专题17 三角函数的图象与性质（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 三角函数的图象与性质 【复习目标】 1.能够识记正弦、余弦、正切函数的图像样貌，掌握三类函数的定义域与值域，能区分三者取值范围的不同点。 2.理解三角函数周期性的含义，会套用周期公式求解正弦型函数的最小正周期。 3.熟悉正弦、余弦函数的奇偶特征、单调区间以及最值情况，可以求出函数取得最大、最小值时对应自变量的取值。 4.掌握三角函数图像平移变换的规律，牢记 “左加右减，上加下减”，能够辨别平移变换易错点：平移改变的是x本身，不是直接进行加减。 5.可以独立处理单招考试里周期判断、性质辨析、图像平移类小题；做题时重点规避正切函数定义域限制、周期公式记错、图像平移变换混淆等常见错误 【考点1 正弦和余弦函数的图像】 1．正弦函数 正弦函数,的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（五点法）：在函数,的图象上,以下五个点：，，，，，在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 2．余弦函数 余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（五点法）：画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 【即时训练】 1．函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 3．函数的最大值为（   ） A．8 B．5 C．3 D．1 4．已知，，则实数的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 5．对任意角都有．( ) 6．的周期为.( ) 7．函数的最大值是，最小正周期是( ) 8．函数的最小正周期是．( ) 【考点2 函数的周期性】 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的 . 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的 . 【即时训练】 9．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，则的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 11．在上是（   ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 12．已知，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 13．函数的最小正周期为.( ) 14．( ) 15．的最小正周期为( ) 16．函数的图象的一个对称轴方程是( ) 【考点3 正弦、余弦、正切函数的图象和性质】 函数 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R 图象 值域 [－1，1] [－1，1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0) 对称轴： x＝kπ(k∈Z)； 对称中心:(k∈Z) 无对称轴； 对称中心:(k∈Z) 最小正 周期 单调性 单调增区间: (k∈Z)； 单调减区间: (k∈Z) 单调增区间: [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间: [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间: (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 【即时训练】 17．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为，最大值为3 B．的最小正周期为，最大值为1 C．的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为1 18．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 19．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 20．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 21．函数在区间上的最大值为( ) 22．函数的周期、振幅、初相分别是，，( ) 23．的最小正周期为( ) 24．函数的最小正周期和最大值分别是和2( ) 1.（2024·河北·真题T9）函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·河北·真题T31）函数是偶函数．（ ） 3.（2026·河北·真题T35）要得到函数的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度.（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 三角函数的图象与性质 【复习目标】 1.能够识记正弦、余弦、正切函数的图像样貌，掌握三类函数的定义域与值域，能区分三者取值范围的不同点。 2.理解三角函数周期性的含义，会套用周期公式求解正弦型函数的最小正周期。 3.熟悉正弦、余弦函数的奇偶特征、单调区间以及最值情况，可以求出函数取得最大、最小值时对应自变量的取值。 4.掌握三角函数图像平移变换的规律，牢记 “左加右减，上加下减”，能够辨别平移变换易错点：平移改变的是x本身，不是直接进行加减。 5.可以独立处理单招考试里周期判断、性质辨析、图像平移类小题；做题时重点规避正切函数定义域限制、周期公式记错、图像平移变换混淆等常见错误 【考点1 正弦和余弦函数的图像】 1．正弦函数 正弦函数,的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（五点法）：在函数,的图象上,以下五个点：，，，，，在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 2．余弦函数 余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（五点法）：画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 【即时训练】 1．函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据正弦函数的值域求解. 【详解】根据正弦函数的性质可知，的值域是，即， ，， ，即， 当，即时，函数取最小值0． 故选：B. 2．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】根据题意结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】函数定义域为， ，符合偶函数的定义，故错误； 又因为的最小正周期为，是将的图像在轴下方的部分翻折到上方，图像如图所示：    所以的最小正周期为，故错误，正确， 故选：. 3．函数的最大值为（   ） A．8 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】根据正弦的二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】因为函数， 又，所以， 所以函数的最大值为1. 故选：D. 4．已知，，则实数的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】因为，则， 可得，实数 的最大值是. 故选：C. 5．对任意角都有．( ) 【答案】错误 【分析】根据两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】因为， 又，所以． 故答案为：错误. 6．的周期为.( ) 【答案】正确 【分析】根据三角函数的周期公式求解. 【详解】的周期为. 故答案为：正确. 7．函数的最大值是，最小正周期是( ) 【答案】错误 【分析】根据正弦函数的最值和周期判断即可. 【详解】函数的最大值是， 若时，最大值为，最小正周期是， 故答案为：错误. 8．函数的最小正周期是．( ) 【答案】错误 【分析】先利用二倍角公式对函数进行化简，再根据余弦函数的性质确定其最小正周期. 【详解】函数， 所以最小正周期， 故答案为：错误. 【考点2 函数的周期性】 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 【即时训练】 9．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分母不为零列出不等式，结合余弦函数的性质即可得解. 【详解】函数，则， 解得， 所以定义域为， 故选：. 10．已知函数，若，则的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】将代入解析式中，列方程求解即可. 【详解】已知函数， 由得，， 解得，， 当时，， 故选：C. 11．在上是（   ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】D 【分析】根据余弦函数的单调性及奇偶性即可得解. 【详解】在上是周期性函数，所以在定义域内不具备单调性，故错误； ，，符合偶函数的定义，不符合奇函数的定义，故错误，正确， 故选：. 12．已知，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的值域确定的取值范围. 【详解】由，得，解得， 则的取值范围为. 故选：D. 13．函数的最小正周期为.( ) 【答案】正确 【分析】根据三角函数的周期公式计算. 【详解】函数的最小正周期为， 故答案为：正确. 14．( ) 【答案】错误 【分析】根据正弦函数的单调性以及诱导公式进行化简求解即可. 【详解】， 因为，在上是增函数， 所以，即． 所以． 故答案为：错误. 15．的最小正周期为( ) 【答案】正确 【分析】根据余弦型函数的周期公式易得答案. 【详解】的最小正周期. 故答案为：正确. 16．函数的图象的一个对称轴方程是( ) 【答案】正确 【分析】根据正弦型函数的对称轴求解即可. 【详解】对于函数，令，解得， 故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为. 故答案为：正确. 【考点3 正弦、余弦、正切函数的图象和性质】 函数 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R 图象 值域 [－1，1] [－1，1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0) 对称轴： x＝kπ(k∈Z)； 对称中心:(k∈Z) 无对称轴； 对称中心:(k∈Z) 最小正 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间: (k∈Z)； 单调减区间: (k∈Z) 单调增区间: [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间: [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间: (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 【即时训练】 17．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为，最大值为3 B．的最小正周期为，最大值为1 C．的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为1 【答案】D 【分析】利用降幂公式化简，由此求出函数的最小正周期和最大值. 【详解】依题意， 故最小正周期为，最大值为， 故选：D. 18．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 19．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式以及正弦函数的最小正周期求解即可. 【详解】，其中， 最小正周期． 故选：A. 20．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最小正周期的公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D. 21．函数在区间上的最大值为( ) 【答案】错误 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】∵ ，∴， ∴，即函数有最大值2. 故答案为：错误. 22．函数的周期、振幅、初相分别是，，( ) 【答案】错误 【分析】根据正弦型函数的性质易得答案. 【详解】函数的周期、振幅、初相分别是，，. 故答案为：错误. 23．的最小正周期为( ) 【答案】正确 【分析】根据函数周期计算公式易得答案. 【详解】的最小正周期为， 故答案为：正确. 24．函数的最小正周期和最大值分别是和2( ) 【答案】错误 【分析】根据指数函数的单调性易得答案. 【详解】， 的最小正周期为，最大值为. 故答案为：错误. 1.（2024·河北·真题T9）函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式计算求解即可. 【详解】因为函数为， 所以函数的最小正周期为. 故选：D. 2.（2024·河北·真题T31）函数是偶函数．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由正切函数及奇、偶函数的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数. 故答案为：错误. 3.（2026·河北·真题T35）要得到函数的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据题意结合三角函数的平移变换规则即可得解. 【详解】根据“左加右减”原则，要从得到，相当于要减去， 即需要向右平移个单位， 故答案：错误. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $