用二次函数解决实际问题的常见类型巩固训练卷(八) 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过六类典型题型系统提炼解题方法，构建“实际问题—数学建模—函数求解”的逻辑链条，培养数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何问题|1题|面积法、勾股定理法、和差法建立函数关系|从图形度量抽象二次函数，结合自变量实际意义确定取值范围| |抛物线形建筑问题|1题|坐标系建立与点坐标转化求函数表达式|通过多视角建模（顶点、中点、端点为原点）深化函数模型构建| |抛物线形运动路线问题|1题|轨迹分析与点坐标意义转化|利用顶点式求运动轨迹函数，结合方程求解实际距离| |利润问题|1题|总利润公式（单件利润×销量）列函数关系式|通过函数最值与不等式解决利润决策，强化实际取值范围考量| |喷泉(水)问题|1题|顶点式设函数，待定系数法求解|以喷水头为参照建立坐标系，结合高度与水平距离关系建模| |决策问题|1题|函数建模与最值、临界值分析|对比抛物线与直线模型，通过函数值判断实际问题最优解|

用二次函数解决实际问题的常见类型巩固训练卷(八) 题型一几何问题 方法解读 一般在几何图形中建立二次函数关系有如下常用方法： (1)面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系； (2)勾股定理法：利用勾股定理建立函数关系； (3)和差法：利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 1.一面靠现有墙(墙的最大可用长度为60m)，中间用一堵墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为150m，设饲养室的一边AB的长为 x m，占地面积为S m². (1)求S关于x的函数表达式和x的取值范围. (2)当AB的长为多少米时，围成的饲养室面积最大?最大面积是多少? 题型二抛物线形建筑问题 方法解读 利用二次函数解决抛物线形建筑问题，如桥洞、拱门和隧道等，要恰当地建立平面直角坐标系，能够将实际距离准确地转化为点的坐标问题，从而确定抛物线的表达式，然后利用抛物线的性质解决实际问题. 2.项目式学习 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥下水面宽度的影响.测量发现，当拱顶离水面4m时，水面宽8m，那么当水面上涨3m 时，水面宽度减少多少 数学抽象 从实际问题中抽象出数学问题：已知抛物线的顶点为P,DC∥AB,PF⊥AB,垂足为F,交 DC 于点 E,PF=4,AB=8,EF=3,求 AB-DC的值 自主建模 建立平面直角坐标系，通过求点的坐标求出AB-DC的值 小组展示 小组一： 标系 以顶点 P 为原点，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐 小组二： 以AB-的中点F₁为原点，AB 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系 小组三： 以原水面左侧端点A 为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 问题解决： (1)选择一个小组的建模思路求出水面上涨3m，水面宽度减少多少. (2)把呈现问题中的“当水面上涨3m 时”改为“当水面宽度为10m时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 题型三抛物线形运动路线问题 方法解读 日常生活中抛(投)物体后，物体的运动轨迹问题一般都属于抛物线形问题，解答此类问题首先要明确物体运动的轨迹是抛物线的一部分，然后将实际情境中的条件转化为二次函数表达式的求解条件，一定要清楚抛物线上的点的横、纵坐标的实际意义，最后运用二次函数的图象及性质解题. 3.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平线为x轴，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线的一部分，在B点处达到最高位置，最后落在x轴上的点C处.小明某次试投时的数据如图所示. (1)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式. (2)若铅球投掷距离(铅球落地点 C与出手点A 的水平距离OC的长度)不小于10m，则成绩为优秀.请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀. 学科网（北京）股份有限公司 题型四利润问题 方法解读 在解决利润问题时，通常根据“总利润=每件的利润×销售量”或“总利润=总售价-总成本”列出二次函数表达式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值，需要注意的是当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需结合二次函数的图象，根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值. 4.根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y₁(千元)与利润问题进货量x(吨)之间的函数 的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y₂(千元)与进货量x(吨)之间的函数 bx的图象如图②所示. (1)直接写出y₁，y₂与x之间的函数关系式. (2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，乙种蔬菜的进货量为t(吨). ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系式，并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大是多少元. ②为了两种蔬菜获得的销售利润之和不少于8400元，乙种蔬菜进货量应在什么范围内? 题型五喷泉(水)问题 方法解读 利用二次函数解决喷泉(水)问题的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，将喷泉(水)放在平面直角坐标系中. (2)设出函数表达式，结合图象和已知条件，用待定系数法求函数表达式. (3)利用二次函数的图象与性质求解实际问题. 5.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度. (1)求抛物线的表达式. (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离为3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. 题型六决策问题 方法归纳 利用二次函数解决决策问题的关键： (1)建立准确的二次函数模型. (2)确定自变量的取值范围. (3)求出函数的最值. (4)结合实际进行决策. 6.【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据. 【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化情况(0≤x≤20)如图所示: 任务一：求出函数表达式 (1)经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A 的图象是抛物线 c的一部分，场景B 的图象是直线y=ax+c(a≠0)的一部分，分别求出场景A，B对应的函数表达式. 任务二：探究该化学试剂的挥发情况 (2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长? 1.解析 (1)根据题意得 ∵0<150-3x≤60,∴30≤x<50, ∴x的取值范围为30≤x<50. (2)∵S=-3x²+150x=-3(x-25)²+1875,30≤x<50,∴当x=30时,S有最大值,为1800. 故当AB的长为30m时，围成的饲养室面积最大，最大面积为1800 m². 2.解析 (1)任选一种作答即可. 选择小组一的建模思路： 由题意知P(0,0),∵PF=4,∴AB所在直线为y=-4,∵AB=8,∴A(-4,-4),B(4,-4). 设抛物线的表达式为 ∵抛物线过A(-4,-4), 解得 ∴抛物线的表达式为 易知CD所在直线为y=-4+3=-1, 将y=-1代入抛物线表达式得 解得x=±2, ∴DC=2-(-2)=4. ∴AB-DC=8-4=4.故水面上涨3m,水面宽度减少4m. 选择小组二的建模思路： 由题意知P(0,4),A(-4,0),B(4,0). 设抛物线的表达式为 ∵抛物线过A(-4,0), 解得 ∴抛物线的表达式为 易知CD 所在直线为：y=0+3=3, 将y=3代入抛物线表达式得 解得x=±2, ∴DC=2-(-2)=4. ∴AB-DC=8-4=4.故水面上涨3m,水面宽度减少4m. 选择小组三的建模思路： 由题意知A(0,0),B(8,0),P(4,4). 设抛物线的表达式为 ∵抛物线过A(0,0), 解得 ∴抛物线的表达式为 易知CD所在直线为y=0+3=3，将y=3代入抛物线表达式得 解得x=6或x=2,∴DC=6-2=4. ∴AB-DC=8-4=4.故水面上涨3m,水面宽度减少4m. (2)以小组二建立的平面直角坐标系为例，抛物线的表达式为 当水面宽度为10 m时,x=±5,代入抛物线表达式得y= 原水面所在直线为y=0，现水面所在直线为y=-2.25<0，故水面下降. 水位下降(0-(-2.25)=2.25(m). 3.解析 (1)设抛物线的表达式为 由抛物线过点A(0,2),得 解得 ∴铅球路径所在抛物线的表达式为 (2)令y=0,则 解得 ∵点C在x轴正半轴上，. ∴小明此次试投的成绩能达到优秀. 4.解析(1)把(5,3)代入 得5k=3,∴k=0.6, 把(1,2),(5,6)代入 得 当t=4时,W有最大值,为9.2. 故甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大是9200元. ②令W=8.4,则 解得 ∵a=-0.2<0,∴当:2≤t≤6时,W≥8.4, 故为了两种蔬菜获得的销售利润之和不少于8400元，乙种蔬菜进货量应在2吨和6吨之间(包括2吨与6吨). 5.解析 (1)由题意知抛物线的顶点坐标为(5，3.2)， 设抛物线的表达式为 将(0,0.7)代入得0.7=25a+3.2,解得 故抛物线的表达式为 (2)当y=1.6时, 解得x=1或9, ∴她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9-3=6(m), 故当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2m或6m. 6.解析 (1)场景A:把(0,21),(10,16)代入 c,得 解得 0.1x+21. 场景B:把(0,21),(5,16)代入y= ax+c,得 解得 ∴y=-x+21. 综上，场景A 对应的函数表达式为 场景B对应的函数表达式为y=-x+21. (2)当y=3时,场景A中 解得 (舍去). 场景B中,3=-x+21,解得x=18, ∵20>18, ∴化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长. $