专题3 一元二次不等式（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 一元二次不等式 【复习目标】 1.理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，会看二次函数图像解不等式。 2.熟练解不含参数的一元二次不等式，能正确写出解集，会用集合、区间两种形式表示解集。 3.会求解简单含参一元二次不等式，重视判别式，能区分二次项系数大于 0、小于 0 的情况。 4.能处理一元二次不等式恒成立问题，掌握恒成立条件，区分二次项系数为 0 和不为 0 的情况。 5.能够识别单招考试常见题型，注意解集端点能否取等号，提升数形结合解题能力，解决简单综合小题。 【考点1 一元一次不等式】 1. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 2. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的 ． 【即时训练】 1．设，，在实数范围内，是的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．若不等式的解集为，则的符号是（    ）. A． B． C． D．无法确定 3．已知方程的两个根是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为空集，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 5．恒成立的条件为．( ) 6．函数的定义域是．( ) 7．不等式的解是.( ) 8．不等式的解集为.( ) 【考点2 一元二次不等式】 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x∈R 且x≠x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【即时训练】 9．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 10．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 11．下列不等式中，属于一元二次不等式的是（    ）. A． B． C． D． 12．不等式 解集为（    ） A． B． C． D． 13．不等式的解集是.( ) 14．不等式的解集为或( ) 15．不等式的解集为( ) 16．不等式的解集是( ) 【考点3 简单分式不等式的解法】 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【即时训练】 17．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 18．若是不等式的一个解，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 19．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 20．不等式 的解集是（    ）. A． B． C． D． 21．已知集合，则中元素的个数是4个( ) 22．不等式的解集为( ) 23．不等式的解集为( ) 24．设集合，，则．( ) 1.（2025·河北·真题T9） 的解为（ ） A. B. C. D. 2.（2025·河北·真题T36）对于任意的实数x， 不等式恒成立 . （ ） 3.（2026·河北·真题T30）.则下列说法正确的有（ ）个 ① 函数关于对称 ②若最小值为，则. ③ 若 恒成立,则 A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 一元二次不等式 【复习目标】 1.理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，会看二次函数图像解不等式。 2.熟练解不含参数的一元二次不等式，能正确写出解集，会用集合、区间两种形式表示解集。 3.会求解简单含参一元二次不等式，重视判别式，能区分二次项系数大于 0、小于 0 的情况。 4.能处理一元二次不等式恒成立问题，掌握恒成立条件，区分二次项系数为 0 和不为 0 的情况。 5.能够识别单招考试常见题型，注意解集端点能否取等号，提升数形结合解题能力，解决简单综合小题。 【考点1 一元一次不等式】 1. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 2. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【即时训练】 1．设，，在实数范围内，是的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，及二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 2．若不等式的解集为，则的符号是（    ）. A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则函数的图像为开口向下的抛物线， 所以， 故选：. 3．已知方程的两个根是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，所以二次函数开口方向向上， 又二次方程两根为，即二次函数与交点为， 则对应图像在轴下方的部分， 开口向上，图像在两根之间的部分位于轴下方，， 所以的解集为， 故选：A. 4．已知关于的不等式的解集为空集，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集为空集列不等式求解即可. 【详解】不等式 的解集为空集， 则，解得. 则的取值范围是. 故选：A. 5．恒成立的条件为．( ) 【答案】错误 【分析】分别考虑与的情况，得出不等式恒成立的条件即可判断. 【详解】当时，即恒成立，需满足且， 当时，若恒成立，需满足且， 综上，题中说法是错误的. 故答案为：错误. 6．函数的定义域是．( ) 【答案】正确 【分析】根据二次根式的被开方数须大于等于0，列出不等式求解. 【详解】函数有意义，需满足， 可得：，解得：， 所以函数的定义域是. 故答案为：正确. 7．不等式的解是.( ) 【答案】正确 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 解得， 故答案为：正确. 8．不等式的解集为.( ) 【答案】正确 【分析】根据一元二次方程与一元二次不等式的关系求解即可. 【详解】不等式等价于. 一元二次方程的判别式， 所以方程无实根. 又因为函数，开口向上，所以不等式的解集为. 故答案为：正确. 【考点2 一元二次不等式】 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x∈R 且x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【即时训练】 9．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据时，一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】对应方程的判别式，方程无实数根， 因为，抛物线开口向上且与x轴无交点， 整个图像都在x轴上方，函数值恒大于0， 因此，不存在使函数值小于0的x，解集为空集. 故选：B. 10．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可转化为， 解得或，故解集为. 故选：B. 11．下列不等式中，属于一元二次不等式的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式，由此判断选项即可. 【详解】A选项，符合定义，是一元二次不等式. B选项，未知数最高次数为3，不是一元二次不等式. C选项，未知数最高次数为1，不是一元二次不等式. D选项，含有分式，不是整式不等式，不是一元二次不等式. 故选：A. 12．不等式 解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式可转化为， 因为对于任意实数，都有， 要使成立，只能，即， 所以不等式的解集为， 故选：C. 13．不等式的解集是.( ) 【答案】正确 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：正确. 14．不等式的解集为或( ) 【答案】正确 【分析】根据一元二次不等式解法求解即可. 【详解】因为不等式的二次项系数为，对应的方程的解为， 所以不等式的解集为或. 故答案为：正确. 15．不等式的解集为( ) 【答案】错误 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为不等式可化为， 解得，所以解集为， 故答案为：错误. 16．不等式的解集是( ) 【答案】正确 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】由，解得， 即不等式的解集为， 故答案为：正确. 【考点3 简单分式不等式的解法】 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 【即时训练】 17．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】可化为， 两边同乘，得， 解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 18．若是不等式的一个解，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知解代入不等式，求参数范围即可. 【详解】将代入不等式， 得：. 故选：A 19．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 又任意实数的平方都大于等于 0，即， 所以只能，解得， 故不等式的解集为， 故选：C. 20．不等式 的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式， 对应方程的根为， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 21．已知集合，则中元素的个数是4个( ) 【答案】正确 【分析】根据并集概念求解. 【详解】因为， 所以，所以中元素的个数有4个. 故答案为：正确. 22．不等式的解集为( ) 【答案】正确 【分析】根据分式不等式转化为一元二次不等式求解判断即可； 【详解】， 所以不等式的解集为. 故答案为：正确. 23．不等式的解集为( ) 【答案】正确 【分析】根据分式不等式的运算判断即可； 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：正确 24．设集合，，则．( ) 【答案】正确 【分析】求解集合B中的一元二次不等式得到集合B，根据集合交集运算法则即可得到结果并进行判断． 【详解】解不等式得：， 即， ∵， ∴， 故答案为：正确． 1.（2025·河北·真题T9） 的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 详解】， 解得或， 故不等式的解为. 故选：A. 2.（2025·河北·真题T36）对于任意的实数x， 不等式恒成立 . （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据作差法即可判断. 【详解】不等式， 则有，即不成立， 所以对于任意的实数x， 不等式不成立. 故答案为：错误. 3.（2026·河北·真题T30）.则下列说法正确的有（ ）个 ① 函数关于对称 ②若最小值为，则. ③ 若 恒成立,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可判断①正确；令 ，将函数转化为函数 ，， 根据对称轴与0的大小讨论，可得最小值的表达式，进而求出； 恒成立,等价于， 讨论对称轴与区间的位置关系可得最大值，据此可得结果. 【详解】. 令 ，则化为函数 . 对① ，， ， 所以，即函数关于 对称，正确； 对② ，在二次函数 ，中， 函数的对称轴为，且开口向下， （1）若，即时，此时，， 函数的最小值为，不符合题意； （2）若，即时， ，不符合题意； （3）若，即时，则 ，解得. 综上所述，，故②正确； 对③ ，若 恒成立，等价于. 在二次函数 ，中， 函数的对称轴为，且开口向下， （1）若，即时， 函数的最大值为，解得与相矛盾； （2）若，即时， ，所以符合题意； （3）若，即时，则 ，解得， 又，所以 综上所述，，故②正确； 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $