2027年上海市中考数学 一模满分讲义 压轴第25题《几何综合》

该初中数学中考复习讲义聚焦几何综合压轴题，覆盖相似三角形、全等变换、动点问题等核心考点，通过“考点精讲-方法归纳-真题精练-分层作业”流程，梳理知识内在联系，指导解题策略，帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于结合新考纲题型设计，注重几何直观与推理能力培养，如通过翻折问题中构造相似模型讲解，辅以分层练习（基础到综合）实现精准提升。教师可利用其把控复习节奏，学生能高效掌握解题方法，提升中考应考能力。

2027年上海市中考数学 一模满分讲义 压轴第25题《几何综合》 精讲+精练+新考纲题型 核心考点 ·考点精讲 1．（2025秋•闵行区期末）如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点． （1）当∠ABC＝90°时． ①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2＝AD•CD； ②如图2，AD＝AE，点F在边BC上，且CF＝CD，顺次联结DE、EF、FD．如果EF＝DF，tan∠EFB，求cotC的值． （2）如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD＝∠ACB，点G在线段DB延长线上，且BG＝BC，联结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，求的值． 【分析】（1）①易证△ABD∽△BCD，即可得证； ②设EF＝1，则BF＝2，先证△DEF为等腰直角三角形，再构造三垂直全等：过D作DM⊥BC于点M，易证△BEF≌△MFD（AAS），FM＝BE＝1，BF＝DM＝2，再设CM＝x，在Rt△CDM中，利用勾股定理求解即可； （2）易证△ABD∽△ACB，可得，设S△BOD＝S，则S△BOGS＝S△BOC，则S△BCD＝S△BOC﹣S△BOD＝（）S，S△CBGS△CBD＝（2）S，再求S△BCHS，即可得解． 【解答】（1）①证明：∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠BCD＝90°﹣∠CBD， ∴△ABD∽△BCD， ∴， ∴BD2＝AD•CD； ②解：∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝90°， ∵CF＝CD， ∴∠CDF＝∠CFD＝90∠C， ∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠CDF（∠A+∠C）＝45°， ∵DE＝DF， ∴∠EDF＝∠DEF＝45°， ∴∠EFD＝90°， ∵tan∠EFB， ∴， 设EF＝1，则BF＝2， 如图，过D作DM⊥BC于点M， 则∠B＝∠EFD＝∠DMF＝90°， ∴∠EFB＝∠FDM＝90°﹣∠DFM， ∵EF＝DF， ∴△BEF≌△MFD（AAS）， ∴FM＝BE＝1，BF＝DM＝2， 设CM＝x，则CD＝CF＝1+x， 在Rt△CDM中，CM2+DM2＝CD2， 即x2+4＝（x+1）2， 解得x，即CM， ∴cotC； （2）设AD＝a，则AC＝2a， ∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAD， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴AB2＝AD•AC＝2a， ∴ABa， ∵BG＝BC， ∴， 如图，连接CG， 则， 设S△BOD＝S，则S△BOGS， ∵BG＝BC，H为CG中点， ∴OH垂直平分CG， ∴S△BOC＝S△BOGS， ∴S△BCD＝S△BOC﹣S△BOD＝（）S， ∵， ∴S△CBGS△CBD＝（2）S， ∵H为CG中点， ∴S△BCHS， ∴S△COH＝S△BOC+S△BCH， ∴2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025秋•崇明区期末）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，tanB，点E是AB边上的一点，将△ABC沿着过点E的直线翻折，点A落在BC边上，记作点D，折痕所在的直线与射线AC交于点F，过点D作DG⊥BC，交射线BA于点G． （1）如图1，当点F和点C重合时，求AE的长； （2）如图2，当点F在边AC上时，设BD＝x，tan∠AFE＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域； （3）延长DG，交CA的延长线于点H，当△DFH是以DH为腰的等腰三角形时，求EG的长． 【分析】（1）首先在Rt△ABC中，由∠A＝90°、，根据三角函数定义得，再通过勾股定理算出，因△ABC沿CE翻折后A与D重合，利用翻折性质可得AC＝DC＝6、AE＝DE、∠CDE＝90°，进而推出∠EDB＝90°且BD＝BC﹣DC＝4．设AE＝x，则DE＝x、EB＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理列方程x2+42＝（8﹣x）2，求解得x＝3，即AE＝3； （2）由翻折性质得AE＝DE、AF＝DF、∠EDF＝90°，结合DG⊥BC得∠GDB＝90°，通过“同角的余角相等”推出∠DGB＝∠C；再由角的和差关系得∠CDF＝∠EDG，进而判定△DGE∽△DCF，得到.在Rt△BDG 中，由和BD＝x得，又DC＝10﹣x，而，故.结合F在AC上的边界条件，当F与C重合时x＝4，当E与B重合时x＝8，确定定义域为4≤x≤8； （3）设BD＝x，先由△ABC∽△GDB，根据相似得、，再分两种情况讨论等腰△DFH：①当F在AC延长线上时，因∠FDH＞90°，故DH＝DF，通过角的等量代换得∠DEB＝∠B，即DE＝BD，作EK⊥BC，得，结合，列方程解得，进而；②当F在线段AC上时，因∠HFD＞∠H，故DH＝FH，通过角的转化得∠BED＝∠BDE，即BD＝BE，由勾股定理得，结合AB＝AE+BE＝8列方程解得，进而． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，， ∴， ∴ ∵△CAE沿着CE折叠得到△CDE， ∴AE＝DE，AC＝DC＝6，∠CDE＝∠A＝90°， ∴∠EDB＝90°，BD＝BC﹣DC＝10﹣6＝4， 设AE＝x，则DE＝x，EB＝8﹣x， 在Rt△DEB 中，由勾股定理得x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，故AE＝3； （2）由翻折性质知AE＝DE，AF＝DF，∠EDF＝∠A＝90°， ∵DG⊥BC， ∴∠GDB＝90°， ∴∠DGB+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°， ∴∠DGB＝∠C． ∵∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝90°，∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝90°， ∴∠CDF＝∠EDG， ∴△DGE∽△DCF， ∴， 在Rt△BDG 中，，BD＝x， ∴， 又DC＝BC﹣BD＝10﹣x，， ∴， 当点F在AC上时，由（1），当F与C重合时DB＝4， ∴x≥4， 当点E与点B重合时，BD＝AB＝8， ∴x≤8， ∴定义域是4≤x≤8综上，y关于x的函数解析式是，定义域是4≤x≤8． （3）设BD＝x，易得△ABC∽△DBG， ∴，即， ∴，； ①如图，点F在AC的延长线上时， ∠FDH＞∠FDE＝90°， ∴只能DH＝DF，此时∠H＝∠CFD， 同（2）得到∠DGB＝∠ACB，∠CDF＝∠EDG， ∴∠DGB﹣∠EDG＝∠ACB﹣∠CDF，即∠DEB＝∠CFD． 又∵∠H＝∠B， ∴∠DEB＝∠B， ∴DE＝BD＝x，△BED是等腰三角形， ∴， 在△BED中作DK⊥BC于K，则DK∥AC， ∴，即， ∴， 解方程，得， 当，EG＝BE﹣BG； ②如图，点F在线段AC上时， ∵∠HFD＝∠C+∠CDF＞∠H， ∴只能DH＝FH，此时∠HFD＝∠HDF， ∵∠CDF＝∠EDG，∠CDH＝∠BDH＝90°， ∴∠CDH﹣∠CDF＝∠BDH﹣∠EDG，即∠HDF＝∠EDB， ∴∠HFD＝∠HDF＝∠EDB， ∵∠DEB＝∠GDE+∠DGB，∠DGB＝∠ACB， ∴∠DEB＝∠CDF+∠ACB＝∠HFD， ∴∠BED＝∠BDE，BD＝BE， ∵，DK， ∴EK＝BE﹣BK， ∴AE＝DE， ∵AB＝AE+BE＝8， ∴，解得x， ∴EG＝BG﹣BE． 【点评】本题以直角三角形翻折为背景，主要考查直角三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论，以及函数解析式的构建与定义域求解，重点考查几何图形中边与角的等量转化能力和分类讨论思想的应用． 3．（2025秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PD∥y轴，交抛物线于点D，求线段PD长度的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）求出直线BC的解析式，设P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），则D（m，﹣m2+2m+3），表示出PD，再根据二次函数的性质即可求解． （3）根据题意抛物线对称轴为x＝1，A（﹣1，0）、B（3，0）关于对称轴为直线x＝1对称，则MA＝MB，得出△MAC的周长＝MA+MC+AC＝MB+MC+AC．当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，此时△MAC的周长最小，直线BC与对称轴为直线x＝1的交点为M，把x＝1代入y＝﹣x+3即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B的坐标代入得： 0＝3k+3， 解得：k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． 设P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），则D（m，﹣m2+2m+3）， ∴， ∴当时，PD最大，最大值为； （3）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线对称轴为直线， ∵A（﹣1，0）、B（3，0）关于对称轴直线x＝1对称， ∴MA＝MB， ∴△MAC的周长＝MA+MC+AC＝MB+MC+AC． 当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，此时△MAC的周长最小，直线BC与对称轴为直线x＝1的交点为M， 把x＝1代入y＝﹣x+3得：y＝2， ∴M（1，2）． 【点评】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（2025秋•静安区期末）在△ABC中，∠BAC＝60°，已知射线AP在∠BAC内部，射线AQ与射线AP在边AB的两侧，∠QAP＝∠BAC，点E、D分别在射线AP、AQ上，AD•AC＝AB•AE． （1）如图，联结DB、CE，求证：∠ABC﹣∠AEC＝∠BDE； （2）如果AP平分∠BAC，线段AE与边BC的公共点为G，AB＝AG＝6，AE＝x，DE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AP⊥BC，垂足为点K，且DE∥AC，AC＝6，，求DE的长． 【分析】（1）分别证明△DAE∽△BAC和△ABD∽△ACE，得到∠ADE＝∠ABC和∠ADB＝∠AEC，进而即可求证； （2）过点B作BH⊥AC于H，由已知可得∠C＝45°，∠ABH＝30°，即得，，进而得到BC，，再利用△DAE∽△BAC即可求解； （3）分点K在点E下方和上方两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解； 【解答】（1）证明：如图， ∵AD•AC＝AB•AE， ∴， ∵∠QAP＝∠BAC， ∴△DAE∽△BAC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵∠QAP＝∠BAC， ∴∠QAP﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，即∠DAB＝∠CAE， 又∵AD•AC＝AB•AE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵∠ADE﹣∠ADB＝∠BDE， ∵∠ABC﹣∠AEC＝∠BDE； （2）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠AHB＝∠CHB＝90°， ∵∠BAC＝60°，AP平分∠BAC， ∴， ∵AB＝AG， ∴∠ABG＝∠AGB＝75°， ∴∠C＝∠AGB﹣∠CAG＝75°﹣30°＝45°， ∵∠AHB＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠ABH＝30°， ∴， ∴， ∵∠CHB＝90°，∠C＝45°， ∴∠CBH＝∠C＝45°， ∴CH＝BH＝3， ∴BC，， ∵△DAE∽△BAC， ∴，即， ∴； （3）解：当点K在点E下方时，如图，过点B作BM⊥AC于M，则∠AMB＝∠CMB＝90°， ∵AK⊥BC， ∴∠AKC＝90°， ∵△DAE∽△BAC， ∴∠E＝∠C， ∵DE∥AC， ∴∠E＝∠CAK， ∴∠C＝∠CAK＝45°， ∴AK＝CK， ∵AC＝6， ∴， ∵， ∴， ∵∠BAC＝60°，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝30°， ∴AB＝2AM， 设AM＝a，则AB＝2a， ∴， ∵∠CMB＝90°，∠C＝45°， ∴∠CBM＝∠C＝45°， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵△DAE∽△BAC， ∴．即， 解得； 当点K在点E上方时，如图， 则， 同理可得； 综上，DE的长为或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 5．（2025秋•宝山区期末）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边AB上一点（不与点A、B重合），BE⊥AB，且∠CDE＝∠A． （1）当DE∥AC时，求BE的长； （2）当点D在边AB上运动时，的值是否保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生变化，试说明理由； （3）当直线DE与直线AC相交时，记交点为点F，如果△CDF是等腰三角形，求EF的长． 【分析】（1）解直角三角形得到，AB＝5，可证明∠DCA＝∠CDE，∠BDE＝∠A，得到；再证明∠DCB＝∠DBC，得到，再解直角三角形即可得到答案； （2）连接CE，证明∠CDE＝∠EBC，则B、D、C、E四点共圆，求出∠DCE＝90°，则； （3）当点F在点A下方时，过点D作DH⊥AC于点H，连接CE，可证明∠CDF＝180°﹣∠CDE＞90°，则当△CDF是等腰三角形时，只存在DC＝DF这种情况，证明∠ADF＝∠AFD，得到AD＝AF；解直角三角形得到，，设AH＝3x，DH＝4x，AD＝AF＝5x，则可推出AC＝AH+CH＝11x＝3，解得x，利用勾股定理求出CD的长，进而求出DE的长即可得到答案；当点F在点C上方时，连接CE，可证明∠FCD＞90°，则当△CDF是等腰三角形时，只存在CF＝CD这种情况，可证明∠CEF＞90°，则CF＞CE＞CD（大角对大边），故此种情况不成立． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴，∠A+ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°， ∴； ∵AC∥DE， ∴∠DCA＝∠CDE，∠BDE＝∠A， ∴， ∵∠CDE＝∠A， ∴∠DCA＝∠A， ∴∠DCB＝∠DBC， ∴， ∵BE⊥AB， ∴∠DBE＝90°， ∴， ∴； （2）的值保持不变，为定值；理由如下： 如图所示，连接CE， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵BE⊥AB， ∴∠DBE＝90°， ∴∠DBC+∠EBC＝90°， ∴∠EBC＝∠A， 又∵∠A＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠EBC， ∴B、D、C、E四点共圆， ∴∠DCE＝180°﹣∠DBE＝90°， ∴， ∴的值保持不变，为定值； （3）当点F在点A下方时，如图所示，过点D作DH⊥AC于点H，连接CE， ∵∠CDE＝∠A＜90°， ∴∠CDF＝180°﹣∠CDE＞90°， ∴当△CDF是等腰三角形时，只存在DC＝DF这种情况， ∴∠DCF＝∠DFC； ∵DH⊥AC， ∴； ∵∠CDB＝∠CDE+∠BDE＝∠CAB+∠ACD， ∴∠BDE＝∠ACD， 又∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴AD＝AF； 在Rt△ADH中，，， 设AH＝3x，DH＝4x，AD＝AF＝5x， ∴CH＝FH＝AF+AH＝8x， ∴AC＝AH+CH＝11x＝3， 解得， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴； 如图所示，当点F在点C上方时，连接CE， ∠FCD＝∠BCF+∠BCD＝180°﹣∠ACB+∠BCD＝90°+∠BCD＞90°， ∴当△CDF是等腰三角形时，只存在CF＝CD这种情况， ∵∠CDE＝∠A，∠ECD＝90°， ∴， ∴CE＞CD， ∵∠CED＜90°， ∴∠CEF＝180°﹣∠CED＞90°， ∴CF＞CE＞CD（大角对大边）， ∴此种情况不成立； 综上所述，EF的长为． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，四点共圆，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．（2025秋•浦东新区期末）在△ABC中，∠BAC≥90°，点D为边AC上一点，∠ABD＝∠ACB，CD＝2．将△ABD沿BD翻折得到△A1BD，点A1恰好落在边BC的垂直平分线上． （1）如图1，如果点A1在边BC上，求的值； （2）如图2，如果AD＝CD，求BD的长； （3）如果AB＝CD，求∠BAC的度数． 【分析】（1）由折叠的性质并结合题意可得∠ABD＝∠CBD＝∠ACB，可得DB＝DC，进一步可得DA1⊥BC从而可得∠A＝∠DA1B＝90°，再结合三角形内角和定理计算得出∠ABD＝∠CBD＝∠DCB＝30°，最后再由正切的定义计算即可得出结果； （2）连接AA1交BD于点O，连接A1C证明△ABD∽△ACB，求出，由折叠的性质可得，A1D＝AD＝2，AA1⊥BD，∠ADB＝∠A1DB，由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理逆定理得出△A1CD为直角三角形，则∠A1DC＝90°，求出∠A1DA＝90°，从而可得，证明△AOD为等腰直角三角形，结合勾股定理可得，BO即可得出结果； （3）分三种情况：当点A1在边BC上时；当点A1在BC﹣下方时，连接AA1交BD于点F，连接A1C；当点A1在BC上方时；分别求解即可得出结果． 【解答】解：（1）∵将△ABD沿BD翻折得到ΔA1BD， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠ACB，∠ABD＝∠CBD＝∠DCB， ∴DB＝DC， ∵点A1恰好落在边BC的垂直平分线上，且点A1在边BC上， ∴DA1⊥BC， ∴∠A＝∠DA1B＝90°， ∵∠ABD+∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠DCB＝30°， ∴； （2）如图：连接AA1，交BD于点O，连接A1C， ∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵CD＝2，AD＝CD， ∴AC＝AD+CD＝4， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 由折叠的性质可得：，A1D＝AD＝2，AA1⊥BD，∠ADB＝∠A1DB， ∵点A1恰好落在边BC的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴A1CD为直角三角形， ∴∠A1DC＝90°， ∴∠A1DA＝180°﹣∠A1DC＝90°， ∴， ∵AA1⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝90°， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴AO2+OD2＝AD2， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）可得：点A1在边BC上时，∠BAC＝90°，此时AB＝A1B＝A1C＜CD与AB＝CD相矛盾，故不符合题意， 如图，当点A1在BC下方时，连接AA1交BD于点F，连接A1C， ∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵AB＝CD，CD＝2， ∴， 解得：（负值舍去，不符合题意）， 由折叠的性质可得：A1B＝AB＝2，，AA1⊥BD，∠ABD＝∠A1BD， ∵点A1恰好落在边BC的垂直平分线上， ∴A1C＝A1B＝2，CD＝AB＝A1B＝A1C＝2， ∴∠CDA1＝∠CA1D， 在CD上取点G，使得， ∴∠GDA1＝∠A1GD， ∴∠GDA1＝∠A1GD＝∠CA1D， ∴△A1DG∽△CDA1， ∴，即， ∴， ∴， ∴CG＝A1G， ∴∠GCA1＝∠GA1C， ∵∠A1GD＝∠C+∠GA1C， ∴∠A1DC＝∠DA1C＝2∠GCA1， ∵∠A1DC+∠DA1C+∠GCA1＝180°， ∴2∠GCA1+2∠GCA1+∠GCA1＝180°， ∴∠GCA1＝36°， ∴∠GCA1＝∠GA1C＝36°，∠A1DC＝72°， ∵AD＝A1D， ∴∠DAA1＝∠DA1A． ∵∠DAA1+∠DA1A＝∠A1DC＝72°， ∴∠DAA1＝∠DA1A＝36°， ∴∠DAA1＝∠DA1A＝∠GCA1＝∠GA1C＝36°， ∵A1D＝A1G， ∴△A1DA≌△A1GC（AAS）， ∴AA1＝A1C＝2， ∴AA1＝A1B＝AB＝2， ∴△AA1B为等边三角形， ∴∠BAA1＝60°， ∴∠BAC＝∠BAA1+∠CAA1＝96°； 如图，当点A1在BC上方时， 同理可得：∠A1CD＝36°，AB＝A1B＝A1C＝CD＝2，∠CDA1＝∠CA1D＝72°， ∴54°， 设∠ABD＝∠ACB＝α， 由图形可得：∠ACB＞∠A1CD＝36°， ∴α＞36°， ∴∠ABD+∠ADB＞36°+54°＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＜90°，即∠BAC＜90°，与∠BAC≥90°矛盾，故不符合题意； 综上所述，∠BAC的度数为96°． 【点评】本题考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形外角的定义及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 7．（2025秋•虹口区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB且AC＝AD． （1）求证：2AC2＝CD•AB； （2）联结BD交AC于点E，过点C作CF∥AD交BD于点F． ①过点C作CG⊥AD分别交AD、BD于点G、H，如图2所示．已知AB＝5，，求CF和CH的长； ②如图3，如果F为BE的中点，求的值． 【分析】（1）过A作AK⊥CD于点K，易得CK，再证△ACK∽△BAC，即可得证； （2）①解三角形易得CD，利用cos∠CDG＝cos∠BAC，即，求得DG，则CG，再利用，求出CF＝DG，可得CH＝GH，即可得解； ②易得，可得DEEFBE，进而可得． 【解答】（1）证明：过A作AK⊥CD于点K， 则∠AKB＝∠ACB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠ACK＝∠CAB， ∴△ACK∽△BAC， ∴， ∴AC2＝CK•AB， ∵AC＝AD，AK⊥CD， ∴CK， ∴AC2•AB， 即2AC2＝CD•AB； （2）解：①如图， 在Rt△ABC中，AB＝5，tan∠ABC， ∴AC＝3，BC＝4， 由（1）知2AC2＝CD•AB， ∴CD， ∵AC＝AD＝3，AB∥CD， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠BAC， ∴cos∠CDG＝cos∠BAC，即， ∴， ∴DG，CGCD， ∵AB∥CD，CF∥AD ∴， ∴， ∴CF， ∴CF＝DG， ∵CF∥DG， ∴， ∴CHCG； ②如图， ∵F为BE中点， ∴BE＝2EF， ∵AB∥CD，CF∥AD， ∴， ∴， 解得DEEFBE， ∵AB∥CD， ∴直线AB、CD之间等距，即△ABC和△ACD的AB和CD边上的高相等， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理、锐角三角比、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2025秋•长宁区期末）如图1，在△ABC中，D为AC边上一点，始终满足． （1）求证：∠ABD＝∠CBD． （2）在△ABC中，当∠C＝90°时， ①如图2，已知，过点D作ED⊥BD交AB于点E，若△BDE的面积为5，求AC长． ②如图3，E为BD中点，如∠ABC＝2∠DAE，设BE长为x，记AB与BC的差为y，求y关于x的函数关系式及函数定义域． 【分析】（1）过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，根据三角形的面积公式结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，根据，得到DE＝DF，得到BD平分∠ABC即可； （2）①根据，设BC＝3k，AB＝5k，进而得到AC＝4k，根据，求出CD，勾股定理求出BD，由（1）可知∠ABD＝∠CBD，得到tan∠ABD＝tan∠CBD，求出DE的长，再根据△BDE的面积为5，进行求解即可； ②作DF⊥AB与点F，证明Rt△BCD≌Rt△BFD，得到BC＝BF，进而得到AB﹣BC＝AB﹣BF＝AF＝y，证明△ADE∽△BDA，求出，连接CE，斜边上的中线推出∠BCE＝∠CBD＝∠DAE，证明△AEC∽△BCD，求出CD的长，勾股定理求出BC的长，再根据，求出函数关系式即可． 【解答】（1）证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥BC， 则：． 又∵， ∴DE＝DF， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD； （2）解：①∵∠C＝90°， ∴， 设BC＝3k，AB＝5k， 则， ∵，即， ∴， ∴， 由（1）知：∠ABD＝∠CBD， ∴tan∠ABD＝tan∠CBD， ∵ED⊥BD，∠C＝90°， ∴tan∠ABD＝tan∠CBD， ∴， ∴， ∴S△BDE•BD5， ∴（负值舍去）， ∴； ②作DF⊥AB于点F， ∵∠ABD＝∠CBD，∠ACB＝90°， ∴DF＝CD， 又∵BD＝BD， ∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL）， ∴BC＝BF， ∴AB﹣BC＝AB﹣BF＝AF＝y， ∵∠ABC＝2∠DAE， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠DAE， 又∵∠ADE＝∠ADB， ∴△ADE∽△BDA， ∴， ∴AD2＝DE•BD， ∵E为BD中点，BE＝x， ∴DE＝x，BD＝2x，AD2＝x•2x＝2x2， ∴， 连接CE， ∵∠ACB＝90°，E为BD中点， ∴， ∴∠BCE＝∠CBD＝∠DAE， ∴∠DAE+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠AEC＝90°＝∠ACB， ∴△AEC∽△BCD， ∴， ∴AC•CD＝EC•BD， ∴（AD+CD）•CD＝EC•BD，即， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，合理添加辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．（2025秋•奉贤区期末）如图，在▱ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC，垂足为E，对角线AC垂直平分线MN交AD于点M，交AE的延长线于点N，交AC于点P．已知AD＝8，CD＝5． （1）在△ABE、△AEC、△APN中． ①写出与△AMN一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比； （2）如果AE＝EN，求∠B的正弦值． 【分析】（1）①根据平行四边形的性质和平行线定理得AE⊥AD，利用等量代换得∠NMA＝∠CAE，∠N＝∠ACE，即可证明； ②由题意得△ABE与△MAN不一定相似，当△ABE﹣△NMA时，得△ABE﹣△CAE，结合勾股定理得AB2﹣BE2＝BE•（8﹣BE），求得，进而求得，由相似三角形的性质和等量代换得∠BAC＝90°，求得进而求得，再由△ABE∽△NPA，求得，即可求解；当△BAE﹣NMA时，由相似三角形的性质和等腰三角形的判定可得AB＝AC＝5，进而得，再由等腰三角形的性质和勾股定理求得AE＝3，由△BAE∽△NAP，得，进而求解即可； （2）连接CN，根据垂直平分线的性质得AC＝CN＝AN，由等边三角形的性质得∠ACE＝30°，设AE＝x，则AC＝2x，利用勾股定理求得，进而得，利用勾股定理列方程求得，再取舍，进而求解即可． 【解答】解：（1）①△AEC∽△MAN，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AE⊥BC，AE⊥AD， 又∵MN⊥AC， ∴∠N+∠NMA＝90°，∠N+∠CAE＝90°，∠NMA＝∠CAE， ∵∠AEC＝∠MAN＝90°， ∵△AEC∽△MAN， △APN∽△MAN，理由如下： ∵∠N+∠CAE＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠N＝∠ACE， ∴∠NPA＝∠CEA＝90°， ∴△APN∽△AEC； ②△ABE与△MAN不一定相似， 当△ABE∽△NMA时， ∴△ABE∽△CAE， ∴， ∴AE2＝CE•BE＝BE•（8﹣BE）， 又AE2＝AB2﹣BE2， ∴AB2﹣BE2＝BE•（8﹣BE）， ∵AD＝8，CD＝5， ∴52﹣BE2＝BE•（8﹣BE）， 解得， ∴， ∵△ABE∽△CAE， ∴∠B＝∠CAE， ∵∠B+∠BAE＝90°， ∴∠BAE+∠CAE＝90°，即∠BAC＝90°， ∴， ∴， ∵△ABE∽△NPA， ∴，即， ∴， ∵△ABE∽△NMA， ∴； 当△BAE∽NMA时， ∴△BAE∽△CAE∽△NAP， ∴∠B＝∠N＝∠ACE， ∴AB＝AC＝5， ∴， ∴， ∵MN垂直平分AC， ∴， ∵△BAE∽△NAP， ∴，即， ∴， ∵△BAE∽NMA， ∴； 综上所述：△ABE与△MAN不一定相似，如果它与△AMN相似，相似比为25：32或24：25； （2）连接CN， ∵AE⊥BC，AE＝EN， ∴AC＝CN， ∵NM垂直平分AC， ∴AN＝CN， ∴AC＝CN＝AN， ∴△ANC是等边三角形， ∵AE⊥BC， ∴∠ACE＝30°， 设AE＝x，则AC＝2x， ∴， ∴， 在Rt△ABE中，， 解得， 当时，此时BE＝8x＜0，故舍去； 当时，． 【点评】本题考查相似三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质、解一元二次方程、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（2025秋•金山区期末）在四边形ABCD中，点E在边AB上，BE＝3AE，点F在边BC上． （1）如图1，若四边形ABCD为矩形，且BF＝3CF，联结EF、AC，求证：△BEF∽△DCA； （2）如图2，若四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC．请联结FE并延长，交DA的延长线于点G，联结BG，如果BG⊥GD，∠EFB＝2∠GBA，AG＝6，求CD的长； （3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，点F是BC中点，联结DE、AF交于点K，联结CK，过点A作AM∥CK交DK于点M，联结CM，求S△KMC：S△KFC值． 【分析】（1）由矩形的性质，得到BC∥AD，∠B＝∠D＝90°，进而得到∠BCA＝∠CAD，易得，推出△BEF∽△BAC，进而得到∠BFE＝∠BCA，推出∠BFE＝∠CAD，即可得证； （2）取AB的中点H，连接HG，斜边上的中线，得到，等边对等角，结合三角形的外角，推出∠AHG＝∠ABG+∠BGH＝2∠ABG，进而得到∠AHG＝∠BFE，证明△AGE∽△AHG，得到，设AB＝x，求出AE，根据BE＝3AE，得到AB＝4AE，求出x的值，再根据等腰梯形的两腰相等，即可得出结果； （3）延长CB，DE，交于点H，连接AC，证明△DAE∽△HBE，△AKD∽△FKH，得到，，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，以及平行面积转化，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BCA＝∠CAD， ∵BE＝3AE，BF＝3CF， ∴， ∵∠B＝∠B， ∴△BEF∽△BAC， ∴∠BFE＝∠BCA， ∴∠BFE＝∠CAD， 又∵∠B＝∠D＝90°， ∴△BEF∽△DCA； （2）解：取AB的中点H，连接HG，则， ∵BG⊥DG，， ∴∠BGH＝∠ABG， ∴∠AHG＝∠ABG+∠BGH＝2∠ABG， ∵∠BFE＝2∠ABG， ∴∠AHG＝∠BFE， ∵AD∥BC， ∴∠BFG＝∠AGE， ∴∠AHG＝∠AGE， 又∵∠GAE＝∠GAH， ∴△AGE∽△AHG， ∴，即AG2＝AE•AH， ∴ 设AB＝x，则， ∴， ∵BE＝3AE， ∴AB＝4AE，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC， ∴； （3）解：延长CB，DE，交于点H， ∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△DAE∽△HBE，△AKD∽△FKH， ∴，， ∴BH＝3AD， ∵F为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AM∥CK， ∴S△ACK＝S△MCK， ∴S△KMC：S△KFC＝2：7． 【点评】本题考查矩形的性质，等腰梯形的性质，平行四边形的性质，斜边上的中线，等边对等角，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 11．（2025秋•黄浦区期末）如图，过菱形ABCD顶点A分别作边BC、CD的垂线，垂足为E、F，交对角线BD于点M、N． （1）求证：BM＝DN； （2）联结EN，如果EN∥AB，求cos∠ABC的值； （3）如果△ABM与五边形CFNME的面积均为1，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）易证△ABM≌△ADN（ASA），即可得证； （2）cos∠ABC＝k，AB＝a，则BE＝ka，易证△ABE∽△EAN，得AEa，在Rt△ABE中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）设，则S△BEM＝k•S△AEM＝k，再根据S△ABO＝S△BCO可得S△AOM＝k，进而得到S△OME＝k2k，最后根据S△AEO＝S△CEO建立关于k的方程求解即可． 【解答】（1）证明：由题可知∠AEB＝∠AFD＝90°， 在菱形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF， ∴∠BAM＝∠DAN，∠ABM＝∠ADN， 在△ABM和△ADN中， ， ∴△ABM≌△ADN（ASA）， ∴BM＝DN； （2）解：如图， 设cos∠ABC＝k，AB＝a， 则cos∠ABCk， ∴BE＝ka， ∵AF⊥AB，AB∥EN， ∴EN⊥AF，∠BAE＝∠AEN， 则∠ANE＝∠AEB＝90°， ∴△ABE∽△EAN， ∴，即， ∴AEa， 在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2， ∴k2a2+ka2＝a2，即k2+k﹣1＝0， 解得k（负值舍去）， ∴cos∠ABC； （3）如图，连接AC交BD于点O，连接OE， 设，则， ∴S△BEM＝k•S△AEM＝k， ∵S△ABO＝S△BCO， ∴S△ABM+S△AOM＝S△BEM+S四边形OCEM， ∵S四边形OCEM＝S四边形OCFN， ∴1+S△AOM＝k， ∴S△AOM＝k， ∵， ∴， ∴S△OME＝k2k， ∵OA＝OC， ∴S△AEO＝S△CEO， ∴kk2k（k2k）， 解得k， ∴S△AOM＝k，S△BEM＝k， ∴S△ABC＝S△ABM+S△AOM+S△BEM+S四边形OCEM＝11， ∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝2+2． 【点评】本题主要考查了菱形性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、面积转化等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（2025秋•青浦区期末）△ABC中，已知∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC． （1）如图1，如果AD＝4，DC＝5，求BC的长； （2）如图2，过点A作AC的垂线AP，与边CB的延长线交于点P． ①试猜想线段PC与边AB的数量关系，并证明； ②在线段DB上截取DQ＝DA，连接AQ，当∠PAQ＝2∠BAQ时，探究是否存在实数k，使得AB＝kBQ+PB成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用角平分线性质得等角，进而判定等腰三角形，结合相似三角形的判定与性质，通过相似比计算线段长度； （2）①取PC中点E，连接AE，证明PC＝2AE，AE＝AB即可； ②通过角度关系推导出特殊角度，结合等腰三角形性质与三角形相似，分析线段间的等量关系，进而确定k的值． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴． ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD＝5． ∵∠ADB＝∠CBD+∠C＝2∠C＝∠ABC， ∴△ADB∽△ABC， ∴， ∵AD＝4，DC＝5， ∴AC＝AD+CD＝9，BD＝5， ∴， ∴AB＝6（负值舍去）， ∴， ∴； （2）①PC＝2AB； 证明：如图，取PC中点E，连接AE， ∵AC⊥AP， ∴△APC是直角三角形， ∴PC＝2AE，AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C＝∠ABC， ∴AB＝AE， ∴PC＝2AB； ②如图， ∵DQ＝DA， ∴， ∴∠BAQ＝180°﹣∠C﹣∠ABC﹣∠DAQ＝90°﹣2∠C．， ∵∠PAQ＝2∠BAQ， ∴∠PAQ＝180°﹣4∠C． ∵∠PAQ+∠QAD＝180°﹣4∠C+90°﹣∠C＝90°， ∴∠C＝∠ABD＝∠CBD＝36°． ∴∠BAC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BAC＝∠ABC＝72°， ∴AC＝BC， 同理：AB＝BD＝CD， ∴AD＝AC﹣CD＝AC﹣AB． 由（1）得△ADB∽△ABC， 设， 则AD＝mAB，AB＝mAC，BD＝mBC， 由（1）得AB2＝AD•AC， 即m2AC2＝（AC﹣mAC）•AC， 整理得m2+m﹣1＝0， 解得（负值舍去）， 由①得PC＝2AB＝2mBC， ∴PB＝PC﹣BC＝（2m﹣1）BC， ∴AB﹣PB＝（1﹣m）BC，DQ＝DA＝m2BC， ∴BQ＝BD﹣QD＝m（1﹣m）BC， ∴， ∴存在实数k，且使得AB＝kBQ+PB成立． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形判定与性质等知识，涉及角度关系推导与线段长度计算，综合性较强． 13．（2025秋•普陀区期末）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，在△DEC右侧作△DCF，使得△DCF∽△DEC，其中点C、F分别与点E、C对应．已知． （1）当点E与点B重合时，求四边形DECF的面积； （2）点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①∠EDF的大小；②DF的长度；③tan∠DFC的值． 其中，变大的量是　③　 ；变小的量是　①②　 .（请在批线处填入编号） （3）当四边形DECF的一条对角线平分另一条对角线时，求AE的长． 【分析】（1）根据勾股定理得BD＝DE＝4，由△DCF∽△DEC得，求出直角边，再按三角形面积公式计算即可； （2）作EH⊥CD于H，根据移动过程中DE、CH、∠EDH的变化情况判断即可； （3）分两种情况讨论，当CD平分EF时，S△OED＝S△OFD，过点O作OG⊥DE，OH⊥DF，则OG＝OH，DE＝DF，得△DEF是等腰三角形，CD是EF的垂直平分线，CE＝CF，△OCE和△OCF关于CD对称，∠CED＝∠ECD＝∠CFD＝∠FCD，得，EO＝OF＝2，根据求解即可；当EF平分CD时，取DF中点P，连接CP交EF于Q，证△EDO∽△CDP∽△COQ，根据O是△CDF中线的交点，求出CQ＝2，CP＝3，设AE＝x，则DM＝x，，，，根据列方程求解即可． 【解答】解：（1）当点E与点B重合时，如图所示： ∵△DCF∽△DEC， ∴， ∵，BC＝CE＝2， ∴， ∴， 解得，DF＝3， ∴四边形DECF的面积为：； （2）作EH⊥CD于H如图所示： ∵sin∠EDH， ∵DE增大， ∴减小， ∵△DCF∽△DEC，点C、F分别与点E、C对应， ∴∠EDF＝2∠EDH，∠F＝∠DCE， ∴∠EDF减小； ∵△DCF∽△DEC， ∴，即， 得， ∵DE增大， ∴DF减小； ∵， ∵CH减小，增大； ∴tan∠DFC增大， 故答案为：③；①②． （3）①如图所示：当CD平分EF时，记CD与EF的交点为O，EO＝OF， ∵△DCF∽△DEC， ∴∠CDE＝∠CDF， ∴CD是∠EOF的角平分线， ∵EO＝OF， ∴S△OED＝S△OFD， 过点O作OG⊥DE，OH⊥DF，则OG＝OH， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等腰三角形， ∴CD是EF的垂直平分线， ∴CE＝CF， ∴△OCE和△OCF关于CD对称， ∴∠CED＝∠ECD＝∠CFD＝∠FCD， ∴DE＝DF＝CD， ∴EO＝OF＝2， ∴ED＝DC＝2， ∴； ②如图所示：当EF平分CD时，， 取DF中点P，连接CP交EF于Q， ∵△DCF∽△DEC， ∴∠EDC＝∠CDF，， ∴， ∴△EDO∽△CDP， ∴∠DEO＝∠DCP， ∵∠EOD＝∠COQ， ∴△EOD∽△COQ， ∴△COQ∽△CDP， ∴， ∵Q是△CDF中线的交点， ∴CQ：PQ＝2：1，CQ：CP＝2：3， 设CQ＝2k，CP＝3k，， 解得k＝1，则CQ＝2，CP＝3， ∵△EOD∽△COQ， ∴， 设AE＝x，则DM＝x，， ∴，， ∴， 解得x； ∵E在AB边上， ∴， ∴AE＝4， 综上，AE． 【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形面积公式，三线合一，三角形重心的性质，分类讨论，数形结合是解决问题的关键． 14．（2025秋•松江区期末）在▱ABCD中，P是边BC上一点，将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处，AE的延长线交射线BC于点F． （1）如图1，当四边形ABCD是矩形时，如果BP＝4，PF＝5，求四边形ABCD的面积； （2）如图2，如果BP＝1，CP＝2，四边形CDEF的面积是，求∠ADP的正弦值； （3）如果AB＝AP且，求的值． 【分析】（1）易得EF＝3，从而根据△PEF的三角比去求出AB、AD，即可得解； （2）导角易得DA＝DP＝BC＝3，则DE＝2，易证△PFE∽△DAE，可得PF，过点E分别作AD、BC的垂线段，垂足分别为M、N，易得MN＝3EN，设参根据面积建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论：点F在线段BC或者BC延长线上，再结合（2）中思路设参求解即可． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得BP＝PE＝4，∠AEP＝∠B＝90°，AB＝AE， ∴∠PEF＝90°， 在Rt△PEF中，PF＝5， ∴EF3， ∴tan∠AFB， ∵BF＝BP+PF＝9， ∴ABBF＝12， ∴AE＝AB＝12， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠EPF， ∴sin∠ADE＝sin∠EPF，即， ∴ADAE＝20， ∴四边形ABCD的面积＝AB•AD＝240； （2）如图，过点E分别作AD、BC的垂线段，垂足分别为M、N， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝BP+CP＝3， ∴∠APB＝∠DAP， 由折叠的性质可知∠APB＝∠APD，BP＝PE＝1， ∴∠APD＝DAP， ∴DA＝DP＝3， ∴DE＝DP﹣PE＝2， ∵AD∥BC， ∴∠CPD＝∠ADP，∠PFE＝∠DAE， ∴△PFE∽△DAE， ∴， ∴PF， 设EN＝a，则EM＝2a，MN＝3a， ∴SS△CPD﹣S△PEF 2×3aa a， 解得a，则EM＝2a， ∴sin∠ADP； （3）当点F在线段BC上时，如图， 设BP＝a，AB＝AP＝1， ∴∠B＝∠APB＝∠DPA＝∠DAP， ∴△DAP∽△ABP∽△AEP， ∴，即AP2＝PE•PD， ∵PE＝BP＝a，AP＝1， ∴PD， 由（2）证明可知PD＝AD＝BC， ∴DE＝PD﹣PE，PC＝BC﹣BP， ∵CF， ∴PFPC（）， ∵AD∥BC， ∴△PFE∽△DAE， ∴，即， 解得a（不合题意的舍去）， ∴； 当点F在BC延长线上时，如图， 设BP＝a，AB＝AP＝1， 同理可得AD＝DP＝BC，PF＝2（）， 同理可解得a， ∴a； 综上，的值为或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（2025秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，，BC＝6，∠C＝45°，点E在边AB上且AE＝2BE，点D是边BC上的动点，以D为直角顶点，DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF，射线EF与边AC交于点P． （1）当EF∥BC，时，求△DEF的面积； （2）当点F落在△ABC内部（不含边界）时，求BD的取值范围； （3）联结CF，如果△DFC是直角三角形，请直接写出DP的长． 【分析】（1）易证DE∥AC，利用相似比求出DE，即可得解； （2）过A作AL⊥BC于点L，过E作EM⊥BC于点M，易得EM，BM，再根据题意找出临界值，当点P与点C重合时和点F、P重合时，构造三垂直全等，建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，∠DFC＝90°或∠DCF＝90°，结合（2）中三垂直全等思路求解即可． 【解答】解：（1）∵△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∵EF∥BC， ∴∠BDE＝∠DEF＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠BDE＝∠C， ∴DE∥AC， ∴， ∴DEAC， ∴S△DEF； （2）如图，过A作AL⊥BC于点L，过E作EM⊥BC于点M， 则AL＝CL＝AC•sin45°＝4， ∴BL＝BC﹣CL＝2， ∵EM∥AL， ∴， ∴BMBL，EMAL； ∵射线EF与边AC交于点P，且点F在△ABC内部， ∴找出临界值即可， 当点P与点C重合时，如图，过E作EG⊥BC于点G，过F作FH⊥BC于点H， 则∠EGD＝∠EDF＝∠FHD＝90°， ∴∠EDG＝∠DFH＝90°﹣∠FDH， ∵DE＝DF， ∴△DEG≌△FDH（AAS）， ∴EG＝DH，设DG＝FH＝a， 则CH＝BC﹣BG﹣DG﹣DH＝4﹣a，CG＝BC﹣BG， ∵FH∥EG， ∴△CFH∽△CEG， ∴，即， 解得a， ∴BD＝BG+DG； 当点F、P重合时， 同理可得EG＝DH，设DG＝FH＝a， 则CH＝BC﹣BG﹣DG﹣DH＝4﹣a， ∵∠C＝45°， ∴FH＝CH，即a＝4﹣a， 解得a＝2， ∴BD＝BG+DG2； 综上，BD； （3）当∠DFC＝90°时，此时DF⊥BC，点E在BD上，明显不合题意； 当∠DFC＝90°时，如图， 此时DE∥CF， ∴∠EDB＝∠FCD， 同（2）可知EG＝DH，设DG＝FH＝a， ∴CH＝4﹣a， ∵tan∠EDB＝tan∠FCD， ∴，即， 整理得3a2+4a﹣16＝0， 解得a， ∴CD＝BC﹣BG﹣DG， ∵∠DFP＝135°，∠C＝45°， ∴∠DFP+∠C＝180°， ∴点D、F、P、C四点共圆， ∴∠DPC＝∠DFC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴DP＝CD•sin45°； 当∠DCF＝90°时，如图， 此时同理可得EG＝CD， ∴DG＝CF＝BC﹣CD﹣BG＝4， 在Rt△CDF中，DF， ∵∠DFE＝∠C＝45°， ∴点D、F、P、C四点共圆， ∴∠DPF+∠DCF＝180°， ∴∠DPF＝90°， ∴DP＝DF•sin45°； 综上，DP的长为或． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角比等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．（2025秋•嘉定区期末）如图1，在△ABC和△ADE中，点E在△ABC内，BA＝BC，DA＝DE，∠ADE＝∠ABC，联结EC，EB和BD，DE与AB相交于点O． （1）求证：△DBA∽△ECA； （2）已知AE＝2，AC＝4，如图2，当D、E、C三点共线时， ①求的值； ②如果EC＝3，求∠ABC的正弦值． 【分析】（1）由题易得，∠BAC＝∠DAE，即可得证； （2）①导角易得BD∥AE，可得，再证△OAE∽△OCA，可得2，即可得解； ②由△OAE∽△OCA，可得OC＝AC＝4，则∠ACE＝180°﹣2α＝∠ABC，再解△AEC即可得解． 【解答】（1）证明：∵BA＝BC，DA＝DE， ∴， ∵∠ADE＝∠ABC， ∴△BAC∽△DAE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DBA∽△ECA； （2）解：①由（1）知∠DAE＝∠BAC， ∴设∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠DEA＝α，∠AEC＝180°﹣α， 由（1）可得△DBA∽△ECA， ∴∠BDA＝∠CEA＝180°﹣α， ∵∠ADE＝180°﹣2α， ∴∠BDE＝∠BDA﹣∠ADE＝α， ∴∠BDE＝∠DEA， ∴BD∥AE， ∴△BDO∽△AEO， ∴， ∵∠DEA＝∠BAC＝α，∠AOE＝∠COA， ∴△OAE∽△OCA， ∴2， ∴2； ②由①知△OAE∽△OCA， ∴2， 设OE＝x，则OA＝2x， ∴OC＝4x， ∴CE＝OC﹣OE＝3x＝3， 解得x＝1， ∴OC＝4＝AC， ∴∠ACE＝180°﹣2α＝∠ABC， 过E作EF⊥AC于点F， 设AF＝a，则CF＝4﹣a， 在Rt△AEF中，EF2＝AE2﹣AF2＝4﹣a2， 在Rt△CEF中，EF2＝CE2﹣CF2＝9﹣（4﹣a）2， 则有4﹣a2＝9﹣（4﹣a）2， 解得a， ∴EF， ∴sin∠ABC＝sin∠ACE． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角比、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（2025秋•杨浦区期末）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中．那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 （1）小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2到图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． （2）小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形BGHC，你能证明矩形BGHC是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 （3）将一张矩形纸片ABCD（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F； ③沿过点E的直线折出矩形ENCD，折痕EN交线段CG于点M，连接MH． 如果MH⊥EN，请说明点G是线段AB的黄金分割点． 【分析】（1）设AB＝CD＝2k，分别表示从CG＝（1）k，BG＝（）k，即可得解； （2）根据角平分线可得，易证，再根据△CMF∽△CGB，即可得证； （3）先依据题意画出图形，设AB＝1，BG＝a，则AG＝1﹣a，EN＝1，可得CN＝EH＝DE，再证△EMH∽△EAG，建立方程求出a值，即可得证． 【解答】解：（1）设AB＝CD＝2k，则BF＝CF＝k， ∴DF＝FGK， ∴CG＝（1）k，BG＝（）k， ∴，， ∴矩形DCGH、矩形ABGH为黄金矩形； （2）如图，记EF与CG交于点M， 设正方形边长为2k，则AB＝CD＝BC＝AD＝2k，DE＝CF＝k， ∴CEk， ∵∠BCG＝∠ECG， ∴， ∴， ∴MFEFk， ∵MF∥BG， ∴△CMF∽△CGB， ∴， ∴矩形BGHC为黄金矩形； （3）示意图如图所示： 设AB＝1，BG＝a，则AG＝1﹣a，EN＝1， 由折叠可知EG＝BG＝a，∠CEG＝∠CBG＝90°， ∴AE， ∵∠AEN＝∠CEG＝90°， ∴∠AEG＝∠CEN， ∵∠A＝∠ENC＝90°， ∴△EAG∽△ENC， ∴，即， ∴CNDE， 由折叠的性质可知EH＝DE， ∵AB∥EN，∠ABE＝∠GEB， ∴∠GEB＝∠NEB， ∵BE⊥CG， ∴EG＝EM＝a， ∵∠A＝∠EMH＝90°，∠AEG＝∠MEH， ∴△EMH∽△EAG， ∴，即， 整理得a2﹣a+1＝0， 解得a（负值舍去）， ∴， ∴点G为线段AB的黄金分割点． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、黄金分割点等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•奉贤区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在射线BA上，点F在射线BC上，且DF⊥DE，射线EF与对角线AC交于点G，与射线DC交于点M． （1）当点E在线段BA上时，求∠DFM的正切值； （2）当G是AC中点时，求的值； （3）当BC＝3，且△DGM与△DCF相似时，直接写出AE的长． 【分析】（1）先证明△DAE∽△DCF，即可得到，再根据AB＝2BC，得出tan∠DFM； （2）设DA＝x，CM＝y，得到CD＝2x＝AB，BC＝DA＝x，DM＝2x﹣y，利用△DCF∽△DAE和DC∥AB，得出，得到； （3）分①当点E在线段AB上，②当点E在BA延长线上时，两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAE＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠DAE＝∠DCF＝90°， ∵ED⊥DF， ∴∠EDM+∠FDC＝90°， ∵∠EDM+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠FDC， ∴△DAE∽△DCF， ∴， ∵AB＝2BC， ∴tan∠DFM； （2）设DA＝x，CM＝y， ∴CD＝2x＝AB，BC＝DA＝x， ∴DM＝2x﹣y， ∵G是AC的中点， ∴EB＝DM＝2x﹣y，AE＝MC＝y， ∵△DCF∽△DAE， ∴2， ∴FC＝2y， ∵DC∥AB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴DM＝2x， ∴； （3）①当点E在线段AB上， ∵△DGM∽△DCF， ∴∠GDM＝∠FDC， ∵∠ADE＝∠FDC， ∴∠GDM＝∠ADE， ∵∠GDM＝∠BFE， ∴∠ADE＝∠BFE， ∵tan∠ADE，tan∠BFE， ∴， 设AE＝x，则BE＝6﹣x，AD＝3，CF＝2x， ∴BF＝BC+CF＝3+2x， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴AE； ②当点E在BA延长线上时， 同理：tan∠ADE＝tan∠BEF， ∴， 设AE＝x，则BE＝6+x，CF＝2x， ∴BF＝3﹣2x， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴AE； 综上所述：AE或． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【作业2】（2024秋•闵行区期末）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＞90°，点D在边AC上，直线l经过点D，与线段AB交于点E，且点A关于l的对称点A′在射线AB上． （1）如图2，当点A′与点B重合时，求证：BC2＝AD•AC； （2）当点A′在线段AB的延长线上时，联结A′C，BC交A′D于点F． i）当直线BC经过△A′CD的重心时，求的值； ii）如果△A′FC是直角三角形且AB＝2BA′，求∠A的正切值． 【分析】（1）证明△ABC∽△ADB，得出，则可得出结论； （2）i）延长CF至G，使GF＝CF，连接A'G，证明△DFC≌△A'FG（SAS），得出∠A'GB＝∠DCF，证出BG＝A'B，则可得出答案； ii）分三种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【解答】（1）证明：由题意知AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2＝AD•AC， ∵AB＝BC， ∴BC2＝AD•AC； （2）解：i）延长CF至G，使GF＝CF，连接A'G， ∵直线BC经过△A′CD的重心， ∴DF＝A'F， ∵∠DFC＝∠A'FG，CF＝GF， ∴△DFC≌△A'FG（SAS）， ∴∠A'GB＝∠DCF， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB， ∴∠A'GB＝∠ACB＝∠A'AC＝∠BA'G， ∴BG＝A'B， ∴AA'＝CG＝2CF， ∴； ii）当∠A'CF＝90°时显然不成立． 当∠A'FC＝90°时， ∵∠A'BF＝∠A+∠ACB＝2∠A， ∴∠A'BF+∠BA'F＝90°， ∴3∠AA'D＝90°， ∴∠AA'D＝∠A＝30°， ∴tan∠A； 当∠CA'F＝90°时，连接BD， ∵∠DA'B＝∠DCB， ∴D，B，A'，C四点共圆， ∴∠DBC＝∠CA'F＝90°， 设A'B＝2x，DE＝y， ∴AB＝4y， ∴AE＝A'E＝3x， ∴BE＝A'E﹣A'B＝x， ∴DB， ∵∠A＝∠BCA， ∴tan∠A＝tan∠BCA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴tan∠A， ∴综上所述，∠A的正切值为或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【作业3】（2024秋•长宁区期末）已知在△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠ADE＝∠BDF，联结EF． （1）如图1，如果BDAB，DE⊥EF，求∠EDF的余切值； （2）如图2，联结CD交EF于点G，如果，求的值； （3）如果AE＝2，EC＝1，∠CEF＝∠AED，△ADE与△EFC相似，求AD的长． 【分析】解：（1）先证明△DAE∽△DBF，得出cos∠EDF，即可得到cot∠EDF； （2）过点E作 EM∥AB交CD于M，过点F作 FN∥AB交CD于N，得到，，，由此得出，再根据，得出，得到； （3）由题意得，△DAE∽△DBF∽△EFC，需分类讨论，①当∠EFC＝∠B 时，②当∠ECF＝∠B 时，两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵∠ADE＝∠BDF， ∴△DAE∽△DBF， ∴， ∴cos∠EDF， ∴cot∠EDF； （2）过点E作 EM∥AB交CD于M，过点F作 FN∥AB交CD于N， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由题意得，△DAE∽△DBF∽△EFC，需分类讨论， ①当∠EFC＝∠B 时，易得△ADE∽△DBF，△DBF∽△ACB，即 AD＝DB， 设 AD＝x， 由，得：， 解得：； ②当∠ECF＝∠B 时，△ABC 为等边三角形， 设 AD＝x，则 BD＝3﹣x，，， ∴，即， 解得； 综上所述：AD或． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，分类讨论等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【作业4】（2024秋•宝山区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点E、F分别在边AC、AB上（不与端点重合），BE⊥CF，垂足为点D． （1）当CE＝1时，求AF的长； （2）当BE＝CF时，求tan∠CBE值； （3）联结EF，如果△AEF是直角三角形，求这时四边形BCEF的面积． 【分析】（1）过F作FH⊥AC，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得，，设FH＝2x，则AH＝3x，CH＝4x，所以AC＝AH+CH＝7x＝3，求出x值，再利用勾股定理求出AF即可； （2）同（1）思路，证△FHC≌△ECB（AAS），即可得解； （3）分两种情况讨论，∠AEF为直角或∠AFE为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可． 【解答】解：（1）过F作FH⊥AC，垂足为点H，则∠FHC＝90°＝∠BCE， ∵BF⊥CE， ∴∠CDB＝90°， ∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴tan∠1＝tan∠2，即， tanA， 设FH＝2x，则AH＝3x，CH＝4x， 在Rt△AFH中，AFx， ∵AC＝AH+CH＝7x＝3， ∴x， ∴AFx； （2）过F作FH⊥AC，垂足为点H， 由（1）知，∠1＝∠2， ∵∠ECB＝∠FHC＝90°，CF＝BE， ∴△FHC≌△ECB（AAS）， ∴BC＝CH＝2，FH＝CE， ∴AH＝AC﹣CH＝1， ∵tanA， ∴FHCE， ∴tan∠CBE； （3）①当∠AEF＝90°时，如图， 此时FE∥BC， ∵tanA， ∴设EF＝2x，则AE＝3x， ∴EC＝3﹣3x， ∵3﹣3x＞0， ∴x＜1， ∵∠1＝∠2，∠BCE＝∠CEF＝90°， ∴△CBE∽△ECF， ∴，即， 解得x， ∵x＜1， ∴x， ∴S四边形BCEF＝S△ABC﹣S△AFE ＝3﹣3x2 ； ②当∠AFE＝90°时，如图， ∵∠1＝∠2，∠BDC＝∠EDC， ∴△EDC∽△CDB， ∴，即CD2＝BD•ED， 同理△DEF∽△DFB，得DF2＝DE•DB， ∴CD2＝DF2，即CD＝DF， 又∵ED⊥CF， ∴EF＝EC， ∵tanA， ∴设EF＝2x＝CE，则AF＝3x， ∴AEx， ∴AC＝AE+CE＝（）x＝3， 解得x， ∴S四边形BCEF＝S△ABC﹣S△AFE ＝3﹣3x2 ； 综上，四边形BCEF的面积为或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，最后一问识别射影定理是解题关键． 【作业5】（2024秋•金山区期末）已知三角形ADE的顶点E在三角形ABC的内部，点D、点E在直线AC同侧． （1）如图1，联结BD、BE、CE，若△ABC和△ADE是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．CE：DE＝1：2，求S△ADE：S△ABC的比值； （2）如图2，联结BD、BE、CE，∠BAC＝∠DAE＝n°（0＜n＜90），若AB＝AC，AD＝AE，求∠BEC﹣∠DBE的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC，点E在高BH上，点D在HB的延长线上，联结AE并延长交边BC于点F，联结DF，DA，若∠DAE＝∠ABH，△ABD与△BDF相似时，求EH的长． 【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，设DH＝HE＝CE＝a，则AHa，CH＝DE＝2a，勾股定理求出AC，证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质即可解答； （2）证明△ADB≌△AEC（SAS），利用三角形内角和定理及角的等量代换即可解答； （3）①根据题意及角的等量代换求得DF＝AF，设DF＝AF＝5k，AD＝6k，利用相似三角形的性质求出CF，过点F作FG⊥AC于点G，求出FG，AG，根据tan∠FAG，列式求解即可；②证明△ABD≌△FBD（ASA），得到AD＝FD，则E、H重合，C、F重合，即可解答． 【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥CD于点H， ∵△ADE是等边三角形， ∴DH＝HE＝CE， 设DH＝HE＝CE＝a，则AHa，CH＝DE＝2a， 在Rt△AHC中，ACa， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴△ABC∽△ADE， ∴； （2）如图， ∵∠BAC＝∠DAE＝n°， ∴∠DAB＝∠EAC， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）， ＝180°﹣[180°﹣（∠BAC+∠2+∠3）] ＝∠BAC+∠2+∠3 ＝∠BAC+∠1+∠3 ＝n°+∠DBE， ∴∠BEC﹣∠DBE＝n°； （3）①如图，∠1＝∠2时， ∵AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC， ∴AH＝CH＝4，∠ABH＝∠CBH， ∵∠ABH＝∠1+∠DAB，∠DAE＝∠3+∠DAB，∠DAE＝∠ABH ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ADF＝∠DAF， ∴DF＝AF， 设DF＝AF＝5k，AD＝6k， ∵△ABD∽△DBF， ∴， 即， ∴BF＝（）2， ∴CF＝5， 过点F作FG⊥AC于点G， ∴FG，CG， ∴AG＝8， ∴tan∠FAG， ∴， 解得EH； ②如图，∠1＝∠2时， ∵AB＝BC，BH⊥AC， ∴∠ABH＝∠CBH， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD≌△FBD（ASA）， ∴AD＝FD， ∴E、H重合，C、F重合， ∴EH＝0， 综上，EH或0． 【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业6】（2024秋•嘉定区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，点D在AB边上（不与点A重合），点E是边AC上的点，且满足CD＝CE，设k＝tanB． （1）求证：∠CDE＝∠BCD+45°； （2）如图2，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，求证：DE（CH﹣DH）； （3）设点F是CD的中点，联结EF并延长交边BC于点G，当△CFG与△BCD相似时，求k的值． 【分析】（1）设∠BCD＝α，则∠B＝90°﹣α，在结合等腰三角形的性质即可推出结论； （2）过点E作EM⊥BC于点M，过D作DN⊥EM 于点N，证明△CDH≌△CEM（AAS），得出EM＝CH可推出结论； （3）分①当∠CFG＝∠BDC＝90°时，②当∠CGF＝∠BDC＝90°时，两种情况分别求解即可． 【解答】（1）证明：设∠BCD＝α， ∴∠B＝90°﹣α， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝90°﹣α， ∴∠ECD＝90°﹣2α， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠CDE+∠CED+∠ECD＝180°， ∴∠CDE＝45°+α， ∴∠CDE＝∠BCD+45°； （2）证明：过点E作EM⊥BC于点M，过D作DN⊥EM 于点N， 则四边形DHMN为矩形，△EMC为Rt△， ∵DM∥BC， ∴∠NDC＝∠BCD＝α， ∴∠EDN＝∠DEN＝45°， ∴，∠CEM＝α， 在Rt△CDH和 Rt△CEM中， ∵∠CHD＝∠CME＝90°，∠DCH＝∠CEM＝α，CD＝CE， ∴△CDH≌△CEM（AAS）， ∴EM＝CH， ∴CH﹣DH＝EM﹣DH＝EM﹣NM＝EN， ∵， ∴； （3）解：∵△CFG与△BCD相似， ∴①当∠CFG＝∠BDC＝90°时， ∵点F是CD的中点， ∴由三线合一，得 ED＝EC， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠EDC＝60°， 即∠BCD＝15°，∠CBD＝75°， ∴∠EGC＝∠C＝75°， 设FC＝FD＝m，则CD＝CE＝2m， ∴在Rt△CEF中，EFm， ∵EF⊥CD，BD⊥CD， ∴EF∥BD， ∴∠EGC＝∠CBD＝∠ECG， ∴EG＝EC＝2m， ∴FG＝（2）m， ∴k＝tanB； ②当∠CGF＝∠BDC＝90°时， 则∠CFG＝∠B＝∠ECG， 又∵∠CGF＝∠CGE， ∴△CGF∽△CGE， ∴， 又∵，∠B＝∠ECG， ∴k的值为2或2． 【点评】本题是相似综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【作业7】（2024秋•浦东新区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，联结EG． （1）如图1，如果PC＝2OP，求证：EG∥AC； （2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似，请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出，则可得出结论； （2）证明△DGE∽△PFC∽△ABC，设CE＝4k，那么PE＝6k，PG＝9k，得出，DE＝13k．求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形ABCD为菱形．设FB＝FG＝a，PF＝FC＝CE＝b，求出，得出，证明△DGA∽△DAB．设∠DAG＝∠DBA＝∠ADB＝α，那么∠BAG＝∠BGA＝2α．求出α＝36°，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵PC＝2PO，PG∥CD， ∴， 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， ∴， 又∵PE∥AD， ∴， ∴， ∴EG∥OC； （2）解：如图2， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． ∴OC＝OD， ∴∠GDE＝∠PCE＝∠CPF， 又∵∠CFP＝∠ABC＝90°，且∠DEG＜90°， ∴只能∠DGE＝90°，∠DEG＝∠PGE＝∠PCF． ∴此时有：△DGE∽△PFC∽△ABC， 设CE＝4k，那么PE＝6k，PG＝9k， ∴EG3k，DE＝13k． ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵BA＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形． 设FB＝FG＝a，PF＝FC＝CE＝b， ∴GP＝a﹣b． ∵GP∥CE， ∴， ∴， ∴a2﹣ab﹣b2＝0， ∴， ∴（负根已舍）． ∴， ∴， ∴， 又∵∠ADG＝∠BDA， ∴△DGA∽△DAB． ∴设∠DAG＝∠DBA＝∠ADB＝α，那么∠BAG＝∠BGA＝2α． ∴5α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠ABC＝72°． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【作业8】（2024秋•杨浦区期末）已知△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC上，CD＝3BD． （1）如图1，当AB＝6，sinC时，求AD的长； （2）点E是AC边上一点，满足∠ADB＝∠ADE． ①如图2，当CD2＝CE•CA时，求的值； ②当△CDE是等腰三角形时，求∠C的余弦值． 【分析】（1）可先求得tanC，进而得出BC的值，进而得出BD的值，进一步得出结果； （2）①作AF⊥DE于F，可证得△CDE∽△CAD，从而∠CDE＝∠DAE，，可证得∠ADE＝∠AED，从而得出AD＝AE，从而得出DF＝EF，可证得BD＝DF，故可设BD＝DF＝a，则DE＝2DF＝2a，CD＝3BD＝3a，从而得出，故可设AD＝2x，则AC＝3x，从而得出CE＝x，根据CD2＝CE•CA得出（3a）2＝x•3x，从而得出x，AD＝2，从而得出ABa，进一步得出结果； ②分三种情形：当DE＝CE时，作EF⊥BC于F，作AG∥BC，交DE的延长线于点G，可得出CF＝DF，∠GAD＝∠ADB，△AEG∽△CED，从而得出，可证得AG＝DG，根据EF∥AB得出，故可设DE＝CE＝3b，AE＝5b，从而得出，从而得出AG＝5a，EG＝5b，故5a＝8b，进一步得出结果；当CD＝CE＝3a时，设AE＝b，作AG∥CB，作GF⊥AD于F，可证得AG＝AE＝b，结合AG＝DG，∠ADB＝∠DAG可得出AF＝DF，可证得△AGF∽△DAB，从而得出，从而得出，结合AD2＝BD2+AB2，AB2＝AC2﹣BC2＝（3a+b）2﹣（4a）2得出ab，从而得出b＝﹣2a，进一步得出结果；可推出DE＝CD情况不成立． 【解答】解：（1）∵sinC，∠B＝90°， ∴tanC， ∴BC＝12， ∵CD＝3BD， ∴BDBC＝3， ∴AD3； （2）①如图1， 作AF⊥DE于F， ∵CD2＝CE•CA，∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAD， ∴∠CDE＝∠DAE，， ∵∠CDE+∠ADE+∠ADB＝180°，∠ADE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵∠ABD＝∠ADE，∠B＝90°， ∴BD＝DF， 设BD＝DF＝a，则DE＝2DF＝2a，CD＝3BD＝3a， ∴， ∴， 设AD＝2x，则AC＝3x， ∴CE＝AC﹣AE＝x， ∵CD2＝CE•CA， ∴（3a）2＝x•3x， ∴x， ∴AD＝2， ∴ABa， ∴； ②如图2， 当DE＝CE时， 作EF⊥BC于F，作AG∥BC，交DE的延长线于点G， ∴CF＝DF，∠GAD＝∠ADB，△AEG∽△CED， ∴， ∵∠ADB＝∠ADE， ∴∠GAD＝∠ADE， ∴AG＝DG， ∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∴EF∥AB， ∴， ∴可设DE＝CE＝3b，AE＝5b， ∴， ∴AG＝5a，EG＝5b， ∴5a＝8b， ∴cosC， 如图3， 当CD＝CE＝3a时，设AE＝b， 作AG∥CB，作GF⊥AD于F， ∴△AGE∽△CDE， ∴， ∴AG＝AE＝b， 由上知， AG＝DG，∠ADB＝∠DAG， ∴AF＝DF， ∵∠B＝∠AFG， ∴△AGF∽△DAB， ∴， ∴， ∴， ∵AD2＝BD2+AB2，AB2＝AC2﹣BC2＝（3a+b）2﹣（4a）2， ∴ab， 化简得， b2+4ab﹣6a2＝0， ∴b＝﹣2a或b＝﹣2a（舍去 ）， ∴AC＝AE+CE＝b+3a＝a， ∴cosC， 如图4， 当DE＝CD时，∠C＝∠DEC， ∵∠ADE＝∠C+∠DEC， ∴∠ADB+∠ADE＝∠C+∠DEC， ∴∠ADB＝∠C， ∴AD∥AC， 与AD和AC相交矛盾， ∴此种情形不成立， 综上所述：∠C的余弦值为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 【作业9】（2024秋•黄浦区期末）已知平行四边形ABCD中，AB＝9，BC＝5，，P是边AB上一动点，过点P作PE⊥PC，交射线CD于点E，交AC于点H，F是PE上的点，，联结CF． （1）求证：∠BAC＝∠PCF； （2）当△APC∽△EFC时，求线段BP的长； （3）当时，求的值． 【分析】（1）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由求出CG＝4，由勾股定理的出BG＝3，AG＝6，所以，由∠CPF＝90°，，得到，进而可得出结论； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系证出∠PCA＝∠FCD，由△APC∽△EFC，得到∠APC＝∠EFC，∠BPC＝∠PFC，所以tan∠BPC＝tan∠PFC，求出，进而可求出BP的长； （3）过点H作 HM⊥AB，垂足为点M，根据，得到，证明出△MPH∽△GCP，可得，由，可得，然后分两种情况讨论：①当点F在线段PH的延长线上时；②当点F在线段PH上时；即可解答． 【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为点G， ∵BC＝5，∠BGC＝90°， ∴， ∴CG＝4， ∴， ∵AB＝9， ∴AG＝AB﹣BG＝6， ∵∠AGC＝90°， ∴， ∵∠CPF＝90°，， ∴， ∵∠BAC＝∠PCF＜90°， ∴∠BAC＝∠PCF； （2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵∠PCF＝∠BAC， ∴∠PCF＝∠ACD， ∴∠PCA＝∠FCD， ∵△APC∽△EFC， ∴∠APC＝∠EFC，∠BPC＝∠PFC， ∴tan∠BPC＝tan∠PFC， ∴， ∴， ∴； （3）过点H作HM⊥AB，垂足为点M， ∵∠FPC＝90°， ∴∠MPH+∠CPG＝180°﹣∠FPC＝90°， ∵∠CPG+∠PCG＝90°， ∴∠MPH＝∠PCG， ∵∠HMP＝∠CGP＝90°， ∴△MPH∽△GCP， ∴， ∵， ∴， ①当点F在线段PH的延长线上时， 由，可得， 设MH＝a， ∴GP＝2a，MP＝2，， ∴2aa+2+3＝9， ∴， ∵∠AMH＝∠AGC＝90°， ∴△AMH∽△AGC， ∴； ②当点F在线段PH上时，可得PH＝PC， 设MH＝b， ∴GP＝b，MP＝4，， ∴， ∴， ∵∠AMH＝∠AGC＝90°， ∴△AMH∽△AGC， ∴； 综上所述：的值为或． 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 【作业10】（2024秋•普陀区期末） 在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系，这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知△ABC是“线垂”三角形，AB＜BC，∠ABC是△ABC的“分角”． （1）如图1，BD是△ABC 的角平分线，AE是△ABC 的中线，AE与BD相交于点F．求BF：FD的值． （2）在图2 中画△ABC 的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由． （3）在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【分析】（1）过点E作EG∥BD，交AC于点G，由题易得，，进而推出，进而得解； （2）根据“线垂”三角形的定义构造邻边之比1：2即可得解； （3）依题意作出角平分线，导角证边可得BA＝BNBC＝CN，作倍长中线：延长AN至点G，使NG＝ON，联结CG，易证△BON≌△CGN（SAS），进而利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）过点E作EG∥BD，交AC于点G， 由∠ABC是“线垂”三角形ABC的“分角”，AB＜BC， 可知BC＝2AB， ∵AE是△ABC 的中线， ∴BC＝2BE， ∴AB＝BE， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴AF＝EF， ∵EG∥BD， ∴，， ∴， ∴BF：FD的值等于3； （2）在边BC上取点M，使BMAB，联结AM，那么△ABM是“线垂三角形”，∠B是“分角”； 可得， ∵∠B为公共角， ∴△ABM∽△CBA， ∴， ∴△ACM也是“线垂三角形”，∠MAC是“分角”； （3）作∠B和∠CAM的平分线，交点为O，联结OC，延长AO，交边BC于点N， 可得∠ANB＝∠ACB+∠NAC， 又∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN，∠BAM＝∠ACB， ∴∠ANB＝∠BAN， ∴BA＝BNBC， ∴BO⊥AN，ON＝OA＝a，BN＝CN， 延长AN至点G，使NG＝ON，联结CG， 在△BON和△CGN中， ， ∴△BON≌△CGN（SAS）， ∴CG＝OB＝b，∠CGN＝∠BON＝90°， 在Rt△OGC中，由勾股定理得（2a）2+b2＝c2， 即4a2+b2＝c2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的三条重要线段、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业11】（2024秋•青浦区期末）已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD，点E在边AB上，AE＝1，BE＝2，联结DE． （1）如图1，联结EC，求△EAD与△EBC的面积之比； （2）如图2，如果∠EDC＝90°，∠DEC＝∠DCB，求∠B的正切值； （3）如图3，联结AC交DE于点F，如果DA2＝DF•DE，且，求边BC的长． 【分析】（1）延长DE，交CB的延长线于点F，可证得△ADE∽△FBE，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长DE，交CB的延长线于点F，设CD＝3a作EG⊥CF于G，可证得EF＝2DE，△CDE∽△FDC，从而CD2＝DE•DF，进而得出，从而得出∠DCB＝60°，∠F＝30°，从而得出CF＝6a，DF＝3，进而得出BF＝2a，EF＝2，EG，FG3a，BG＝a，进一步得出结果； （3）设AD＝a，AT＝b，以D为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于点H，作DT⊥AH于T，从而DH＝AD＝a，AH＝2AT＝2TH＝2b，∠H＝∠HAD＝∠B，可证得△ADF∽△EDA，从而∠DAC＝∠AED，从而得出△HED∽△BCA，从而得出，根据cos∠DAH＝cosB，根据，从而得出，从而，进一步得出结果． 【解答】解：（1）如图1，延长DE，交CB的延长线于点F， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△FBE， ∴， ∵BC＝4AD， ∴BC＝2BF， ∴， ∴； （2）如图2， 延长DE，交CB的延长线于点F，作EG⊥CF于G， ∵∠DEC＝∠DCB， ∴∠F+∠ECF＝∠DCE+∠ECF， ∴∠DCE＝∠F， ∵∠CDE＝∠CDF， ∴△CDE∽△FDC， ∴， ∴CD2＝DE•DF， 由（1）知， △ADE∽△FBE， ∴，， ∴EF＝2DE， ∴DF＝3DE， ∴CD2＝3DE2， ∴， ∵∠EDC＝90°， ∴∠CED＝60°， ∴∠DCB＝60°，∠F＝30°， 在Rt△CDF中，设CD＝3a，则CF＝6a，DF＝3， ∴BF＝2a，EF＝2， 在Rt△EFG中， EG，FG3a， ∴BG＝FG﹣BF＝3a﹣2a＝a， ∴tanB， （3）如图3， 设AD＝a，AT＝b， 以D为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于点H，作DT⊥AH于T， ∴DH＝AD＝a， ∴AH＝2AT＝2TH＝2b，∠H＝∠HAD， ∵AD∥BC， ∴∠B＝HAD，∠DAC＝∠ACB， ∴∠H＝∠B， ∵DA2＝DF•DE，∠ADF＝∠ADE， ∴△ADF∽△EDA， ∴∠DAC＝∠AED， ∴∠AED＝∠ACB， ∴△HED∽△BCA， ∴， ∵cos∠DAH＝cosB， ∴， ∴， ∴， ∴a， ∴BC＝4a＝2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 【作业12】（2024秋•静安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC中点，E在BA延长线上，F在AC边上（F不与点A、C重合），∠EDF＝∠B． （1）求证：△BDE∽△CFD； （2）求证：ED平分∠BEF； （3）设CF＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （4）联结AD、CE，如果四边形ADCE有两个内角互补，求CF的长． 【分析】（1）先证明∠B＝∠C，∠BED＝∠CDF，即可得证△BDE∽△CFD； （2）根据△BDE∽△CFD和D是BC中点，得出△DEF∽△CDF，得证ED平分∠BEF； （3）过F作FH⊥BC于H，根据CF＝x，EF＝y，得出，，，根据△DEF∽△CDF，得出，得到（）； （4）分情况讨论即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠EDF＝∠B， ∴∠BED＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）证明：∵△BDE∽△CFD， ∴， ∵D是BC中点， ∴BD＝CD， ∴， ∵∠EDF＝∠B＝∠C， ∴△DEF∽△CDF， ∴∠DEF＝∠CDF＝∠BED， ∴ED平分∠BEF； （3）解：过F作FH⊥BC于H， ∵CF＝x，EF＝y， ∴，，， ∵△DEF∽△CDF， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（）； （4）解：由题意，分类讨论， ①当∠DCE＝90°时，， ∴， ∴CF＝x； ②当∠AEC＝90°时，， ∴， ∴CF＝x； ③当∠DAE＝90°时显然不成立； 综上所述，或． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论，等腰三角形的性质等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【作业13】（2024秋•松江区期末）在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．点E、F分别在边AB、BC上，AF⊥DE，垂足为点H． （1）求AF：DE的值； （2）当HF＝2EH时，求AE的长； （3）联结CH，如果△CDH是等腰三角形，求∠EDC的正切值． 【分析】解：（1）先证明△BAF∽△ADE，得出； （2）设EH＝x，tan∠AEH＝k，则 FH＝2x，AH＝kx，DH＝k2x，DE＝（k2+1）x，AF＝（k+2）x，根据，求出k值，即可得到AE的长； （3）分情况讨论即可：①CD＝HD＝8时；②当CD＝CH＝8时；③当HC＝HD时；画出图形求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠AFB＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AHE＝90°， ∴∠BAF+∠AEH＝90°， ∴∠AFB＝∠AEH， ∴△BAF∽△ADE， ∴； （2）设EH＝x，tan∠AEH＝k，则 FH＝2x，AH＝kx，DH＝k2x，DE＝（k2+1）x，AF＝（k+2）x， ∵， ∴4k2﹣5k﹣6＝0， 解得：k＝2或k（舍）， 即AEAD＝5； （3）①当CD＝DH＝8时， ∵AD＝10， ∴AH6， ∵∠EDC+∠ADH＝∠ADH+∠DAH＝90°， ∴∠EDC＝∠DAH， ∴tan∠EDC＝tan∠DAH； ②当 CD＝CH＝8时，如图，过点C作CN⊥DH，垂足为点G，交AD于N，则 HG＝DG， ∵AF⊥DE， ∴AF∥NC， ∴AN＝ND＝5，AN＝FC＝BF＝5， 由（1）知△BAF∽△ADE， ∴， ∴， ∴； ③当DH＝CH时，如图，过点H作 HP⊥CD，则 CP＝DP ∵AD∥HP∥FC， ∴AH＝HF， 联结DF，则AD＝DF＝10， ∵CD＝8， ∴CF6， ∴BF＝4， 由（1）知△BAF∽△ADE， ∴， ∴AE＝5， ∴． 综上所述：或2或． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【作业14】（2024秋•虹口区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，CD＝2，E是CD的中点，AC、BE交于点F，且∠ACD＝2∠EBC． （1）求证：CE＝CF； （2）如果BC＝2AD，求tan∠ABC的值； （3）如果∠ABE＝∠ACB，求的值． 【分析】（1）设∠EBC＝x，根据题意进行角度计算，得出∠CEF＝∠CFE，即可得证； （2）延长BE交AD延长线于H，求出AD的长度，即可得出tan∠ABC的值； （3）过A作 AM⊥BC 于M，根据相似和勾股定理，得出结果． 【解答】（1）证明：设∠EBC＝x，则∠ACD＝2x， ∵∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝90°﹣2x，∠CEF＝90°﹣x， ∵∠CFE＝∠EBC+∠ACB＝x+90°﹣2x＝90°﹣x， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF； （2）解：延长BE交AD延长线于H， ∵E是CD的中点，BC＝2AD， ∴DH＝BC＝2AD， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过A作 AM⊥BC 于M， ∵∠ABE＝∠ACB， ∴△ABF∽△ACB， ∴AB2＝AF•AC， 设BC＝DH＝x，AF＝k， ∴AB2＝AF•AC＝k（k+1），AH＝kx，AD＝CM＝（k﹣1）x，BM＝（2﹣k）x， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴（k+1）2＝（k﹣1）2x2+4， ∴x2， ∵AB2＝AM2+BM2， ∴k（k+1）＝（2﹣k）2x2+4， ∴k2+3k﹣8＝0， 解得：， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【作业15】（2024秋•崇明区期末）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，垂足为D，点F是线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E，AE与BC交于点H，联结CE． （1）求证：； （2）当CE∥AB时，求CE的长； （3）当△CFH是等腰三角形时，求CH的长． 【分析】（1）根据题意∠AEB＝∠ACB，∠AHC＝∠BHE，证明△ACH∽△BEH即可求证； （2）根据题意可得△CHE∽△AHB，则有∠CEH＝∠ABH，由CE∥AB，得到AH＝BH，如图所示，作HG⊥AB，垂足是G，由勾股定理、三角函数的计算得到，在Rt△BHG中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当∠CFH＝∠CHF时，可证AH平分∠CAB，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得HG；第二种情况：当∠CHF＝∠HCF时，可得tan∠CHF＝tan∠CAB，则，即，即可求解；第三种情况：当∠HCF＝∠HFC时，结合（2）的计算即可求解． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AF， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AEB＝∠ACB， ∵∠AHC＝∠BHE， ∴△ACH∽△BEH， ∴即； （2）解：∵，∠CHE＝∠AHB， ∴△CHE∽△AHB， ∴∠CEH＝∠ABH， ∵CE∥AB， ∴∠CEH＝∠HAB， ∴∠ABH＝∠HAB， ∴AH＝BH， 如图所示，作HG⊥AB，垂足是G， ∵HG⊥AB， ∴， 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，， ∴BG＝5， 在Rt△BHG中，， ∴， ∴， ∴， ∵CE∥AB， ∴，即， ∴； （3）解：①当∠CFH＝∠CHF时， ∵∠CFH＝∠AFD， ∴∠CHF＝∠AFD， ∵∠CHF+∠CAH＝∠AFD+∠FAD＝90°， ∴∠CAH＝∠FAD， ∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，HG⊥AB， ∴CH＝HG， ∵AH＝AH，CH＝GH， ∴△ACH≌△AGH（HL）， ∴AG＝AC＝6， ∴BG＝AB﹣AG＝4， 在Rt△BHG中，， ∴，即CH＝3； ②当∠FHC＝∠FCH时， ∵∠HCF＝∠CAB， ∴∠CHF＝∠CAB， ∴tan∠CHF＝tan∠CAB， ∴，即， ∴； ③当∠HCF＝∠HFC时， ∵∠CFH＝∠AFD， ∴∠HCF＝∠AFD， ∵∠HCF+∠ABC＝∠AFD+∠FAD＝90°， ∴∠ABC＝∠FAD， ∵∠ABC＝∠CEA， ∴∠FAD＝∠CEA， ∴CE∥AB， 由（2）可知，在Rt△BHG中，， ∴， ∴， ∴，即； 综上所述，CH＝3或或． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 【作业16】（2024秋•静安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值． 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答； （3）根据相似三角形的性质分两种情况解答． 【解答】解：（1）∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， 在Rt△EAD与Rt△DCF中， ， ∴△EAD∽△FCD， ∴， ∴tan∠EFD， （2）由（1）可知FC＝2EA＝2x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴△FCH∽△FBE， ∴， ∴， 可得：y（0＜x＜2）； （3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE，EH， ∴， ∴EG， ∵∠BEG＝∠DHE， 若△BEG与△DHE相似，则有两种情况， 第一种： ∵∠EGB＝∠HED， ∴， ∴， 即， 解得：x， 第二种： ∵∠EGB＝∠HDE， ∴， ∴， 即， 解得：x＝1.5． 综上所述，x的值为或1.5． 方法2：延长BG交CD于点P， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DHE， ∴当△EDH∽△BEG时，可以有以下两种情况： ①当∠DEH＝∠BGE时，ED∥BG， ∵AB∥CD， ∴四边形BEDP是平行四边形， ∴EB＝DP＝2﹣x， ∴PC＝x， ∴DH＝y， ∴HC＝2﹣y＝2， ∵AB∥CD， ∴，，， ∴， 即（0＜x＜2）， 解得x（负值舍去）， ∴x； （2）当∠DEH＝∠GBE时， ∵BE∥DH， ∴∠DEH＝∠GBE＝∠BPC， ∴tan∠BPC2， ∴， 即（0＜x＜2）， 解得x， 综上所述：x的值为或1.5． 【点评】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市中考数学 一模满分讲义 压轴第25题《几何综合》 精讲+精练+新考纲题型 核心考点 ·考点精讲 1．（2025秋•闵行区期末）如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点． （1）当∠ABC＝90°时． ①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2＝AD•CD； ②如图2，AD＝AE，点F在边BC上，且CF＝CD，顺次联结DE、EF、FD．如果EF＝DF，tan∠EFB，求cotC的值． （2）如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD＝∠ACB，点G在线段DB延长线上，且BG＝BC，联结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，求的值． 2．（2025秋•崇明区期末）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，tanB，点E是AB边上的一点，将△ABC沿着过点E的直线翻折，点A落在BC边上，记作点D，折痕所在的直线与射线AC交于点F，过点D作DG⊥BC，交射线BA于点G． （1）如图1，当点F和点C重合时，求AE的长； （2）如图2，当点F在边AC上时，设BD＝x，tan∠AFE＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域； （3）延长DG，交CA的延长线于点H，当△DFH是以DH为腰的等腰三角形时，求EG的长． 3．（2025秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PD∥y轴，交抛物线于点D，求线段PD长度的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标． 4．（2025秋•静安区期末）在△ABC中，∠BAC＝60°，已知射线AP在∠BAC内部，射线AQ与射线AP在边AB的两侧，∠QAP＝∠BAC，点E、D分别在射线AP、AQ上，AD•AC＝AB•AE． （1）如图，联结DB、CE，求证：∠ABC﹣∠AEC＝∠BDE； （2）如果AP平分∠BAC，线段AE与边BC的公共点为G，AB＝AG＝6，AE＝x，DE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AP⊥BC，垂足为点K，且DE∥AC，AC＝6，，求DE的长． 5．（2025秋•宝山区期末）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边AB上一点（不与点A、B重合），BE⊥AB，且∠CDE＝∠A． （1）当DE∥AC时，求BE的长； （2）当点D在边AB上运动时，的值是否保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生变化，试说明理由； （3）当直线DE与直线AC相交时，记交点为点F，如果△CDF是等腰三角形，求EF的长． 6．（2025秋•浦东新区期末）在△ABC中，∠BAC≥90°，点D为边AC上一点，∠ABD＝∠ACB，CD＝2．将△ABD沿BD翻折得到△A1BD，点A1恰好落在边BC的垂直平分线上． （1）如图1，如果点A1在边BC上，求的值； （2）如图2，如果AD＝CD，求BD的长； （3）如果AB＝CD，求∠BAC的度数． 7．（2025秋•虹口区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB且AC＝AD． （1）求证：2AC2＝CD•AB； （2）联结BD交AC于点E，过点C作CF∥AD交BD于点F． ①过点C作CG⊥AD分别交AD、BD于点G、H，如图2所示．已知AB＝5，，求CF和CH的长； ②如图3，如果F为BE的中点，求的值． 8．（2025秋•长宁区期末）如图1，在△ABC中，D为AC边上一点，始终满足． （1）求证：∠ABD＝∠CBD． （2）在△ABC中，当∠C＝90°时， ①如图2，已知，过点D作ED⊥BD交AB于点E，若△BDE的面积为5，求AC长． ②如图3，E为BD中点，如∠ABC＝2∠DAE，设BE长为x，记AB与BC的差为y，求y关于x的函数关系式及函数定义域． 9．（2025秋•奉贤区期末）如图，在▱ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC，垂足为E，对角线AC垂直平分线MN交AD于点M，交AE的延长线于点N，交AC于点P．已知AD＝8，CD＝5． （1）在△ABE、△AEC、△APN中． ①写出与△AMN一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比； （2）如果AE＝EN，求∠B的正弦值． 10．（2025秋•金山区期末）在四边形ABCD中，点E在边AB上，BE＝3AE，点F在边BC上． （1）如图1，若四边形ABCD为矩形，且BF＝3CF，联结EF、AC，求证：△BEF∽△DCA； （2）如图2，若四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC．请联结FE并延长，交DA的延长线于点G，联结BG，如果BG⊥GD，∠EFB＝2∠GBA，AG＝6，求CD的长； （3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，点F是BC中点，联结DE、AF交于点K，联结CK，过点A作AM∥CK交DK于点M，联结CM，求S△KMC：S△KFC值． 11．（2025秋•黄浦区期末）如图，过菱形ABCD顶点A分别作边BC、CD的垂线，垂足为E、F，交对角线BD于点M、N． （1）求证：BM＝DN； （2）联结EN，如果EN∥AB，求cos∠ABC的值； （3）如果△ABM与五边形CFNME的面积均为1，求菱形ABCD的面积． 12．（2025秋•青浦区期末）△ABC中，已知∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC． （1）如图1，如果AD＝4，DC＝5，求BC的长； （2）如图2，过点A作AC的垂线AP，与边CB的延长线交于点P． ①试猜想线段PC与边AB的数量关系，并证明； ②在线段DB上截取DQ＝DA，连接AQ，当∠PAQ＝2∠BAQ时，探究是否存在实数k，使得AB＝kBQ+PB成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 13．（2025秋•普陀区期末）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，在△DEC右侧作△DCF，使得△DCF∽△DEC，其中点C、F分别与点E、C对应．已知． （1）当点E与点B重合时，求四边形DECF的面积； （2）点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①∠EDF的大小；②DF的长度；③tan∠DFC的值． 其中，变大的量是　 　 ；变小的量是　 　 .（请在批线处填入编号） （3）当四边形DECF的一条对角线平分另一条对角线时，求AE的长． 14．（2025秋•松江区期末）在▱ABCD中，P是边BC上一点，将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处，AE的延长线交射线BC于点F． （1）如图1，当四边形ABCD是矩形时，如果BP＝4，PF＝5，求四边形ABCD的面积； （2）如图2，如果BP＝1，CP＝2，四边形CDEF的面积是，求∠ADP的正弦值； （3）如果AB＝AP且，求的值． 15．（2025秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，，BC＝6，∠C＝45°，点E在边AB上且AE＝2BE，点D是边BC上的动点，以D为直角顶点，DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF，射线EF与边AC交于点P． （1）当EF∥BC，时，求△DEF的面积； （2）当点F落在△ABC内部（不含边界）时，求BD的取值范围； （3）联结CF，如果△DFC是直角三角形，请直接写出DP的长． 16．（2025秋•嘉定区期末）如图1，在△ABC和△ADE中，点E在△ABC内，BA＝BC，DA＝DE，∠ADE＝∠ABC，联结EC，EB和BD，DE与AB相交于点O． （1）求证：△DBA∽△ECA； （2）已知AE＝2，AC＝4，如图2，当D、E、C三点共线时， ①求的值； ②如果EC＝3，求∠ABC的正弦值． 17．（2025秋•杨浦区期末）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中．那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 （1）小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2到图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． （2）小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形BGHC，你能证明矩形BGHC是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 （3）将一张矩形纸片ABCD（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F； ③沿过点E的直线折出矩形ENCD，折痕EN交线段CG于点M，连接MH． 如果MH⊥EN，请说明点G是线段AB的黄金分割点． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•奉贤区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在射线BA上，点F在射线BC上，且DF⊥DE，射线EF与对角线AC交于点G，与射线DC交于点M． （1）当点E在线段BA上时，求∠DFM的正切值； （2）当G是AC中点时，求的值； （3）当BC＝3，且△DGM与△DCF相似时，直接写出AE的长． 【作业2】（2024秋•闵行区期末）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＞90°，点D在边AC上，直线l经过点D，与线段AB交于点E，且点A关于l的对称点A′在射线AB上． （1）如图2，当点A′与点B重合时，求证：BC2＝AD•AC； （2）当点A′在线段AB的延长线上时，联结A′C，BC交A′D于点F． i）当直线BC经过△A′CD的重心时，求的值； ii）如果△A′FC是直角三角形且AB＝2BA′，求∠A的正切值． 【作业3】（2024秋•长宁区期末）已知在△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠ADE＝∠BDF，联结EF． （1）如图1，如果BDAB，DE⊥EF，求∠EDF的余切值； （2）如图2，联结CD交EF于点G，如果，求的值； （3）如果AE＝2，EC＝1，∠CEF＝∠AED，△ADE与△EFC相似，求AD的长． 【作业4】（2024秋•宝山区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点E、F分别在边AC、AB上（不与端点重合），BE⊥CF，垂足为点D． （1）当CE＝1时，求AF的长； （2）当BE＝CF时，求tan∠CBE值； （3）联结EF，如果△AEF是直角三角形，求这时四边形BCEF的面积． 【作业5】（2024秋•金山区期末）已知三角形ADE的顶点E在三角形ABC的内部，点D、点E在直线AC同侧． （1）如图1，联结BD、BE、CE，若△ABC和△ADE是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．CE：DE＝1：2，求S△ADE：S△ABC的比值； （2）如图2，联结BD、BE、CE，∠BAC＝∠DAE＝n°（0＜n＜90），若AB＝AC，AD＝AE，求∠BEC﹣∠DBE的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC，点E在高BH上，点D在HB的延长线上，联结AE并延长交边BC于点F，联结DF，DA，若∠DAE＝∠ABH，△ABD与△BDF相似时，求EH的长． 【作业6】（2024秋•嘉定区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，点D在AB边上（不与点A重合），点E是边AC上的点，且满足CD＝CE，设k＝tanB． （1）求证：∠CDE＝∠BCD+45°； （2）如图2，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，求证：DE（CH﹣DH）； （3）设点F是CD的中点，联结EF并延长交边BC于点G，当△CFG与△BCD相似时，求k的值． 【作业7】（2024秋•浦东新区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，联结EG． （1）如图1，如果PC＝2OP，求证：EG∥AC； （2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似，请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数． 【作业8】（2024秋•杨浦区期末）已知△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC上，CD＝3BD． （1）如图1，当AB＝6，sinC时，求AD的长； （2）点E是AC边上一点，满足∠ADB＝∠ADE． ①如图2，当CD2＝CE•CA时，求的值； ②当△CDE是等腰三角形时，求∠C的余弦值． 【作业9】（2024秋•黄浦区期末）已知平行四边形ABCD中，AB＝9，BC＝5，，P是边AB上一动点，过点P作PE⊥PC，交射线CD于点E，交AC于点H，F是PE上的点，，联结CF． （1）求证：∠BAC＝∠PCF； （2）当△APC∽△EFC时，求线段BP的长； （3）当时，求的值． 【作业10】（2024秋•普陀区期末） 在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系，这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知△ABC是“线垂”三角形，AB＜BC，∠ABC是△ABC的“分角”． （1）如图1，BD是△ABC 的角平分线，AE是△ABC 的中线，AE与BD相交于点F．求BF：FD的值． （2）在图2 中画△ABC 的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由． （3）在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【作业11】（2024秋•青浦区期末）已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD，点E在边AB上，AE＝1，BE＝2，联结DE． （1）如图1，联结EC，求△EAD与△EBC的面积之比； （2）如图2，如果∠EDC＝90°，∠DEC＝∠DCB，求∠B的正切值； （3）如图3，联结AC交DE于点F，如果DA2＝DF•DE，且，求边BC的长． 【作业12】（2024秋•静安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC中点，E在BA延长线上，F在AC边上（F不与点A、C重合），∠EDF＝∠B． （1）求证：△BDE∽△CFD； （2）求证：ED平分∠BEF； （3）设CF＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （4）联结AD、CE，如果四边形ADCE有两个内角互补，求CF的长． 【作业13】（2024秋•松江区期末）在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．点E、F分别在边AB、BC上，AF⊥DE，垂足为点H． （1）求AF：DE的值； （2）当HF＝2EH时，求AE的长； （3）联结CH，如果△CDH是等腰三角形，求∠EDC的正切值． 【作业14】（2024秋•虹口区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，CD＝2，E是CD的中点，AC、BE交于点F，且∠ACD＝2∠EBC． （1）求证：CE＝CF； （2）如果BC＝2AD，求tan∠ABC的值； （3）如果∠ABE＝∠ACB，求的值． 【作业15】（2024秋•崇明区期末）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，垂足为D，点F是线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E，AE与BC交于点H，联结CE． （1）求证：； （2）当CE∥AB时，求CE的长； （3）当△CFH是等腰三角形时，求CH的长． 【作业16】（2024秋•静安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $