专题11 对数运算与对数函数（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 对数运算与对数函数 【复习目标】 1.理解对数的定义，掌握对数式与指数式的互化，牢记对数恒等式、零与 1 的对数特殊值。 2.熟练运用对数的运算法则（积、商、幂的对数）进行对数的化简、求值计算。 3.会求解对数型函数的定义域，能利用对数函数单调性比较对数值的大小。 4.熟悉单招常见题型，规避易错点：真数大于 0 的限制条件、对数运算法则混淆；能处理对数计算、定义域、单调性判断类小题。 【考点1 对数】 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的 ，N称为 ． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是0； （2） logaa=1，即底的对数是1； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为 ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为 ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 【即时训练】 1．对数式化成指数式为（    ） A． B． C． D． 2．的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的近似值为（    ） A． B． C． D． 4．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 5．的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 7．. ( ) 8．.( ) 9．．( ) 10．. ( ) 11．对数的运算实质是求幂指数．( ) 12．.( ) 【考点2 对数函数及其性质】 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为 ，其图象关于直线对称. 【即时训练】 13．将写成对数形式正确的是（    ） A． B． C． D． 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 15． 的值为（    ） A． B． C． D．不存在 16．计算的结果是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．计算：的值为（　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知，则的结果是（    ） A． B． C． D． 19．将指数式化为对数式为( ) 20．.( ) 21．.( ) 22．，则.( ) 23． ( ) 24．设是各项为正数的等比数列，且，则( ) 1.（2024·河北·真题T2）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2.（2024·河北·真题T33）函数在上单调递增．（ ） 3.（2025·河北·真题T8）直线与直线垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4.（2026·河北·真题T12）二项式展开式中的系数是（ ） A. B. C. 12 D. 24 5.（2026·河北·真题T36）函数 是其定义域上的奇函数.（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 对数运算与对数函数 【复习目标】 1.理解对数的定义，掌握对数式与指数式的互化，牢记对数恒等式、零与 1 的对数特殊值。 2.熟练运用对数的运算法则（积、商、幂的对数）进行对数的化简、求值计算。 3.会求解对数型函数的定义域，能利用对数函数单调性比较对数值的大小。 4.熟悉单招常见题型，规避易错点：真数大于 0 的限制条件、对数运算法则混淆；能处理对数计算、定义域、单调性判断类小题。 【考点1 对数】 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是0； （2） logaa=1，即底的对数是1； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为lgN ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为lnN ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 【即时训练】 1．对数式化成指数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数式与指数式的转化法则转化即可. 【详解】对数式化成指数式为， 故选：D. 2．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式之间的转换即可选出正确答案. 【详解】设 故选：B 3．已知，则的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质即可选出正确答案. 【详解】. 故选：A. 4．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算化简求解即可； 【详解】 . 故选：B 5．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则，即可得解. 【详解】， 故选：. 6．已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用对数的运算法则即可得解. 【详解】因为， ， 故选：. 7．. ( ) 【答案】正确 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：正确. 8．.( ) 【答案】正确 【分析】利用对数换底公式及对数的运算法则求解判断. 【详解】. 故答案为：正确. 9．．( ) 【答案】正确 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】． 故答案为：正确. 10．. ( ) 【答案】正确 【分析】根据题意，结合对数恒等式，及对数的运算，即可求解. 【详解】. 故答案为：正确. 11．对数的运算实质是求幂指数．( ) 【答案】正确 【分析】根据对数的定义即可解答. 【详解】由指数式，转化为对数式为， 可得对数的运算实质是求幂指数， 故答案为：正确. 12．.( ) 【答案】错误 【分析】根据题意，结合对数的概念，及对数的性质，即可判断求解. 【详解】且，题干表述不完整， 故答案为：错误. 【考点2 对数函数及其性质】 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 【即时训练】 13．将写成对数形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数式与对数式的互化即可得解. 【详解】将写成对数形式为， 故选：. 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 15． 的值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据对数的性质确定即可； 【详解】根据对数的性质： （ 且 ），所以 . 故选：A 16．计算的结果是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据对数运算性质求解即可. 【详解】. 故选：A. 17．计算：的值为（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对数运算性质求解即可. 【详解】. 故选：A. 18．已知，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 19．将指数式化为对数式为( ) 【答案】正确 【分析】根据指数式与对数式的相互转化关系判断. 【详解】∵指数式为，∴根据指数式与对数式的关系可知：， 故答案为：正确. 20．.( ) 【答案】错误 【分析】根据题意，结合对数的概念和求值，即可求解. 【详解】. 故答案为：错误. 21．.( ) 【答案】正确 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为：正确. 22．，则.( ) 【答案】错误 【分析】根据指数式与对数式的互化求解. 【详解】已知，则， 故答案为 ：错误. 23． ( ) 【答案】错误 【分析】根据对数运算法则成立的条件判断. 【详解】当，，且时，才成立， 若，，不满足上面的条件，则不成立， 故答案为：错误. 24．设是各项为正数的等比数列，且，则( ) 【答案】正确 【分析】根据等比数列性质易得答案. 【详解】，而， 则， ∴， 故答案为：正确. 1.（2024·河北·真题T2）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的真数大于0计算定义域即可. 【详解】因为函数为， 所以，即， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2.（2024·河北·真题T33）函数在上单调递增．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由对数函数的性质判断即可. 【详解】函数的底数为，， 所以函数在上单调递减. 故答案为：错误. 3.（2025·河北·真题T8）直线与直线垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直的条件列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：C. 4.（2026·河北·真题T12）二项式展开式中的系数是（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】二项式的通项公式为， 令，则含有的项为， 所以系数为24， 故选：. 5.（2026·河北·真题T36）函数 是其定义域上的奇函数.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的概念可判断结果. 【详解】函数  ， 由可得:，即函数的定义域为， 可知定义域是关于原点对称的，且， 而， 所以该函数是偶函数，而非奇函数. 故答案为：错误 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $