专题10 指数幂运算与指数函数（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂运算与指数函数 【复习目标】 1.理解整数指数幂、分数指数幂的概念，熟记指数幂运算法则，能够熟练进行根式与分数指数幂的互化。 2.掌握指数幂的乘、除、乘方运算，能准确进行实数指数幂的化简与求值。 3.掌握指数函数的定义域、值域、单调性，会利用指数函数单调性比较指数式的大小。 4.熟悉单招常考题型，能处理指数运算、指数函数图像辨析小题；规避易错点：底数取值范围、运算符号错误，会区分指数函数与幂函数。 【考点1 根式】 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为 ± 负数 偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知为实数，下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．化成分数指数幂的形式为.( ) 6．.( ) 7．.( ) 8．函数的定义域为.( ) 【考点2 指数函数的概念】 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 【即时训练】 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 11．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 12．已知，下列式子中，表示的分数指数幂形式的是（    ） A． B． C． D． 13．实数指数幂运算法则 ( ) 14． ( ) 15． ( ) 16．化成分数指数幂是( ) 【考点3 指数函数的图象与性质】 图象 定义域 值域 奇偶性 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 . 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 【即时训练】 17．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 18．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 19．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 20． 的值为（    ） A． B． C． D． 21．若，则.( ) 22． ( ) 23．的值是4( ) 24． ( ) 1.（2024·河北·真题T4）（ ） A. B. 1 C. D. 2 2.（2024·河北·真题T8）为了得到的图像只需把的图像上的点（ ） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 3.（2025·河北·真题T5）（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4.（2025·河北·真题T35）函数 与 的图像关于y 轴对称.（ ） 5.（2026·河北·真题T3）若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6.（2026·河北·真题T18）已知函数，若，则（ ） A. 12 B. 27 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂运算与指数函数 【复习目标】 1.理解整数指数幂、分数指数幂的概念，熟记指数幂运算法则，能够熟练进行根式与分数指数幂的互化。 2.掌握指数幂的乘、除、乘方运算，能准确进行实数指数幂的化简与求值。 3.掌握指数函数的定义域、值域、单调性，会利用指数函数单调性比较指数式的大小。 4.熟悉单招常考题型，能处理指数运算、指数函数图像辨析小题；规避易错点：底数取值范围、运算符号错误，会区分指数函数与幂函数。 【考点1 根式】 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则求解即可. 【详解】 . 故选：C. 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂的运算法则将原式进行转化，再逐步计算即可. 【详解】. 故选：C. 3．已知为实数，下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则判断各选项. 【详解】，故A错误，B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】. 故选：B. 5．化成分数指数幂的形式为.( ) 【答案】正确 【分析】依据根式与分数指数幂的互化规则求解. 【详解】依据根式与分数指数幂的互化，可知， 故答案为：正确. 6．.( ) 【答案】正确 【分析】根据指数幂的运算法则进行计算. 【详解】 故答案为：正确. 7．.( ) 【答案】正确 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：正确. 8．函数的定义域为.( ) 【答案】错误 【分析】要使得有意义，需满足，然后解出的范围即可． 【详解】要使有意义，则，解得且， 的定义域为且， 故答案为：错误. 【考点2 指数函数的概念】 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 【即时训练】 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】，所以选项A错误，选项B正确， ，所以选项C和D错误， 故选：B. 10．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则进行化简. 【详解】， 故选：A. 11．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，即可求解. 【详解】. 故选：B. 12．已知，下列式子中，表示的分数指数幂形式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 13．实数指数幂运算法则 ( ) 【答案】正确 【分析】根据实数指数幂运算法则可判断. 【详解】由实数指数幂运算法则可知，. 故答案为：正确 14． ( ) 【答案】错误 【分析】根据分数指数幂与根式的转化易得答案. 【详解】. 故答案为：错误. 15． ( ) 【答案】正确 【分析】根据指数幂的运算性质易得答案. 【详解】， 故答案为：正确. 16．化成分数指数幂是( ) 【答案】正确 【分析】根据指数幂的运算与根式的转化易得答案. 【详解】. 故答案为：正确. 【考点3 指数函数的图象与性质】 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 【即时训练】 17．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 18．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂的运算求解即可. 【详解】 . 故选：C. 19．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算化简即可； 【详解】 . 故选：C 20． 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂的运算求解即可. 【详解】 . 故选：C. 21．若，则.( ) 【答案】正确 【分析】先计算的平方，进而可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：正确. 22． ( ) 【答案】正确 【分析】根据分数指数幂与根式的互化及指数幂的运算法则计算. 【详解】. 故答案为：正确. 23．的值是4( ) 【答案】正确 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可得解. 【详解】， 故答案为：正确. 24． ( ) 【答案】错误 【分析】根据根式与幂的转化求解即可. 【详解】. 故答案为：错误. 1.（2024·河北·真题T4）（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由指数幂的运算计算即可. 【详解】. 故选：A. 2.（2024·河北·真题T8）为了得到的图像只需把的图像上的点（ ） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图像及其性质，进而快速求解. 【详解】函数的图像经过向右平移1个单位长度，即可得到的图像. 3.（2025·河北·真题T5）（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由指数幂的运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 4.（2025·河北·真题T35）函数 与 的图像关于y 轴对称.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由指数函数的图像和性质即可得解. 【详解】因为与互为倒数， 由指数函数的图像和性质可知， 函数 与 的图像关于y 轴对称. 故答案为：正确. 5.（2026·河北·真题T3）若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则可得结果. 【详解】. 故选：A 6.（2026·河北·真题T18）已知函数，若，则（ ） A. 12 B. 27 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $