专题9 函数的综合应用（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 函数的综合应用 【复习目标】 1.整合函数三要素（定义域、值域、对应法则），能综合运用单调性、奇偶性的性质分析函数，看懂函数图像获取信息。 2.掌握一次、二次、简单幂函数的综合题型，会结合图像求解函数最值、零点，处理函数与不等式结合简单问题。 3.能够读懂函数图像，根据图像判断函数增减、正负、特殊点，解决图像识别类单招选择题。 4.会处理函数与实际简单应用问题，能把实际情境转化为函数关系，利用函数性质分析取值情况。 5.掌握单招函数综合小题解题思路，区分各函数模型特点，规避审题易错点，提升数形结合分析问题的能力 【考点1 一次函数及反比例函数】 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 定义域及值域 【即时训练】 1．已知函数是奇函数，且在上单调递增，，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，可得到函数的大致图像，继而求解. 【详解】因为函数是奇函数，且在上单调递增，， 所以函数在上单调递增，且， 所以函数的大致图像如下图所示： 因为，所以或， 解得或. 即不等式的解集为. 故选：C. 2．已知是奇函数，且在区间上是增函数，若，则函数在区间上（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为是奇函数，且在区间上是增函数， 所以函数在区间上也是增函数， 又，所以， 所以函数在区间上有最小值2. 故选：A. 3．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 所以， 因为函数在上是增函数， 所以，即. 故选：C. 4．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据周期函数和奇函数的定义，结合已知条件，代入即可求值. 【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数， 当时，， 所以， 所以， 故. 又， 所以. 故选：A. 5．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（ ） A． B．2 C． D．98 【答案】B 【分析】根据函数的周期性，代入即可求出函数值. 【详解】因为函数满足， 所以函数周期为2， 又当时，则， 所以， 故选：B. 6．已知是定义在上的以为周期的偶函数，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的周期性和奇偶性结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为是定义在上的以为周期的偶函数， 所以， 因为，， 所以， 所以，整理得， 等价于， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．某校机械专业的学生，需要用一个边长为6的正方形铁皮制作一个无盖盒子，要求从正方形的4个角各剪去一个边长为的小正方形，把剩下的铁皮做成一个没有盖子的长方体盒子（不考虑剪切和焊接处的材料损耗），则这个盒子的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中信息分别找出长方体的底面边长和高进行计算即可解得. 【详解】由题，边长为6的正方形从4个角各剪去一个边长为的小正方形， 则可得长方体底面正方形的边长为，长方体的高为， 则盒子的容积为. 故选：A 8．偶函数在上递减，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】偶函数在上递减， 则. 故选：A. 9．如果偶函数在区间上是增函数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性与奇偶性的概念求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 由函数在区间上是增函数，可得在区间上是减函数， 又因为，所以， 则，即. 故选:C. 10．已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性及单调性得出的正负取值情况，题中不等式化为即可求解． 【详解】∵函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，， ∴在上也单调递增，，，， ∴当或时，；或时，， 由得，，即， ∴或，∴或， ∴的解集为． 故选：C. 11．设函数的定义域为，有下列四个命题： ①若存在常数，使得对任意，有，则M是函数的最大值； ②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值； ③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值； ④，则的值域为，其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由函数最大值的定义即可判断②③，举反例判断①④． 【详解】对于①：例如，存在常数，，使得对任意，有，但的最大值为2，故①错误； 对于②③：由函数最大值的定义，一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有；，使得；那么称是函数的最大值，故②，③正确； 对于④：例如，则，，但值域为，故④错误， 故选：C． 12．已知函数的定义域为，值域为，且，，函数的最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，得到，利用基本不等式求得，进而得到，结合，分别求得的值，即可求解. 【详解】因为， 令，可得，所以满足. 又因为，则，所以， 因为，所以， 所以， 又因为，可得，， ，，， 所以. 故选：D. 【考点2 建立函数模型解应用题的步骤】 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求解：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 【即时训练】 13．已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据符号函数的定义，结合函数的周期性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意知，当时，，则，所以A错误； 因为，即函数是以为周期的周期函数， 所以，所以B错误； 由，所以，所以C正确； 当为偶数时，不妨设，则， 可得， 而时，，所以，所以D错误. 故选：C. 14．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，；③.则下列选项不成立的是（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，使得 【答案】C 【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且在为减函数，可判定A正确；把不等式转化为或，可判定B正确；把不等式转化为或，可判定C错误；根据题意得到为的最大值，可判定D正确. 【详解】由①，可得函数为偶函数； ②，当时，，可得在为减函数； 对于A中，因为函数在为减函数，所以，所以A正确； 对于B中，由不等式，可得或， 解得或，所以B正确； 对于C中，由，可得， 若，则或，解得或，所以C错误； 对于D中，由为上的偶函数，且在为减函数；在为增函数， 又因为的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以， 所以，，使得成立，所以D正确. 故选：C. 15．已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，从而利用奇偶性及单调性求解即可. 【详解】设，由题意得，所以， 其定义域为R，又，所以函数为奇函数， 任取，因为， 所以，所以函数单调递增， 故选：A 16．已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性列不等式，解不等式可得到x的取值范围是. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，，当时，当时， 又因为是定义域为R的奇函数，所以在上单调递增， 所以，当时，当时， 再根据是定义域为R的奇函数，可以得到， 综上所述，当时，，当时，； 因为，所以，或， 解得. 故选：D 17．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 所以在上单调递减，且， 作出简图，如图所示，    当时，由得，即， 当时，由得，即， 当时，不合题意， 所以满足不等式的的取值范围是， 故选：C． 18．已知集合，若对于任意实数对 ，存在 ，使得 成立，则称集合 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据“垂直对点集”的定义、平面向量数量积的坐标表示及函数的基本性质与图象一一判定选项即可. 【详解】对于①，若，，易知，， 且同号或异号，显然不成立，即①不符合题意； 不妨设，，则， 对于②，如图所示，显然对于上任意一点A，在上总存在点B， 满足，即②符合题意； 对于③，如图所示，显然对于上任意一点A，在上总存在点B， 满足，即③符合题意； 对于④，注意到对于上点，此时与垂直的过原点的直线为轴， 轴与无交点，即上不存在点B，满足，即④不符合题意. 故选：B 19．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由周期函数转换然后代入表达式求解即可. 【详解】由题意当时，，此时是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：C. 20．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的性质可知在上的单调性及的值，利用偶函数的性质列出不等式进行求解即可. 【详解】因为偶函数在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 因为， 所以，解得：， 所以不等式的解集是． 故选：A. 21．对恒有,且有两不同的根，则此两根的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式即可得解. 【详解】由可知函数关于对称. 因为有两不同的根. 所以两个根关于直线对称. 设两个根为. 则. 故选:. 22．某公司销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为，该公司销售此商品的最大利润为（    ） A．990万元 B．9900万元 C．980万元 D．9800万元 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 函数对称轴为，图像开口向下， 所以函数在单调递增，在单调递减， 因为， 所以当时，函数有最大值， 此时，， 故选：D 23．偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（    ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】偶函数在区间上单调递减， 则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增， 即有最小值为，最大值对照选项，A正确， 故选：A ． 24．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为偶函数，不等式可转化为，又由在区间上单调递增，进而可得，解绝对值不等式可求解. 【详解】函数为偶函数， ， 等价于， 在区间上单调递增， 函数在区间上单调递减， 于是有：， ， 即。 故选：C 1.（2024·河北·真题T13）函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的最值，进而求解. 【详解】首先分析函数, 因为为二次函数，有最小值0,无最大值, 故有最大值0. 所以的最大值为1, 故选：C. 2.（2025·河北·真题T14）的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用在与上的取值范围即可得解. 【详解】对于， 当时，，排除AB； 当时，，排除D；而C满足上述性质. 故选：C. 3.（2026·河北·真题T23）函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，结合函数值的正负即可求解. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故C、D选项错误； 当时，，，可排除B， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 函数的综合应用 【复习目标】 1.整合函数三要素（定义域、值域、对应法则），能综合运用单调性、奇偶性的性质分析函数，看懂函数图像获取信息。 2.掌握一次、二次、简单幂函数的综合题型，会结合图像求解函数最值、零点，处理函数与不等式结合简单问题。 3.能够读懂函数图像，根据图像判断函数增减、正负、特殊点，解决图像识别类单招选择题。 4.会处理函数与实际简单应用问题，能把实际情境转化为函数关系，利用函数性质分析取值情况。 5.掌握单招函数综合小题解题思路，区分各函数模型特点，规避审题易错点，提升数形结合分析问题的能力 【考点1 一次函数及反比例函数】 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为 。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为 。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 ，图像关于原点对称 定义域及值域 【即时训练】 1．已知函数是奇函数，且在上单调递增，，则的解集是（   ） A． B． C． D． 2．已知是奇函数，且在区间上是增函数，若，则函数在区间上（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 3．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A．1 B． C．0 D．2 5．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（ ） A． B．2 C． D．98 6．已知是定义在上的以为周期的偶函数，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某校机械专业的学生，需要用一个边长为6的正方形铁皮制作一个无盖盒子，要求从正方形的4个角各剪去一个边长为的小正方形，把剩下的铁皮做成一个没有盖子的长方体盒子（不考虑剪切和焊接处的材料损耗），则这个盒子的容积为（    ） A． B． C． D． 8．偶函数在上递减，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 9．如果偶函数在区间上是增函数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 11．设函数的定义域为，有下列四个命题： ①若存在常数，使得对任意，有，则M是函数的最大值； ②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值； ③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值； ④，则的值域为，其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．已知函数的定义域为，值域为，且，，函数的最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 建立函数模型解应用题的步骤】 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求解：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 【即时训练】 13．已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，；③.则下列选项不成立的是（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，使得 15．已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 16．已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，若对于任意实数对 ，存在 ，使得 成立，则称集合 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④ 19．若，则（    ） A． B． C． D． 20．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 21．对恒有,且有两不同的根，则此两根的和为（    ） A． B． C． D． 22．某公司销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为，该公司销售此商品的最大利润为（    ） A．990万元 B．9900万元 C．980万元 D．9800万元 23．偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（    ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 24．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·河北·真题T13）函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2.（2025·河北·真题T14）的图象为（ ） A. B. C. D. 3.（2026·河北·真题T23）函数的图像为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $