专题13 任意角和弧度制（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 任意角和弧度制 【复习目标】 1.理解任意角的概念，分清正角、负角、零角，会判断角所在的象限，识别象限角与轴线角。 2.掌握终边相同角的表示方法，会写出与已知角终边相同的角的集合。 3.掌握角度制与弧度制的换算，熟记特殊角的弧度值，能完成角度与弧度的互化计算。 4.理解弧度制下弧长公式、扇形面积公式，会利用公式求解弧长、扇形面积相关计算。 5.熟悉单招基础题型，规避易错点：终边相同角集合书写格式、角度弧度混用；能够区分象限角、锐角、小于 90° 的角概念。 【考点1 任意角】 1. 角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形， 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 2. 正角、负角、零角 正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 【即时训练】 1．角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，那么角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．时钟走10分钟，分针所转过的角用弧度制表示是（   ） A． B． C． D． 3．在范围内，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 4．角转化成角度制为（   ） A． B． C． D． 5．与角终边相同的角构成的集合为（   ） A． B． C． D． 6．半径为2的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角是（   ） A． B． C． D． 7．的周期是.( ) 8．如扇形的圆心角为，半径是，则该扇形的面积是.( ) 9．化为弧度是.( ) 10．角是第二象限角.( ) 11．是第一象限的角.( ) 12．正弦函数是周期函数，最小正周期是.( ) 【考点2 弧度制】 1. 弧度制 ①定义：以 为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作 . 2. 弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 3. 弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 【即时训练】 13．对应的弧度数是（   ）. A． B． C． D． 14．下列与终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 15．与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 16．将时钟调快分钟，则分针转过的角度为（   ） A． B． C． D． 17．下列说法中正确的是（   ）． A．第二象限的角一定是钝角； B．终边在y轴正半轴上的角是直角； C．第四象限的角一定是正角； D．若，则与的终边相同． 18．下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 19．是锐角( ) 20．是第三象限角，它的余弦值是负值( ) 21．与角终边相同的最小正角是.( ) 22．与角的终边相同的所有角组成的集合是.( ) 23．第四象限的角一定比第一象限大.( ) 24．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，一个角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.( ) 1.（2025·河北·真题T6）已知角α终边经过点，（ ） A. B. C. D. 2.（2025·河北·真题T15）角化成弧度是（ ） A. B. C. 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(2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 【即时训练】 13．对应的弧度数是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化法则即可解答. 【详解】弧度， 故选：B. 14．下列与终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出与终边相同的角的集合，逐项判断即可得解. 【详解】与终边相同的角是， 令，解得，故错误； 令，解得，故正确； 令，解得，故错误； 令，解得，故错误； 故选：. 15．与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合终边相同的角的定义逐项判断即可得解. 【详解】与终边相同的角为， 对A：令，解得，故A项错误； 对B：令，解得，故B项正确； 对C：令，解得，故C项错误； 对D：令，解得，故D项错误； 故选：B. 16．将时钟调快分钟，则分针转过的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的定义即可求解. 【详解】分针绕一圈转过， 则每分钟转过的角度为， 又调快15分钟，则角度为负角， 所以调快15分钟分针转过的角度为. 故选：D. 17．下列说法中正确的是（   ）． A．第二象限的角一定是钝角； B．终边在y轴正半轴上的角是直角； C．第四象限的角一定是正角； D．若，则与的终边相同． 【答案】D 【分析】根据象限角、终边相同的角等概念判断各个选项的正确性. 【详解】选项A：是第二象限角，但不是钝角，所以第二象限的角不一定是钝角，A选项错误， 选项B：终边在轴正半轴上，但，所以终边在轴正半轴上的角不一定是直角，B选项错误， 选项C：是第四象限角，但是负角，所以第四象限的角不一定是正角，C选项错误， 选项D：根据终边相同的角的定义，与角终边相同的角的集合为， 所以，若，则与的终边相同，D选项正确. 故选：D. 18．下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的定义即可求解. 【详解】转化为弧度制为，则与终边相同的角集合为, 对A，当时，不是整数，故A错误. 对B，当时，不是整数，故B错误. 对C，当时，不是整数，故C错误. 对D，当时，，故D正确. 故选：D. 19．是锐角( ) 【答案】正确 【分析】依据锐角的定义判断. 【详解】因为，满足锐角的定义，所以是锐角，该说法正确. 故答案为：正确. 20．是第三象限角，它的余弦值是负值( ) 【答案】错误 【分析】根据象限角的定义，结合象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】是第二象限角，它的余弦值是负值， 故答案为：错误. 21．与角终边相同的最小正角是.( ) 【答案】错误 【分析】由终边相同的角的概念即可判断. 【详解】， 故与角终边相同的最小正角是. 故答案为：错误. 22．与角的终边相同的所有角组成的集合是.( ) 【答案】正确 【分析】根据题意，结合终边相同的角的集合的表示，即可求解. 【详解】与角的终边相同的所有角组成的集合是. 故题干表述正确. 故答案为：正确. 23．第四象限的角一定比第一象限大.( ) 【答案】错误 【分析】根据象限角的定义举反例判断即可. 【详解】是第四象限角，是第一象限角，但， 故第四象限的角不一定比第一象限大. 故答案为：错误. 24．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，一个角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.( ) 【答案】正确 【分析】依据象限角的定义判断. 【详解】依据象限角的定义，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角. 故答案为：正确. 1.（2025·河北·真题T6）已知角α终边经过点，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义即可得解. 【详解】因为角α终边经过点， 所以. 故选：D. 2.（2025·河北·真题T15）角化成弧度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角度值与弧度制的互化规律转化即可. 详解】， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $