专题8 函数的奇偶性（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性 【复习目标】 1.理解奇函数、偶函数的定义，掌握判断函数奇偶性的第一步：判断定义域是否关于原点对称。 2.熟记奇偶函数图像特征：偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。 3.会利用定义判断简单函数的奇偶性，区分奇函数、偶函数、非奇非偶函数。 4.掌握奇偶函数的简单性质，已知一半区间解析式，会求对称区间上函数解析式。 5.熟悉单招综合题型，能结合单调性、图像综合解题；规避易错点：忽略定义域对称性、混淆奇偶函数图像对称特点。 【考点1 函数的奇偶性】 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 ． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做 ． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有 的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有 的单调性． 【即时训练】 1．若一次函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知函数是定义在上的偶函数，且，下列成立的是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 4．下列函数在定义域内为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 6．下列函数中奇函数的个数为（   ） ①；    ②；    ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知是定义在R上的奇函数，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 8．函数在上是奇函数，且，则 （ ） A． B． C． D． 9．已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ） A． B． C．2 D．3 10．下列函数中，偶函数的为（   ） A． B． C． D． 11．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 12．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 13．函数为偶函数．( ) 14．函数为奇函数．( ) 15．若二次函数是偶函数且，则．( ) 16．函数是偶函数．( ) 17．函数是偶函数.( ) 18．函数是奇函数．( ) 19．如果函数的定义域为I，对于定义域内的每一个x，都有，那么是偶函数．( ) 20．点P关于x轴对称的点的坐标是. ( ) 21．是奇函数. ( ) 22．函数是奇函数. ( ) 23．若为奇函数，则.( ) 24．函数为偶函数( ) 1.（2024·河北·真题T31）函数是偶函数．（ ） 2.（2025·河北·真题T33）函数为奇函数.（ ） 3.（2026·河北·真题T23）函数的图像为（ ） A. B. C. D. 4.（2026·河北·真题T36）函数 是其定义域上的奇函数.（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性 【复习目标】 1.理解奇函数、偶函数的定义，掌握判断函数奇偶性的第一步：判断定义域是否关于原点对称。 2.熟记奇偶函数图像特征：偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。 3.会利用定义判断简单函数的奇偶性，区分奇函数、偶函数、非奇非偶函数。 4.掌握奇偶函数的简单性质，已知一半区间解析式，会求对称区间上函数解析式。 5.熟悉单招综合题型，能结合单调性、图像综合解题；规避易错点：忽略定义域对称性、混淆奇偶函数图像对称特点。 【考点1 函数的奇偶性】 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【即时训练】 1．若一次函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知一次函数为奇函数， ， ， 由 得，. 故选：B. 2．已知函数是定义在上的偶函数，且，下列成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用偶函数的性质即可得解. 【详解】函数是定义在上的偶函数， 则，因为，则， 因为函数的单调性无从得知，所以无法判断以外的大小关系， 故选：. 3．下列函数是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义逐项分析即可. 【详解】已知的定义域为， 令，则， 所以是偶函数，故A正确， 已知的定义域为， 令，则， 所以不是偶函数，故B错误， 已知的定义域为， 令，则， 所以不是偶函数，故C错误， 已知的定义域为， 令，则， 所以不是偶函数，故D错误， 故选：A. 4．下列函数在定义域内为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【详解】的定义域为关于原点对称， 因为， 所以该函数不是奇函数， 的定义域为关于原点对称， 因为， 所以该函数是奇函数， 的定义域为关于原点对称， 因为， 所以该函数不是奇函数， 的定义域为关于原点对称， 因为， 所以该函数不是奇函数， 故选：B. 5．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【分析】确定函数的定义域是否关于原点对称，进而可得结论. 【详解】函数的定义域为，该定义域不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数， 故选：C. 6．下列函数中奇函数的个数为（   ） ①；    ②；    ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义逐项判断即可. 【详解】①，定义域为关于原点对称，且，故①是奇函数． ②，定义域为关于原点对称，且，故②是奇函数． ③，定义域为，关于原点对称，且，故③是奇函数． ④，定义域为，关于原点对称，但，故④不是奇函数. 故选：C. 7．已知是定义在R上的奇函数，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 由奇函数的性质得，即. 故选：B. 8．函数在上是奇函数，且，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数在上是奇函数，所以有， 则. 故选：B. 9．已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义及常见函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】，定义域为，，符合偶函数的定义， 在上单调递减，A错误， ，定义域为，不符合偶函数的定义， B错误， ，函数定义域为，，符合偶函数的定义， 图像为开口向上的抛物线，则在上单调递增，正确； ，函数定义域为，，不符合偶函数的定义，错误， 故选：. 10．下列函数中，偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，求解即可. 【详解】选项A：令，定义域为，则，不是偶函数. 选项B：令，定义域为，则，不是偶函数. 选项C：令，定义域为，则，是偶函数. 选项D：令，定义域为，则，不是偶函数. 故选：C. 11．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】对A，因为函数定义域为，又，所以是奇函数，故A正确. 对B，因为函数定义域为R，又， 所以是偶函数，故B错误. 对C，因为余弦函数为偶函数，故C错误. 对D，因为指数函数为非奇非偶函数，故D错误. 故选：A. 12．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义结合二次函数，一次函数，反比例函数的单调性即可得解. 【详解】，定义域为，，符合偶函数的定义， 又因为图像为开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递增，故正确； ，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； ，定义域为，，符合偶函数的定义， 又因为图像为开口向下的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，故错误； ，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； 故选：. 13．函数为偶函数．( ) 【答案】正确 【分析】根据偶函数的定义即可判断. 【详解】函数定义域为关于原点对称， 且， 所以该函数为偶函数. 故答案为：正确. 14．函数为奇函数．( ) 【答案】错误 【分析】根据奇函数的定义即可判断. 【详解】已知函数， 定义域为不关于原点对称， 所以该函数不是奇函数. 故答案为：错误. 15．若二次函数是偶函数且，则．( ) 【答案】正确 【分析】首先由二次函数为偶函数得出，再将代入求出的值，再将代入求值即可. 【详解】已知二次函数是偶函数， 所以，则， 由，得， 解得，， 所以. 故答案为：正确. 16．函数是偶函数．( ) 【答案】错误 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断即可. 【详解】已知函数的定义域为， 则， 所以函数不是偶函数. 故答案为：错误. 17．函数是偶函数.( ) 【答案】正确 【分析】根据题意结合偶函数的定义即可得解. 【详解】函数，定义域为， ，符合偶函数的定义， 故答案为：正确. 18．函数是奇函数．( ) 【答案】正确 【分析】根据奇函数的定义即可得解. 【详解】函数，定义域为， ，符合奇函数的定义， 故答案为：正确. 19．如果函数的定义域为I，对于定义域内的每一个x，都有，那么是偶函数．( ) 【答案】正确 【分析】根据偶函数的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为I，对于定义域内的每一个x，都有， 可知定义域关于原点对称， 根据偶函数的定义可知：是偶函数． 故答案为：正确. 20．点P关于x轴对称的点的坐标是. ( ) 【答案】错误 【分析】根据对称概念求解即可. 【详解】点P关于x轴对称的点的坐标是. 故答案为：错误. 21．是奇函数. ( ) 【答案】错误 【分析】根据奇函数的定义判断. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ∵， ∴不是奇函数， 故答案为：错误. 22．函数是奇函数. ( ) 【答案】错误 【分析】根据奇函数的定义判断. 【详解】记 ，其定义域为 ，关于原点对称， 因为 ， 所以函数 不是奇函数， 故答案为：错误. 23．若为奇函数，则.( ) 【答案】错误 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】若函数为奇函数，且其定义域关于原点对称， 则对定义域内的任意，均满足， 故答案为：错误. 24．函数为偶函数( ) 【答案】正确 【分析】根据函数的奇偶性定义进行判定求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且. 所以函数为偶函数. 故答案为：正确. 1.（2024·河北·真题T31）函数是偶函数．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由正切函数及奇、偶函数的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数. 故答案为：错误. 2.（2025·河北·真题T33）函数为奇函数.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据题意，结合奇函数的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 又，， 所以， 故函数不是奇函数. 故题干表述错误. 故答案为：错误. 3.（2026·河北·真题T23）函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，结合函数值的正负即可求解. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故C、D选项错误； 当时，，，可排除B， 故选：A. 4.（2026·河北·真题T36）函数 是其定义域上的奇函数.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的概念可判断结果. 【详解】函数  ， 由可得:，即函数的定义域为， 可知定义域是关于原点对称的，且， 而， 所以该函数是偶函数，而非奇函数. 故答案为：错误 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $