专题7 函数的单调性（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性 【复习目标】 1.理解函数单调性、单调递增、单调递减的概念，能看懂函数图像判断增区间、减区间。 2.掌握一次函数、二次函数、简单幂函数的单调区间，会写出函数的单调区间，注意区间端点书写规范。 3.能够利用单调性比较同一函数内两个自变量对应的函数值大小。 4.结合奇偶性综合分析函数单调性，区分定义域内 “局部单调” 与 “整体单调”，看清题目给定区间。 5熟悉单招题型，能识别单调性相关选择题，规避易错点：单调区间不能随意取并集，注意定义域对单调区间的限制。 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．函数的单调性是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减，在上单调递增 D．无单调性 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性即可解答. 【详解】已知为一次函数， 且，所以函数在上单调递增， 故选：B. 2．函数在上为增函数，且，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数单调性求解不等式. 【详解】已知函数在上为增函数，且， 所以，解得， 则实数m的取值范围为， 故选：C. 3．已知函数在上是减函数，则m与2的关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解. 【详解】已知函数是开口向上的二次函数， 对称轴为， 二次函数在对称轴左侧单调递减，因此要使在上递减， 需，即，即， 故选：A. 4．已知函数在区间上为减函数，则一定有（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A. 5．下列函数为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，由于，所以不是减函数， 对于B，为上的单调递增函数， 对于C，，底数，则在上为单调递增函数， 对于D， ，底数，在上为单调递减函数， 故选：D. 6．函数在区间上的最大值是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在区间上的单调性，再根据单调性计算最大值. 【详解】设，则. 由于，所以，且. 所以，即. 所以函数在上单调递减，进而最大值为， 因此函数在上的最大值为3. 故选：A. 7．奇函数在关于原点对称的两个区间上有不同的单调性.( ) 【答案】错误 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性的概念，即可判断求解. 【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同. 故题干表述错误. 故答案为：错误. 8．函数既是奇函数又是增函数. ( ) 【答案】正确 【分析】根据奇函数的定义及增函数定义即可得解. 【详解】函数的定义域为，，则， 所以函数是奇函数， 又任取，且，则， 即，所以函数是增函数. 故答案为：正确. 9．函数既是减函数又是奇函数．( ) 【答案】错误 【分析】根据函数的单调性和函数的奇偶性的定义判断即可. 【详解】已知函数的定义域为， 函数的一次系数为，即函数在上单调递减， 令，则， 所以函数是减函数，但不是奇函数， 故答案为：错误. 10．函数在定义域R上是减函数( ) 【答案】正确 【分析】根据一次函数的单调性判断即可. 【详解】已知函数中，， 所以函数在定义域R上是减函数， 故答案为：正确. 11．函数在区间 内是增函数.( ) 【答案】正确 【分析】根据题意，结合二次函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为是二次函数，函数图像开口向上，对称轴为轴， 故函数在区间 内是增函数. 故题干表述正确. 故答案为：正确. 12．函数既是奇函数又是增函数. ( ) 【答案】错误 【分析】根据奇函数的定义及增函数定义即可得解. 【详解】函数，定义域为， ，，所以函数为奇函数， 取，，则， 此时，不符合增函数的定义，所以在定义域内不是增函数， 故答案为：错误. 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 3. 函数的值域： 常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 4. 求函数值域的常用方法： 图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 【即时训练】 13．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】分类讨论和，再分析函数单调性即可. 【详解】当时，函数，为一次函数，且一次系数，此时函数单调递增； 当时，函数，为一次函数，且一次系数，此时函数单调递减； 故函数的单调递增区间是. 故选：B. 14．若定义在上的偶函数在上单调递减，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用偶函数的性质得到在上为增函数，利用单调性比较大小即可得解. 【详解】函数为偶函数，且在上为减函数，所以在上为增函数， ，则，即，故错误； ，故错误，正确， 故选：. 15．在定义域内，下列函数既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义结合一次函数，反比例函数，二次函数，对数函数的单调性逐项分析即可. 【详解】已知的定义域为， 令，则， 所以为奇函数，且在上为增函数，故A正确， 已知的定义域为关于原点对称， 令，则， 所以为奇函数，且在和上为减函数，故B错误， 已知的定义域为， 令，则， 所以不是奇函数，故C错误， 的定义域为不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误， 故选：A. 16．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义及二次函数的性质即可得解. 【详解】，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； ，定义域为，，符合偶函数的定义， 图像为开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递增，故正确； ，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； ，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； 故选：. 17．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由常见函数的奇偶性和单调性判断即可. 【详解】对于A，是偶函数且在 递增，故A正确； 对于B，是奇函数，故B错误； 对于C，在上为偶函数，但在不单调，故C错误； 对于D，是奇函数，故D错误. 故选：A. 18．已知函数是定义在上的增函数，且满足，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，且， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：A. 19．定义在上的函数，满足 ，则函数为增函数. ( ) 【答案】错误 【分析】根据函数单调性的定义可确定答案． 【详解】定义在上的函数，满足 ，不能说明任意都有， 所以不能判断函数为增函数. 故答案为：错误. 20．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，，的大小关系是( ) 【答案】正确 【分析】根据偶函数及减函数性质即可得解. 【详解】函数为偶函数，则，， 当时，是减函数，又， 则，即， 故答案为：正确. 21．函数是减函数( ) 【答案】正确 【分析】由一次函数的单调性判断即可. 【详解】由一次函数的性质可知，函数在上单调递减. 所以函数是减函数. 故答案为：正确 22．函数在内是减函数.( ) 【答案】错误 【分析】根据一次函数的性质求解即可. 【详解】因为,所以一次函数在内是增函数. 故答案为：错误. 23．如果函数在区间内是增函数，则必有.( ) 【答案】错误 【分析】利用函数单调性的定义即可得解. 【详解】因为在区间内是增函数，， 所以，故该说法错误. 故答案为：错误. 24．函数在上单调递增.( ) 【答案】错误 【分析】根据单调性的定义即可得解. 【详解】因为函数，在区间上任取两个数且， 则，所以， 所以函数在上单调递减， 故答案为：错误. 1.（2024·河北·真题T14）函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 存在最小值 D. 存在最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式的单调性分析选项即可. 【详解】， 所以，即， 所以函数在上单调递增，故A正确，B错误， 既不存在最大值，也不存在最小值，故C，D错误. 故选：A. 2.（2025·河北·真题T30）已知在上是偶函数，时，， 则下列正确的是（ ） A. 在上只有一个根 B. 在上是单调递增 C. 当时， D. 在上有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据函数的单调性、最值即可求出结果. 【详解】在上是偶函数，时，, 当时，，， 令，则或，故A选项错误； 在是减函数，在是增函数，故B选项错误； 当时，，故C选项错误； 由在是减函数，在是增函数， 可得的最小值为，故D选项正确. 故选：D. 3.（2026·河北·真题T28）若幂函数为偶函数，且在上单调递增，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】若，则，在上单调递减，故A错误， 若，则，是偶函数，在上单调递增，故B正确， 若，则，在上单调递增，故C错误， 若，则，上单调递减，故D错误， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性 【复习目标】 1.理解函数单调性、单调递增、单调递减的概念，能看懂函数图像判断增区间、减区间。 2.掌握一次函数、二次函数、简单幂函数的单调区间，会写出函数的单调区间，注意区间端点书写规范。 3.能够利用单调性比较同一函数内两个自变量对应的函数值大小。 4.结合奇偶性综合分析函数单调性，区分定义域内 “局部单调” 与 “整体单调”，看清题目给定区间。 5熟悉单招题型，能识别单调性相关选择题，规避易错点：单调区间不能随意取并集，注意定义域对单调区间的限制。 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．函数的单调性是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减，在上单调递增 D．无单调性 2．函数在上为增函数，且，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上是减函数，则m与2的关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 4．已知函数在区间上为减函数，则一定有（    ） A． B． C． D．无法确定 5．下列函数为减函数的是（ ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最大值是（   ） A．3 B．4 C． D． 7．奇函数在关于原点对称的两个区间上有不同的单调性.( ) 8．函数既是奇函数又是增函数. ( ) 9．函数既是减函数又是奇函数．( ) 10．函数在定义域R上是减函数( ) 11．函数在区间 内是增函数.( ) 12．函数既是奇函数又是增函数. ( ) 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 3. 函数的值域： 常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 4. 求函数值域的常用方法： 图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 【即时训练】 13．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．不存在 14．若定义在上的偶函数在上单调递减，则（   ）. A． B． C． D． 15．在定义域内，下列函数既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 16．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 17．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数是定义在上的增函数，且满足，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 19．定义在上的函数，满足 ，则函数为增函数. ( ) 20．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，，的大小关系是( ) 21．函数是减函数( ) 22．函数在内是减函数.( ) 23．如果函数在区间内是增函数，则必有.( ) 24．函数在上单调递增.( ) 1.（2024·河北·真题T14）函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 存在最小值 D. 存在最大值 2.（2025·河北·真题T30）已知在上是偶函数，时，， 则下列正确的是（ ） A. 在上只有一个根 B. 在上是单调递增 C. 当时， D. 在上有最小值 3.（2026·河北·真题T28）若幂函数为偶函数，且在上单调递增，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $