次方程组：． 第19天 19．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x．把代入已知方程，得， 化简，得y2+2y﹣4＝0， 故所求方程为y2+2y﹣4＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： （1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为　 　 ． （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，请直接写出关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的两根． 第20天 20．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务． 探究利用函数图象解一元二次方程 我们知道，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，在求抛物线与x轴的交点坐标时，令ax2+bx+c＝0（a≠0），得到对应的一元二次方程． 当方程有两个不相等的实数根时，对应的抛物线与x轴会有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与x轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与x轴没有交点．综上所述，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，对应的就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的位置关系．若ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，则实数根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标． 反之，我们可以利用二次函数的图象与x轴的交点坐标，求其对应的一元二次方程的根． 我还发现，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根可以看作一条抛物线与一条直线交点的横坐标，如一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根可以看作抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点的横坐标．理由如下：如图，画出抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x．由图象可知，抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点坐标分别为（﹣1，﹣2），（3，6）． 任务： （1）上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是　 ．（从下面选项中选出两个即可） A．分类讨论思想 B．统计思想 C．数形结合思想 D．转化思想 （2）请补全小宣的推理过程． （3）一元二次方程2x2+x＝3的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是　 　 ，直线对应的函数解析式是　 　 ． 第21天 21．阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程ax2+bx+c＝0（abc≠0）中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程x2+9x+3＝0就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于x的一元二次方程2x2+bx+5＝0是“相似系”一元二次方程，则b＝▲． 【问题2】若关于x的方程x2+bx+c＝0为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为x＝﹣1，求出c的值． 解：∵方程为“相似系”一元二次方程， ∴c2＝b， … 任务： （1）问题1中，“▲”应填写 　 　 ． （2）补全问题2中剩余部分的解答过程． （3）已知Rt△ABC（∠C＝90°）的三边分别是AB＝c，BC＝a，AC＝b，且关于x的方程为“相似系”一元二次方程．求证：∠A＝∠B． 第22天 22．阅读与思考 下面是小雨同学的数学学习笔记的部分内容，请认真阅读，并完成后面的任务． “k倍点” 【概念理解】 如果在抛物线上存在一点P，使它的纵坐标是横坐标的k倍，那么我们把这样的点P称为“k倍点”．例如，抛物线y＝3x2的“3倍点”为（1，3）或（0，0）． 【问题提出】 问题1：抛物线y＝x2+x的“2倍点”（原点除外）的坐标为▲． 问题2：若抛物线y＝（m﹣1）x2+mxm上有两个不同的“3倍点”，求m的取值范围． 【问题解答】 解：设该抛物线上的“3倍点”为（x，3x），则有3x＝（m﹣1）x2+mxm，即（m﹣1）x2+（m﹣3）xm＝0． ∵该抛物线有两个不同的“3倍点”， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， ∴ 任务： （1）问题1中，“▲”处应填写　 　 ． （2）补全问题2中剩余的解答过程． （3）若抛物线仅有一个“k倍点”，求k的值． 第23天 23．阅读与理解 用图形面积认识一元二次方程的求根公式 我国著名数学家华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，两者之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．我们知道，初中数学有很多代数恒等式可以用图形面积来解释，如：用边长为a的正方形面积表示代数式a2，用边长为a的正方形和长、宽分别为a，b的矩形拼成一个长、宽分别为（a+b），a的矩形，面积可表示为a2+ab＝a（a+b）等．在此基础上建立数和形的联系，构造代数问题的直观模型，使抽象的数学知识直观化． 以配方法解一元二次方程x2+nx＝m为例进行分析： ①如图1，可将该方程转化为一个边长为x的正方形和一个长、宽分别为x，n的矩形，它们的面积和为m； ②如图2，将图1中的矩形沿虚线剪开得到两个全等的小矩形，这两个小矩形的长、宽分别为x，； ③如图3，将图2中的两个小矩形分别放到正方形的右侧和上方，拼成一个缺角图形； ④如图4，在图3的右上角上补一个边长为的小正方形，得到边长为的大正方形． 由以上拼图分析可得：在图4中，拼接部分的面积为m，补缺部分的面积为． 根据图形面积关系，得… 任务： （1）请完成数学论文中的剩余部分． （2）若用此方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0，则需要构造一个边长为　 　的正方形和一个长、宽分别为 　 、　 的矩形，它们的面积和为 　 ，先将该矩形剪切成两个全等的小矩形后分别放在正方形的右侧和上方拼成一个缺角图形，再在此缺角处补一个边长为 　 的小正方形，得到一个边长为的 　 大正方形． 第24天 24．阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程x（x+4）＝6． 解：原方程变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6． 由平方差公式，得（x+2）2﹣22＝6． 移项，得（x+2）2＝6+22，即（x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5的过程． 解：原方程变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5． 由平方差公式，得（x+a）2﹣b2＝5． 移项，得（x+a）2＝5+b2． 直接开平方并整理，得x1＝c，x2＝d（c＞d）． 任务： （1）上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5． 第25天 25．阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的30cm的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为xcm，纸箱的底面积为 S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． 任务： （1）当x＝　 　 cm时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为 　 　 cm3． （2）请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． （3）在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）由题意，∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2﹣4x＝﹣1． ∴x2﹣4x+4＝3． ∴（x﹣2）2＝3． ∴x﹣2＝±． ∴x＝2． ∴x＝2或x＝2； （2）由题意，∵x2+6x+m＝0， ∴x2+6x＝﹣m， ∵阴影部分的面积为72， ∴x2+6x＝72， 设4a＝6， 则a， ∴此时图中阴影小矩形的宽为；同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为72+（）2×4＝72+9＝81，则该方程的正数解为9﹣3＝6， 故答案为：；6． 2．【解答】解：（1）平行四边形的对角线互相平分； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的对角线互相垂直且平分； 正方形的对角线互相平分、垂直且相等； 由“神奇四边形”的定义可知正方形为“神奇四边形”． 故答案为：D； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD（正方形的四条边相等），∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°． ∴∠BAO+∠DAN＝90°． ∵BM⊥AN， ∴∠AOB＝90°． ∴∠BAO+∠ABM＝90°（直角三角形的两个锐角互余）， ②补全上述证明过程为： ∴∠DAN＝∠ABM． ∴△DAN≌△ABM（ASA）． ∴AN＝BM． ∴四边形ABNM是“神奇四边形”； 故答案为：正方形的四条边相等；直角三角形的两个锐角互余； （3）∵四边形ABNM是“神奇四边形”，且四边形ABNM的面积为29cm2， ∴，∴AN2＝58． ∵正方形的边长为7cm，∴AD＝7cm． ∴． 由①可知：△DAN≌△ABM， ∴AM＝DN＝3cm． ∴DM＝7﹣3＝4cm． ∴． 故答案为：5． 3．【解答】解：（1）原方程分组得：（x2﹣4xy+4y2）+（y2+2y+1）＝0， 分解因式得：（x﹣2y）2+（y+1）2＝0， 可得：（x﹣2y）2＝0，（y+1）2＝0， ∴x﹣2y＝0，y+1＝0， 解得：x＝﹣2，y＝﹣1； （2）m2+m+2 ， ∴， ∴的最小值是． 4．【解答】解：（1）四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD的平分线交于点O，过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，OH⊥DA于点H． 由角平分线的性质可知：OE＝OH，OE＝OF，OF＝OG． ∴OH＝OG． ∴点O在∠ADC的平分线上．（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； （2）根据题意可知，四个内角的平分线交于一点的是菱形或正方形； 故答案为：菱形（或正方形）； （3）在△AND中，∠NAD+∠NDA+∠AND＝180°， ∴∠AND＝180°﹣∠NAD﹣∠NDA ， 同理，， ∵∠BAD+∠ADC+∠DCB+∠ABC＝360°， ∴ ； （4）分别在图3和图4中用不同的方法作出它的四个内角的平分线围成的四边形MNPQ，如图图3和图4： 1．以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，连接AE，AE交BP于点N， 2．以点C为圆心，CD为半径画弧交BC于点F，连接DF，DF交AE于点M，交CP于点Q， 则四边形MNPQ为所画的四边形．如图3： 作∠BAD和∠ADC的平分线，两线相交于M，连接AM，交BP于点N，交CP于点Q， 则四边形MNPQ为所画的四边形．如图4． 5．【解答】解：（1）设AB＝x米， ∵用长30米的竹篱笆围出长方形花圃ABCD， ∴用含x的表达式表示BC的长：BC＝（30﹣2x）米； （2）长方形花圃面积为x（30﹣2x）平方米，正方形小水池面积为3×3＝9平方米， 所以阴影部分面积S＝x（30﹣2x）﹣9＝﹣2x2+30x﹣9平方米； （3）S＝﹣2（x2﹣15x）﹣9 因为﹣2＜0， 所以当时，S有最大值，最大值为（平方米）． 6．【解答】（1）解：∵矩形和正方形的四个内角都是直角，且对角线都相等， ∴A，C选项一定都是邻对等四边形， ∵菱形和平行四边形的对角线不一定相等， ∴B，D选项不一定是邻对等四边形， 故答案为：AC； （2）证明：如图2，延长CD至点E，使得CE＝BA，连接BE， 在△ECB和△ABC中， ， ∴△ECB≌△ABC（SAS）， ∴BE＝AC，∠E＝∠BAC， ∵AC＝BD， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠BDE＝∠BAC， 又∵∠BDE+∠BDC＝180°， ∴∠BAC+∠BDC＝180°， ∴∠BAC与∠BDC互补； （3）解：邻对等四边形ABCD，如图3即为所求． 7．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． ∵∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD（两角相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）， ∴CD2＝AD•BD， 故答案为：两角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例； （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD． ∵AH⊥BE， ∴由（1）得AH2＝EH•BH， ∴42＝2BH， ∴BH＝8， ∴BE＝BH+EH＝10． ∵AH⊥BE， ∴∠AHE＝90°， ∴∠DAF+∠AEH＝90°， ∵∠D＝90°， ∴∠DAF+∠DFA＝90°， ∴∠AEH＝∠DFA． 又∵∠D＝∠BAE＝90°，AD＝AB， ∴△DAF≌△ABE（AAS）， ∴AF＝BE＝10， ∴HF＝AF﹣AH＝10﹣4＝6， 即HF的长为6． 8．【解答】（1）解：平行四边形的“中点四边形”为平行四边形； 矩形的“中点四边形”为菱形； 菱形的“中点四边形”为矩形； 正方形的“中点四边形”为正方形， 依据“中点四边形”的定义可知，一定是中方四边形的是正方形， 故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故答案为：D； （2）证明：如图1，分别取AB，BC，CD，AD的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，EH，EH与AC交于点P，EF与BD交于点Q， 则EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，，， ∴EH∥FG，EF∥HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AC＝BD， ∴EH＝EF， ∴四边形EFGH为菱形． ∵EH∥BD，EF∥AC， ∴四边形EQOP为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴四边形EQOP为矩形， ∴∠FEH＝90°， ∴菱形EFGH为正方形， ∴四边形ABCD为中方四边形； （3）证明：如图2，四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，连接CE，BG交于点M，CE交AB于点N， ∴AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝90°，∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠EAC＝∠BAG， 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴∠AEC＝∠ABG，CE＝BG， 又∵∠ANE＝∠BNM， ∴∠BMN＝∠BAE＝90°， ∴CE⊥BG， 由（1）可知，四边形BCGE为中方四边形． 9．【解答】（1）证明：如图1， 延长CA，过格点D，连接BD， ∵BD＝AD，∠D＝90°， ∴∠DAB＝∠ABD＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝135°； （2）解：如图③， 在△ABD中：BD：AB：AD， 在△ABC中：AB：BC：AC， k； （3）解：如图④， AEF：FG：EG， △EFG是符合条件的最大神奇三角形． 10．【解答】（1）解：方法1中的依据为平行线分线段成比例， 故答案为：平行线分线段成比例； （2）证明：∵AB∥CF， ∴∠BAD＝∠F，∠B＝∠DCF， ∴△ADB∽△FDC， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠F＝∠CAD， ∴AC＝CF， ∴； （3）解：Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，∠ABC＝90°， 由勾股定理得：AC15， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意）， 在Rt△ABD中，AB＝9，，∠ABD＝90°， 由勾股定理得：． 11．【解答】解：（1）根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想， 故选：B； （2）原式＝4（x+a）2+b＝4x2+8ax+4a2+b， ∴8a＝20，4a2+b＝﹣1， 解得：，b＝﹣26； （3）原式＝﹣（a2﹣6a）﹣4＝﹣（a﹣3）2+5， ∵（a﹣3）2≥0， ∴﹣（a﹣3）2≤0， ∴﹣（a﹣3）2+5≤5， ∴代数式＝﹣a2+6a﹣4的最大值为5． 12．【解答】解：（1）∵应构造面积是（x+x﹣3）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为x（x﹣3）＝10，中间的小正方形面积为32， ∴大正方形的面积为4×10+32＝49， ∴大正方形的边长为7， 所以x+x﹣3＝7， ∴正数x＝5， 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正确构图是②； 故答案为：4×10+32＝49，7，5，②； （2）如图（2）， 由题意得：4x（x+a）＝12，x+a﹣x＝2， ∴a＝2，x1＝﹣3（舍），x2＝1， ∵x2+ax＝b， ∴b＝1+2×1＝3． 13．【解答】（1）解：材料中的“依据”是指有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案为：有三个角是直角的四边形是矩形； （2）证明：∵AD⊥BC，PG⊥AD，PN⊥BC， ∴∠ADC＝∠DGP＝∠DNP＝90°， ∴四边形PGDN为矩形， ∴PQ∥BC，GD＝PN，∠QPN＝90°， ∴△AFG∽△AED，△AQP∽ABC，∠GFD＝∠NDF， ∴，， ∴， ∵CE＝BD， ∴CE+DC＝BD+DC，即DE＝BC， ∴FG＝PQ． ∵DF是∠ADE的平分线， ∴∠NDF＝∠GDF， ∴∠GDF＝∠GFD， ∴FG＝GD＝PQ， ∴PQ＝PN． ∵QM⊥BC， ∴∠QMN＝90°， ∴∠QMN＝∠DNP＝∠QPN＝90°， ∴四边形PQMN为矩形， ∵PQ＝PN， ∴四边形PQMN为正方形； （3）解：Rt△ABC内接正方形的个数为2，边长分别为和．理由如下： 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°， 由勾股定理得：． 由题意得，Rt△ABC的内接正方形有两种情况： 第一种情况：正方形的一边在BC上， 根据材料构造方法，同理（2）可得出此正方形， ∵AD⊥BC， ∴， 由（2）可知△AQP∽ABC，由材料可知GD＝PN， ∴， 设正方形边长为x，则GD＝PN＝QP＝x，， ∴， 解得：； 第二种情况：正方形的一边在AB上，如图4， 在BC上取点F，使FD⊥AB且FD＝AD， ∴△ADF为等腰直角三角形， ∴∠BAF＝45°，． ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣∠BAF＝45°． 过点F作FE⊥AC，则∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝90°﹣∠CAF＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴， ∴AD＝FD＝AE＝EF． 又∵∠DAE＝90°， ∴四边形ADFE为正方形， ∴EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴． 设正方形ADFE的边长为y，则AE＝EF＝y，CE＝3﹣y， ∴， 解得：． 综上所述，Rt△ABC内接正方形的个数为2，边长分别为和． 14．【解答】解：（1）1．理解BD，CE交于点O， 2．连接AO并延长交CD于点G， 3．连接BG，如图， 则∠CBG＝∠ABE，∠CBG为所求； （2）①1．连接AC，BD交于点O， 2．连接EO并延长交CC于点H，如图， 则点H为所求； ②1．连接BN，AD，交于点E， 2．连接AC交BN于点O， 3．连接DO并延长交BC于点F， 4．连接AF交BN于点P，如图， 则点P为线段BN的中点． 15．【解答】解：（1）设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个根为m，则另一个根为3m． 根据题意，得a（x﹣m）（x﹣3m）＝0，即ax2﹣4max+3m2a＝0． ∴ax2﹣4max+3m2a＝ax2+bx+c． ∴b＝﹣4ma，c＝3m2a． ∴． 把代入b2＝16m2a2，得． ∴当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是3b2＝16ac； （2）设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个根为m，则另一个根为mn． 根据题意，得a（x﹣m）（x﹣mn）＝0，即ax2﹣（n+1）max+m2na＝0． ∴ax2﹣（n+1）max+m2na＝ax2+bx+c． ∴b＝﹣（n+1）ma，c＝m2na． ∴． 把代入b2＝（n+1）2m2a2，得． ∴当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是nb2＝（n+1）2ac． 16．【解答】（1）解：在梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这五个图形中，只有正方形符合邻等对补四边形的定义， 故答案为：正方形． （2）证明：如图1，作AF⊥CB于点F，AE⊥CD交CD的延长线于点E，则∠AFB＝∠E＝90°， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（AAS）， ∴AF＝AE， ∴点A在∠BCD的平分线上， ∴CA平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD． （2）解：AC的值为6． 理由：如图2，作AQ⊥CB于点Q，AP⊥CD交CD的延长线于P，则∠AQB＝∠P＝90°， ∵∠DAB＝∠DCB＝90°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴CA平分∠BCD， ∴AQ＝AP， 在Rt△ABQ和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ABQ≌Rt△ADP（HL）， ∴S△ABQ＝S△ADP， ∵∠AQC＝∠QCP＝∠P＝90°， ∴四边形APCQ是矩形， ∵AQ＝AP， ∴四边形APCQ是正方形， ∵S四边形ABCD＝36， ∴S正方形APCQ＝S△ADP+S四边形ADCQ＝S△ABQ+S四边形ADCQ＝S四边形ABCD＝36， ∴AP2＝36， ∵∠P＝90°，AP＝PC， ∴AC6， ∴AC的值为6． 17．【解答】（1）解：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形； （2）证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （3）解：工人师傅利用卷尺测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；然后再量一下对角线的长度，两条临边的平方和等于对角线的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形为矩形）． 18．【解答】解：（1）由②，得y＝9﹣x．③运用了代入消元法，实现将二元方程转化为一元方程； 故答案为：代入； （2） 由②得，y＝2﹣x③， 将③代入①中，得2x2﹣（2﹣x）＝1， 解得x1＝1，， 将它们分别代入③，得y1＝1，， 所以，原方程组的解是或． 19．【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 由条件可得：y2+3y﹣2＝0， 故答案为：y2+3y﹣2＝0； （2）设所求方程的根为y，则，于是， 由条件可得， 去分母，得a+by+cy2＝0， 若c＝0，有ax2+bx＝0， 那么方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不合题意， ∴c≠0， 故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0）； （3）根据题意可得y+1＝x， ∴y+1＝3或y+1＝﹣2， 解得y＝2或y＝﹣3， 所以关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的两根为y＝2或y＝﹣3． 20．【解答】解：（1）上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是数形结合思想和转化思想． 故答案为：CD； （2）抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点的横坐标为（﹣1，0）（3，0）， ∴一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3． （3）一元二次方程2x2+x＝3的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是y＝2x2﹣3，直线对应的函数解析式是y＝﹣x．还可以有其他的写法，如这条抛物线对应的函数解析式是y＝2x2，直线对应的函数解析式是y＝3﹣x；这条抛物线对应的函数解析式是y＝2x2+x，直线对应的函数解析式是y＝3．故答案不唯一． 故答案为：y＝2x2﹣3，y＝﹣x． 21．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程2x2+bx+5＝0是“相似系”一元二次方程， ∴52＝2b． ∴b， 故答案为：； （2）∵x＝﹣1是方程的一个根， ∴1﹣b+c＝0， ∴b＝c+1， ∵关于x的方程x2+bx+c＝0为“相似系”一元二次方程， ∴c2＝b＝c+1， 整理得c2﹣c﹣1＝0， 解得c1，c2 c的值为或； （3）证明：∵方程为“相似系”一元二次方程， ∴c2＝2ab． 在Rt△ABC中，由勾股定理得c2＝a2+b2 ∴a2+b2＝2ab， ∴（a﹣b）2＝0， ∴a＝b， ∴∠A＝∠B． 22．【解答】解：（1）由题可知x2+x＝2x， 解得x＝0（舍去）或x＝1， 将x＝1代入得y＝2， ∴抛物线y＝x2+x的“2倍点”（原点除外）的坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； （2）由整理得， ﹣5m+9＞0， 解得， 又∵m﹣1≠0，即m≠1， ∴m的取值范围为且m≠1； （3）∵是抛物线， ∴k≠0， 设抛物线的“k倍点”坐标为（x，kx）， ∵点 （x，kx） 在抛物线上， ∴． 整理得（2﹣k）x+k＝0． ∵抛物线仅有一个“k倍点”， ∴一元二次方程x2+（2﹣k）x+k＝0有两个相等的实数根， ∴， 解得k＝1． 23．【解答】解：（1）， ∴， ∴． （2）方程变形得 ， ∴构造一个边长为x的正方形，长宽分别为x、的矩形，它们的面积和为，在缺角处不一个边长为的小正方形，得到一个边长为的大正方形． 故答案为：x，x（或），（或x），，，． 24．【解答】解：（1）由题知， 方程（x+3）（x+7）＝5可变形为： [（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5， 由平方差公式，得（x+5）2﹣22＝5， 移项，得（x+5）2＝5+22，即（x+5）2＝9， 直接开平方并整理，得x1＝﹣2，x2＝﹣8， 所以a＝5，b＝2，c＝﹣2，d＝﹣8． 故答案为：5，2，﹣2，﹣8． （2）由题知， 方程（x﹣5）（x+3）＝5可变形为： [（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5， 由平方差公式，得（x﹣1）2﹣42＝5， 移项，得（x﹣1）2＝5+42，即（x﹣1）2＝21， 直接开平方并整理，得． 25．【解答】解：（1）由图象可得，当x＝5cm时，V最大，且最大值为2000cm3， 故答案为：5；2000； （2）依题意得，S＝（30﹣2x）2＝4x2﹣120x+900， 且x满足0＜x＜15； （3）在解决生活中的问题时，经常用到数学中函数的解题思想（答案不唯一）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/1 19:25:01；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西数学特色题培优——阅读与思考专练 第1天 1．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 花拉子米与《代数学》 中亚细亚数学家阿尔•花拉子米（约780﹣约850）是对欧洲数学影响最大的数学家之一，他的著作《对消与还原》（拉丁文译本），重点论述解方程，该书传入欧洲后，到14世纪，演变为拉丁语“algebra”，这就成了今天英文“algebra”（代数）一词的来源，因此花拉子米的这一著作也称为《代数学》． 《代数学》一书，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及图解法．书中记载的图解法：形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法如下：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3”． 任务： （1）根据学过的一元二次方程的一般代数解法，求解方程：x2﹣4x+1＝0． （2）若按上述图解法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为72，则图中阴影小矩形的宽为　 ，该方程的正数解为　 　 ． 第2天 2．阅读与思考 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形” 例题分析：如图，在正方形ABCD中，M为AD边上一点（不与A，D重合），连接BM，过点A作AN⊥BM于点O，交CD于点N，连接MN，BN．求证：四边形ABNM是“神奇四边形”． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD（依据1），∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°． ∴∠BAO+∠DAN＝90°． ∵BM⊥AN， ∴∠AOB＝90°． ∴∠BAO+∠ABM＝90°（依据2）． … 任务： （1）下列选项中一定是“神奇四边形”的是　 　 ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）①例题分析中的依据1和依据2分别是什么？ 依据1：　 　 ， 依据2：　 　 ； ②补全上述证明过程； （3）在上述例题分析中，若四边形ABNM的面积为29cm2正方形的边长为7cm，则MN的长为　 　cm． 第3天 3．阅读下列材料，完成文后任务： 我们知道，a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2都称为完全平方式，通常把一个二项式加上某一项后使之成为完全平方式的方法称为配方法，利用配方法不仅可以解一元二次方程，还有其他方面的应用． 例如：若m2+2m+n2﹣4n+5＝0，求m和n的值． 解：由已知得，m2+2m+1+n2﹣4n+4＝0， ∴（m+1）2+（n﹣2）2＝0， ∴m+1＝0，n﹣2＝0， ∴m＝﹣1，n＝2． 又如：求代数式y2+6y+1的最小值． 解y2+6y+1＝y2+6y+9﹣8＝（y+3）2﹣8， （y+3）2≥0， ∴（y+3）2﹣8≥﹣8， 代数式y2+6y+1的最小值为﹣8． 任务： （1）已知x2+5y2﹣4xy+2y+1＝0，求x和y的值． （2）求代数式m2+m+2的最小值． 第4天 4．阅读与思考． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线也会交于一点吗？若能，怎样证明？若不能，它们会围成怎样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．理由如下： 如图1，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD的平分线交于点O，过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，OH⊥DA于点H． 由角平分线的性质可知：OE＝OH，OE＝OF，OF＝OG． ∴OH＝OG．∴点O在∠ADC的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的角平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形，勤奋小组用下面过程说明理由． 如图2，四边形ABCD的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． 求证：∠BQC+∠AND＝180． 证明：∵AN，DN分别平分∠BAD和∠ADC，∴∠NAD∠BAD，∠NDA∠ADC．… 任务： （1）材料中的依据为　 ； （2）在我们学习过的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是　 ；（写出一种四边形的名称即可） （3）请将勤奋小组的证明过程补充完整； （4）已知四边形ABCD是矩形，AD＞AB，∠ABC和∠BCD的平分线相交于点P（点P在矩形ABCD内），请分别在图3和图4中用不同的方法作出它的四个内角的平分线围成的四边形MNPQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母．） 第5天 5．阅读材料 我们都知道a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2． 于是，﹣2x2+40x+5＝﹣2（x2﹣20x）+5 ＝﹣2（x2﹣2•x•10+102﹣102）+5 ＝﹣2[（x﹣10）2﹣100]+5 ＝﹣2（x﹣10）2+205 又因为a2≥0，所以，（x﹣10）2≥0，﹣2（x﹣10）2≤0，﹣2（x﹣10）2+205≤205． 所以，﹣2x2+40x+5有最大值205． 为了美化校园环境，学校开展劳动实践与绿化美化活动．同学们打算在校园的空地上，用长30米的竹篱笆围出长方形花圃ABCD，同时还要在花圃旁打造一个边长为3米的正方形小水池CEFG（其中一边利用校园的围墙）．设AB＝x米． （1）请用含x的表达式表示BC的长（直接写出结果）； （2）设花卉种植范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S； （3）求出花卉种植范围面积S的最大值． 第6天 6．阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“邻对等四边形”的研究报告 勤学小组 研究对象：邻对等四边形． 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究． 定义：有一组邻角相等且对角线相等的四边形叫做邻对等四边形． 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，连接AC，BD，且AC＝BD，则四边形ABCD是一个邻对等四边形． 性质探究： 性质1：对角线相等，即AC＝BD． 性质2：有一组邻角相等，即∠ABC＝∠BCD． 性质3：在图1中，若AB＞CD，则∠BAC与∠BDC互补． 下面是性质3的探究过程：如图2，延长CD至点E，使得CE＝BA，连接BE． … 任务： （1）根据邻对等四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是邻对等四边形的是 　 　 （从下列选项中选出两个）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 （2）请你阅读上述报告，补全性质3的探究过程． （3）如图3，已知△ABC，∠C＞∠B＞∠A，请你在图3中作一个邻对等四边形ABCD，使得点D在AC的上方．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 第7天 7．阅读与思考 下面是数学爱好者小宇学了三角形相似后推导常用结论的手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 射影定理数学结论：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD•BD． 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高． 求证：CD2＝AD•BD． 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． ∵∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD（依据1）， ∴（依据2）， ∴CD2＝AD•BD． 任务： （1）材料中依据1是　 　 ；依据2是　 　 ． （2）如图2，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD，DC上的动点，连接AF，BE交于点H．若AF⊥BE，EH＝2，AH＝4，求HF的长． 第8天 8．阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 中方四边形定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 根据中方四边形的定义可知，对角线互相垂直且相等的四边形是中方四边形．下面是这个结论的证明过程： 已知：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝BD，AC⊥BD． 求证：四边形ABCD为中方四边形． 证明：如图1，分别取AB，BC，CD，AD的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，EH与AC交于点P，EF与BD交于点Q． 则EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，EHBD，EFAC． ∴EH∥FG，EF∥HG．∴四边形EFGH为平行四边形． ∵AC＝BD，∴EH＝EF．∴四边形EFGH为菱形．… 任务： （1）下列四边形中，一定是中方四边形的是　 　． A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）请补全材料中的证明过程． （3）如图2，已知△ABC为锐角三角形，分别以AB，AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG．连接BE，CG，EG，试证明四边形BCGE为中方四边形． 第9天 9．下面是劲风小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，完成相应的任务． 关于“网格中的神奇三角形”的研究报告 劲风小组 【研究对象】网格中的神奇三角形 【研究方向】探究网格中神奇三角形的面积、角度、全等或相似关系 【研究思路】探究网格中全等或相似三角形的判定条件，通过对应边、角关系解决问题． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明 【一般概念】 网格中有一类格点三角形，它们的三边之比为，我们称这类格点三角形为“神奇三角形”． 【揭示性质】 性质：最大的内角为135° 【推导证明】 如图①，已知网格中的格点△ABC是神奇三角形，求证：∠BAC＝135°． 证明：如图②，作一个神奇△ABD… 【理解图形】 问题：如图③在6×6的正方形网格中，已有线段AB，以AB为公共边，画两个神奇△ABC和△ABD，设△ABC与△ABD的相似比为k（k＞1），按k的值不同画出2种不同于图②的图形． （1）请将上面【推导证明】部分的证明过程补充完整； （2）请在图③完成【理解图形】提出的画图； （3）如图④，请在5×5的正方形网格中画出面积最大的神奇三角形． 第10天 10．请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理 角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC并交BC于点D，则．下面是这个定理的证明过程． 方法1：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E． ∵CE∥AD， ∴（依据），∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴． 方法2：如图③，过点C作CF∥AB，交AD的延长线于点F… 任务： （1）填空：方法1中的依据是　 　 ； （2）请按照上面的证明思路，补充方法2证明的剩余部分； （3）如图④，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，求AD的长． 第11天 11．阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式2x2+4x+5的最值． 解：2x2+4x+5＝（2x2+4x）+5＝2（x2+2x）+5＝2（x2+2x+1）+5﹣2＝2（x+1）2+3． ∵（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2+3≥3． ∴代数式2x2+4x+5的最小值为3． （1）以上解答过程，主要体现的数学思想是　 　 ； A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 （2）已知4x2+20x﹣1＝4（x+a）2+b，则a的值为　 ，b的值为　 　 ； （3）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值． 第12天 12．阅读与思考 用构图法解关于一元二次方程的解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35．然后画四个长为x+2，宽为x的矩形．按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2．还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144．据此易得原方程的一个正数根为x＝5． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，解方程x2﹣3x﹣10＝0，填写下面横线上的内容． 解：∵应构造面积是（x+x﹣3）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为x（x﹣3）＝10，中间的小正方形面积为32． ∴大正方形的面积为　 　． ∴大正方形的边长为　 　 ． ∴正数x＝　 　 ． 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正确构图是　 　（从序号①②③中选择）． （2）一般地对于形如：x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图（2）是由4个宽为x，长为x+a，这4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，求a，b，并求出正数x的值． 第13天 13．阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 作三角形的内接正方形 定义：如果一个正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形叫做这个三角形的内接正方形． 那么如何作一个三角形的内接正方形呢？如图1，作△ABC的内接正方形．可以用下面的方法：第一步：如图2，过点A作AD⊥BC于点D． 第二步：延长BC到点E，使得CE＝BD，连接AE． 第三步：作∠ADE的平分线，交AE于点F． 第四步：过点F作FG⊥AD于点G，交AC于点P，延长FG交AB于点Q． 第五步：过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N． 则四边形PQMN为△ABC的内接正方形． 下面证明这种作法的合理性，即证明四边形PQMN为正方形． 证明：∵AD⊥BC，PG⊥AD，PN⊥BC， ∴∠ADC＝∠DGP＝∠DNP＝90°． ∴四边形PGDN为矩形（依据）． ∴PQ∥BC，GD＝PN，∠QPN＝90°． … 任务： （1）填空：材料中的“依据”是指　 　 ． （2）补全材料中的证明过程． （3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°．直接写出Rt△ABC内接正方形的个数及对应的边长． 第14天 14．阅读与理解 下面是一篇数学科普读物的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 有趣的单尺作图 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形ABCD中，点E是AD边上的一点．现要用单尺作图，在DC边上求作一点F，使DF＝DE．作法如下： 如图2，第1步：连接BD；第2步：连接CE交BD于点P；第3步：作射线AP交CD于点F．点F即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形ABCD关于对角线BD所在直线对称，所求作的点F与点E也关于直线BD对称，由此可自然得到上述作法… 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）类比操作：如图3，点E是菱形ABCD边AD上的一点，连接BE．求作∠CBG，使∠CBG＝∠ABE，且点G在CD边上； （2）拓展探究：①如图4，点E是菱形ABCD边AD上的一点．求作BC边上的点H，使CH＝AE； ②如图5，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2AD，∠ABC的平分线交边CD于点N．求作线段BN的中点P． 第4天 15．阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数a，b，c又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数a，b，c之间满足的关系式是b2＝4ac． ②当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个根为m，则另一个根为2m． 根据题意，得a（x﹣m）（x﹣2m）＝0，即ax2﹣3max+2m2a＝0．， ∴ax2﹣3max+2m2a＝ax2+bx+c．∴b＝﹣3ma，c＝2m2a．∴． 把代入b2＝9m2a2，得．∴当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是2b2＝9ac． ③当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式是什么？… 任务： （1）请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式． （2）请直接写出当一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数a，b，c之间满足的关系式． 第16天 16．阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 2024年×月×日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是①　 　 ； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC，发现∠ACB＝∠ACD． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 任务： （1）上述材料中，序号“①”处所对应的内容为：　 　 ； （2）补全材料中命题的证明过程； （3）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，S四边形ABCD＝36，请直接写出AC的值． 17．阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：…． 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理：　 　 ； （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法） 第18天 18．阅读与思考 如表是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于一些二元二次方程组解法的研究报告 善思小组 研究对象：二元二次方程组 研究思路：先明晰定义，然后探索其解法．类比之前解二元一次方程组、一元二次方程的思路探究，尝试将其通过消元、降次转化为已学过的方程（或方程组）． 研究内容： 【明晰定义】满足以下四个条件的方程组叫做二元二次方程组：①共有两个方程：②含有两个未知数；③含有未知数的项的最高次数为2；④方程组中各方程都是整式方程． 如，或等． 【解法探究】尝试求解一些特殊的二元二次方程组． 例如：解方程组： 解：由②，得y＝9﹣x．③运用了 　 　 消元法，实现将二元方程转化为一元方程． 将③代入①，得x（9﹣x）＝20， 解这个方程，得x1＝4，x2＝5． 将它们分别代入③，得y1＝5，y2＝4． 所以原方程组的解是，． … 任务： （1）直接写出研究报告中“横线”处空缺的内容； （2）请尝试解二元二次方程组：． 第19天 19．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x．把代入已知方程，得， 化简，得y2+2y﹣4＝0， 故所求方程为y2+2y﹣4＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： （1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为　 　 ． （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，请直接写出关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的两根． 第20天 20．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务． 探究利用函数图象解一元二次方程 我们知道，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，在求抛物线与x轴的交点坐标时，令ax2+bx+c＝0（a≠0），得到对应的一元二次方程． 当方程有两个不相等的实数根时，对应的抛物线与x轴会有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与x轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与x轴没有交点．综上所述，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，对应的就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的位置关系．若ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，则实数根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标． 反之，我们可以利用二次函数的图象与x轴的交点坐标，求其对应的一元二次方程的根． 我还发现，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根可以看作一条抛物线与一条直线交点的横坐标，如一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根可以看作抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点的横坐标．理由如下：如图，画出抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x．由图象可知，抛物线y＝x2﹣3与直线y＝2x的交点坐标分别为（﹣1，﹣2），（3，6）． 任务： （1）上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是　 ．（从下面选项中选出两个即可） A．分类讨论思想 B．统计思想 C．数形结合思想 D．转化思想 （2）请补全小宣的推理过程． （3）一元二次方程2x2+x＝3的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是　 　 ，直线对应的函数解析式是　 　 ． 第21天 21．阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程ax2+bx+c＝0（abc≠0）中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程x2+9x+3＝0就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于x的一元二次方程2x2+bx+5＝0是“相似系”一元二次方程，则b＝▲． 【问题2】若关于x的方程x2+bx+c＝0为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为x＝﹣1，求出c的值． 解：∵方程为“相似系”一元二次方程， ∴c2＝b， … 任务： （1）问题1中，“▲”应填写 　 　 ． （2）补全问题2中剩余部分的解答过程． （3）已知Rt△ABC（∠C＝90°）的三边分别是AB＝c，BC＝a，AC＝b，且关于x的方程为“相似系”一元二次方程．求证：∠A＝∠B． 第22天 22．阅读与思考 下面是小雨同学的数学学习笔记的部分内容，请认真阅读，并完成后面的任务． “k倍点” 【概念理解】 如果在抛物线上存在一点P，使它的纵坐标是横坐标的k倍，那么我们把这样的点P称为“k倍点”．例如，抛物线y＝3x2的“3倍点”为（1，3）或（0，0）． 【问题提出】 问题1：抛物线y＝x2+x的“2倍点”（原点除外）的坐标为▲． 问题2：若抛物线y＝（m﹣1）x2+mxm上有两个不同的“3倍点”，求m的取值范围． 【问题解答】 解：设该抛物线上的“3倍点”为（x，3x），则有3x＝（m﹣1）x2+mxm，即（m﹣1）x2+（m﹣3）xm＝0． ∵该抛物线有两个不同的“3倍点”， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， ∴ 任务： （1）问题1中，“▲”处应填写　 　 ． （2）补全问题2中剩余的解答过程． （3）若抛物线仅有一个“k倍点”，求k的值． 第23天 23．阅读与理解 用图形面积认识一元二次方程的求根公式 我国著名数学家华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，两者之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．我们知道，初中数学有很多代数恒等式可以用图形面积来解释，如：用边长为a的正方形面积表示代数式a2，用边长为a的正方形和长、宽分别为a，b的矩形拼成一个长、宽分别为（a+b），a的矩形，面积可表示为a2+ab＝a（a+b）等．在此基础上建立数和形的联系，构造代数问题的直观模型，使抽象的数学知识直观化． 以配方法解一元二次方程x2+nx＝m为例进行分析： ①如图1，可将该方程转化为一个边长为x的正方形和一个长、宽分别为x，n的矩形，它们的面积和为m； ②如图2，将图1中的矩形沿虚线剪开得到两个全等的小矩形，这两个小矩形的长、宽分别为x，； ③如图3，将图2中的两个小矩形分别放到正方形的右侧和上方，拼成一个缺角图形； ④如图4，在图3的右上角上补一个边长为的小正方形，得到边长为的大正方形． 由以上拼图分析可得：在图4中，拼接部分的面积为m，补缺部分的面积为． 根据图形面积关系，得… 任务： （1）请完成数学论文中的剩余部分． （2）若用此方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0，则需要构造一个边长为　 　的正方形和一个长、宽分别为 　 、　 的矩形，它们的面积和为 　 ，先将该矩形剪切成两个全等的小矩形后分别放在正方形的右侧和上方拼成一个缺角图形，再在此缺角处补一个边长为 　 的小正方形，得到一个边长为的 　 大正方形． 第24天 24．阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程x（x+4）＝6． 解：原方程变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6． 由平方差公式，得（x+2）2﹣22＝6． 移项，得（x+2）2＝6+22，即（x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5的过程． 解：原方程变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5． 由平方差公式，得（x+a）2﹣b2＝5． 移项，得（x+a）2＝5+b2． 直接开平方并整理，得x1＝c，x2＝d（c＞d）． 任务： （1）上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5． 第25天 25．阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的30cm的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为xcm，纸箱的底面积为 S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． 任务： （1）当x＝　 　 cm时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为 　 　 cm3． （2）请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． （3）在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $