专题21 圆的方程（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 圆的方程 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程，能识别圆心和半径r；会由圆心、半径写出标准方程，也能从标准方程读出圆心与半径。 2.了解圆的一般方程，会把一般方程配方转化为标准方程，能判断方程是否表示圆。 3.会求解圆的方程：已知圆心半径、已知直径两端点（结合中点、两点间距离公式）、已知圆上三点求圆方程。 4.掌握直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离），利用圆心到直线距离d和半径r的大小关系进行判断；会求圆的切线相关简单问题。 5.熟悉单招题型，规避易错点：标准方程中圆心符号出错、半径忘记开平方；能够结合直线、中点、距离公式完成小题训练。 【考点1 圆的定义和圆的方程】 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 【即时训练】 1．已知方程表示圆，则F的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．某圆形花坛的直径为 米，则其外沿的方程为（以圆心为原点）（    ） A． B． C． D． 4．某圆形湖的方程为，一条笔直的小路经过点且与湖相切，则小路的方程为（    ） A． B． C． D． 5．若方程表示圆，则实数k的取值范围是( ) 6．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是( ) 7．已知圆与轴相切，则( ) 8．若方程表示圆，则实数的取值范围是( ) 【考点2 点与圆的位置关系】 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在 ； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在 ； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在 ． 【即时训练】 9．方程 表示圆，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知方程表示圆，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．若直线过圆的圆心，则（ ） A． B． C．1 D．3 12．若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（ ）. A． B．1 C． D． 13．圆的圆心坐标是.( ) 14．圆的圆心坐标为.( ) 15．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为.( ) 16．已知圆的方程为，则半径为. ( ) 【考点3 圆与圆的位置关系】 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即时训练】 17．若直线是圆的一条对称轴，则值为（ ） A． B．2 C． D．4 18．圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 19．若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 21．已知直线的方程为，圆的方程为，则直线与圆的位置关系是相切.( ) 22．任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( ) 23．在圆上.( ) 24．圆心为，半径为2的圆的方程为．( ) 1.（2024·河北·真题T18）过三点的圆的面积为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·河北·真题T19）过点且与圆相切的直线的方程（ ） A. B. C. D. 3.（2025·河北·真题T20）直线 与 圆 的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且直线过圆心 D. 相交但不过圆心 4.（2025·河北·真题T27）点以MN 为直径的圆的方程（ ） A. B. C. D. 5.（2026·河北·真题T24）过直线 与圆 相切，则圆的半径是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 圆的方程 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程，能识别圆心和半径r；会由圆心、半径写出标准方程，也能从标准方程读出圆心与半径。 2.了解圆的一般方程，会把一般方程配方转化为标准方程，能判断方程是否表示圆。 3.会求解圆的方程：已知圆心半径、已知直径两端点（结合中点、两点间距离公式）、已知圆上三点求圆方程。 4.掌握直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离），利用圆心到直线距离d和半径r的大小关系进行判断；会求圆的切线相关简单问题。 5.熟悉单招题型，规避易错点：标准方程中圆心符号出错、半径忘记开平方；能够结合直线、中点、距离公式完成小题训练。 【考点1 圆的定义和圆的方程】 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 【即时训练】 1．已知方程表示圆，则F的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示圆列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示圆， 则，即， 解得，所以F的取值范围是， 故选：A. 2．圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的圆的方程化为标准方程，从而得出圆的半径. 【详解】对于方程 ，配方得， 所以该圆的半径 ， 故选：A. 3．某圆形花坛的直径为 米，则其外沿的方程为（以圆心为原点）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所给的圆心位置和直径求出半径，进而得到圆的方程. 【详解】已知圆形花坛的直径为米，可得半径米，又圆心为原点， 所以圆的标准方程为，即， 故选：C. 4．某圆形湖的方程为，一条笔直的小路经过点且与湖相切，则小路的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入圆的方程中得到点在圆上，即可得解. 【详解】将点代入圆的方程中得， 所以点在圆上，则切线方程为，即， 故选：. 5．若方程表示圆，则实数k的取值范围是( ) 【答案】错误 【分析】根据方程表示圆的条件列出不等式求解. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得. 故答案为：错误. 6．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是( ) 【答案】正确 【分析】根据圆心坐标及半径求出圆的标准方程即可得解. 【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为， 故答案为：正确. 7．已知圆与轴相切，则( ) 【答案】正确 【分析】根据圆心到切线的距离等于半径易得答案. 【详解】圆的圆心坐标为：， 因为圆与轴相切，则半径等于圆心到轴的距离，. 故答案为：正确. 8．若方程表示圆，则实数的取值范围是( ) 【答案】正确 【分析】根据圆的一般式方程易得答案. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得. 故答案为：正确. 【考点2 点与圆的位置关系】 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内． 【即时训练】 9．方程 表示圆，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆列不等式求解即可. 【详解】方程 表示圆， 其中， 则，即， 解得 ， 故选：D. 10．已知方程表示圆，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示圆， 其中， 则，即， 解得，所以实数的取值范围为， 故选：B. 11．若直线过圆的圆心，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题可知圆心坐标满足直线方程进而即得. 圆的圆心为， 因为直线经过圆心，所以，解得. 故选：C. 12．若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（ ）. A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得圆心为，而直线是圆的一条对称轴， 则在直线上，可得，解得. 13．圆的圆心坐标是.( ) 【答案】错误 【分析】根据圆的标准方程确定圆心坐标即可. 【详解】圆的方程，可变形为， 则该圆的圆心坐标为，而不是， 故答案为：错误. 14．圆的圆心坐标为.( ) 【答案】错误 【分析】根据圆的标准方程即可求解. 【详解】由圆的方程可得圆心坐标为. 故答案为：错误. 15．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为.( ) 【答案】正确 【分析】根据题意，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，求得圆的半径，继而表示出圆的标准方程，即可判断求解. 【详解】因为直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 又直线与圆相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：正确. 16．已知圆的方程为，则半径为. ( ) 【答案】错误 【分析】根据圆的一般方程求半径即可. 【详解】圆的方程中，， 则半径. 故答案为：错误. 【考点3 圆与圆的位置关系】 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即时训练】 17．若直线是圆的一条对称轴，则值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上求出参数的值. 圆，即， 所以圆心坐标为，依题意直线过点， 所以，解得. 故选：A 18．圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 19．若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】依题意直线经过圆的圆心，列出等式即得. 由题意知圆心在直线上， ∴，整理得， 故选：D 20．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件求得圆的半径，进而可求解. 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为， 故选：C 21．已知直线的方程为，圆的方程为，则直线与圆的位置关系是相切.( ) 【答案】错误 【分析】首先由圆的方程确定圆心和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，并与半径比较即可判断. 【详解】已知直线的方程为，即 由圆的方程为， 可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相交不相切. 故答案为：错误. 22．任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( ) 【答案】正确 【分析】根据圆的方程即可得解. 【详解】根据圆的方程可知，任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. 故答案为：正确. 23．在圆上.( ) 【答案】错误 【分析】将点代入方程中即可判断. 【详解】已知圆， 将点代入得，， 所以不在圆上， 故答案为：错误. 24．圆心为，半径为2的圆的方程为．( ) 【答案】错误 【分析】根据题意，结合圆心坐标和半径，可求出圆的标准方程，继而转化为一般式方程，即可判断求解. 【详解】因为圆心为，半径为2的圆的方程为， 化为一般式方程为. 故题干表述错误. 故答案为：错误. 1.（2024·河北·真题T18）过三点的圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断，可得为圆的直径，进而求圆的面积即可. 【详解】因为三点在圆上， 且直线为，直线为，所以， 所以线段为该圆的直径，， 所以该圆的面积为. 故选：C. 2.（2024·河北·真题T19）过点且与圆相切的直线的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定点与圆的关系，然后求解切线方程即可. 【详解】由题意可知，将点代入可知， ，点在圆上， 又因为圆心为，半径， 所以圆心与点连线直线的斜率不存在， 又因为切线与圆心和点连线的直线垂直， 所以切线方程的斜率为0， 又因为过点， 则切线方程为. 故选：D. 3.（2025·河北·真题T20）直线 与 圆 的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且直线过圆心 D. 相交但不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，即可求解. 【详解】由题意知直线 、圆， 所以圆心为、半径为， 所以圆心到直线的距离， 又因为， 所以直线 与 圆相交但不过圆心. 故选：D. 4.（2025·河北·真题T27）点以MN 为直径的圆的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据中点坐标公式求出中点的坐标即为圆心，再利用两点的距离公式求出的长度即为圆的直径，从而得到圆的方程. 【详解】设的中点坐标为. 则. 圆心坐标为. 半径. 圆的方程为. 故选：A. 5.（2026·河北·真题T24）过直线 与圆 相切，则圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则有圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】由于圆 的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离 . 又直线  与圆  相切，故. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $