专题2 不等式的基本性质及区间（讲义）-2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 不等式的基本性质及区间 【复习目标】 1.理解不等式的基本性质，能够利用性质判断不等式变形是否正确，会用作差法比较两个实数的大小。 2.掌握区间的概念，熟练书写开区间、闭区间、半开半闭区间，能实现集合、不等式、区间三者之间的相互转化。 3.会解一元一次不等式、一元一次不等式组，能用区间表示不等式（组）的解集，会借助数轴分析解集。 4.能结合单招题型处理不等式基础小题，区分等号有无，规避端点取值易错点，解决简单实际不等关系问题。 【考点1 实数的大小与运算性质的关系】 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 【即时训练】 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ）. A． B． C． D． 3．下列区间表示错误的是（    ）. A． B． C． D． 4．自然数集N可以用区间表示．( ) 5．集合可将区间表示为.( ) 6．不等式的解集为．( ) 【考点2 比较大小的常用方法】 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用 、 、 等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 【即时训练】 7．下列区间中，表示全体实数集的是（    ）. A． B． C． D． 8．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 9．集合或 用区间表示为（    ）. A． B． C． D． 10．区间是无限集( ) 11．不等式的解集为.( ) 12．区间表示大于等于且小于的实数组成的集合.( ) 【考点3 不等式的性质】 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【即时训练】 13．若全集，集合，则（    ）. A． B． C． D． 14．区间用集合表示为（    ）. A． B． C． D． 15．已知集合，则（    ）. A． B． C． D． 16．区间表示所有小于的实数组成的集合.( ) 17．集合的区间表示为 ( ) 18．已集合，集合，，则实数a的取值范围为( ) 【考点4 区间及有关概念】 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【即时训练】 19．不等式的解集用区间表示为（    ） A． B． C． D． 20．设集合，则（    ） A． B． C． D． 21．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 22．已知，，则( ) 23．不等式用区间表示正确的是( ) 24．不等式的解集可以用区间表示．( ) 1.（2024·河北·真题T3）不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·河北·真题T6）满足不等式整数解的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.（2025·河北·真题T3）若 ，则（ ） A. B. C. D. 4.（2025·河北·真题T4）不等式解集为（ ） A. B. C. D. 5.（2026·河北·真题T9）若，则下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 不等式的基本性质及区间 【复习目标】 1.理解不等式的基本性质，能够利用性质判断不等式变形是否正确，会用作差法比较两个实数的大小。 2.掌握区间的概念，熟练书写开区间、闭区间、半开半闭区间，能实现集合、不等式、区间三者之间的相互转化。 3.会解一元一次不等式、一元一次不等式组，能用区间表示不等式（组）的解集，会借助数轴分析解集。 4.能结合单招题型处理不等式基础小题，区分等号有无，规避端点取值易错点，解决简单实际不等关系问题。 【考点1 实数的大小与运算性质的关系】 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 【即时训练】 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含绝对值的不等式基本解法，进行求解即可. 【详解】由不等式，两边同时减4得， 两边同时乘以得， 根据含绝对值的不等式知恒成立，故该不等式无解，即解集为. 故选：D. 2．已知集合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】在数轴上表示出集合，    两个集合的交集是取两个集合的公共部分， 观察数轴可知，， 故选：A 3．下列区间表示错误的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解集合描述法与区间表示之间的对应关系即可得解. 【详解】选项A：集合表示所有大于的实数构成的集合， 所以，该选项正确. 选项B：集合表示所有小于等于的实数构成的集合， 所以，该选项正确. 选项C：集合表示大于且小于等于的实数构成的集合， 所以，该选项正确， 选项D：集合表示所有大于等于的实数构成的集合，正确的区间表示应该是，该选项错误. 故选：D. 4．自然数集N可以用区间表示．( ) 【答案】错误 【分析】根据自然数的概念即可解答. 【详解】区间表示的是大于等于0的实数， 所以自然数集N不可以用其表示. 故答案为：错误. 5．集合可将区间表示为.( ) 【答案】正确 【分析】根据区间的定义求解即可. 【详解】集合用区间表示为. 故答案为：正确. 6．不等式的解集为．( ) 【答案】错误 【分析】先解不等式，再用区间表示即可. 【详解】， 解得，故此不等式的解集为. 故答案为：错误. 【考点2 比较大小的常用方法】 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 【即时训练】 7．下列区间中，表示全体实数集的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间表示的含义即可得解. 【详解】表示从负无穷到正无穷的所有实数，是全体实数集的区间表示. 故选：C. 8．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的定义与表示求解. 【详解】集合用区间表示为. 故选：C. 9．集合或 用区间表示为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据区间的表示方法，即可解得. 【详解】集合或由两部分组成， 一部分是小于的数，表示为； 另一部分是大于等于3的数，表示为， 所以集合可表示为. 故选：B 10．区间是无限集( ) 【答案】正确 【分析】根据无限集的概念判断即可. 【详解】已知区间， 其中元素的个数是无限的， 所以区间是无限集， 故答案为：正确. 11．不等式的解集为.( ) 【答案】错误 【分析】解一元一次不等式即可得解. 【详解】不等式，解得， 所以解集为， 故答案为：错误. 12．区间表示大于等于且小于的实数组成的集合.( ) 【答案】正确 【分析】根据区间表示法判断即可. 【详解】已知区间， 即表示大于等于且小于的实数组成的集合. 故答案为：正确. 【考点3 不等式的性质】 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【即时训练】 13．若全集，集合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】已知全集，集合， 则， 故选：A. 14．区间用集合表示为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据区间表示法即可解答. 【详解】区间用集合表示为， 故选：B. 15．已知集合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据区间的并集运算结合并集是将两个集合的所有元素合并求解即可. 【详解】已知集合，    则. 16．区间表示所有小于的实数组成的集合.( ) 【答案】正确 【分析】根据区间的定义求解即可. 【详解】区间表示所有小于的实数组成的集合. 故答案为：正确. 17．集合的区间表示为 ( ) 【答案】错误 【分析】根据区间的概念可确定答案． 【详解】的区间表示为， 故答案为：错误. 18．已集合，集合，，则实数a的取值范围为( ) 【答案】错误 【分析】根据集合交集的概念判断即可. 【详解】因为集合，集合，， 所以，则实数a的取值范围为. 故答案为：错误 【考点4 区间及有关概念】 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【即时训练】 19．不等式的解集用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，等价于或，解得或. 故其解集为. 故选：B. 20．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义与运算，结合区间的表示求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 21．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解一元二次不等式的方法即可求解. 【详解】， 二次函数的图象开口向上， 的两根分别为， 的解集为两根之间，即. 故选：A 22．已知，，则( ) 【答案】正确 【分析】根据区间的交集运算易得答案. 【详解】由，， 根据区间的交集运算，， 故答案为：正确. 23．不等式用区间表示正确的是( ) 【答案】正确 【分析】由区间的定义判断即可. 【详解】不等式用区间表示为. 故答案为：正确. 24．不等式的解集可以用区间表示．( ) 【答案】正确 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得，解得， 所以不等式的解集可以用区间表示， 故答案为：正确. 1.（2024·河北·真题T3）不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解出一元一次不等式，再取交集即可. 【详解】不等式组，解得，即， 所以不等式组的解集为. 故选：D. 2.（2024·河北·真题T6）满足不等式整数解的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求解不等式，再计算整数解的个数即可. 【详解】因为不等式为， 所以可得， 所以整数解有0,1,2,3共4个. 故选：C. 3.（2025·河北·真题T3）若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】对ABD，令，则，故ABD错误. 对C，由不等式的乘法性质可得，等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变， 所以若 ，则，故C正确. 故选：C. 4.（2025·河北·真题T4）不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值不等式进行求解即可. 【详解】因为恒成立， 所以要使不等式成立，则，即， 所以不等式解集为. 故选：C. 5.（2026·河北·真题T9）若，则下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合不等式的性质即可得解. 【详解】，则，故正确； 当时，此时，，故错误； 当时，满足，此时，故错误， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $