第1卷 集合与充要条件 2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦集合与充要条件核心考点，以"一考一讲"实现课堂检测与即时巩固，通过基础概念到综合应用的递进训练，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合概念与表示|选择1-2,6-7/填空13|元素属性判断、集合相等性、列举法表示|从元素确定性到集合表示方法，构建概念生成链条| |集合运算与关系|选择4-5,10/填空11-12/解答15|子集关系、交集/并集运算、参数问题|从基本运算到含参数综合题，形成应用拓展逻辑| |充要条件判断|选择3,8-9/解答16-17|条件关系辨析、命题与集合关联|结合集合包含关系理解充要条件，建立逻辑推理框架|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若是中的元素，但不是中的元素，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．“同位角相等”是“两直线平行”的（　　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0 C．3 D． 5．某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 6．下列各组中，集合P与集合Q表示同一个集合的是（    ） A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的根构成的集合 7．用列举法可将集合表示为（ ） A． B． C． D． 8．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．满足关系ÜÜ的集合的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知集合，，若，则符合条件的集合C的个数为________． 12．满足的集合的个数为_______. 13．方程组的解集为_______. 14．已知集合，则_________． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 16．已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 17．已知，． (1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断集合的元素类型，根据集合交集运算的含义，可得答案. 【详解】由题意可知集合为数集，集合表示点集， 二者元素类型不同，所以， 故选：D. 2．若是中的元素，但不是中的元素，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常用数集的定义即可解答. 【详解】已知为实数集，为有理数集， 由是中的元素，但不是中的元素， 可知是无理数， 其中，，均为有理数，为无理数， 故选：D. 3．“同位角相等”是“两直线平行”的（　　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义求解即可. 【详解】若“同位角相等”，则“两直线平行”. 若“两直线平行”，则“同位角相等”. 故“同位角相等”是“两直线平行”的既是充分条件，也是必要条件. 故选：C. 4．已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可. 【详解】， ，解得或， 当时，， 不满足集合中元素的互异性，舍去. 当时，， 此时，满足题意. 综上，. 故选：C. 5．某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 【答案】A 【分析】由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解． 【详解】设高一（3）班50名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为 由题意集合A有15个元素，B有20个元素，中有12个元素， 所以有个元素， 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 故选：A 6．下列各组中，集合P与集合Q表示同一个集合的是（    ） A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的根构成的集合 【答案】A 【详解】解析　由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合． 7．用列举法可将集合表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，， 所以集合用列举法表示为. 故选：D. 8．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】由解得或，故充分性不成立； 又则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 9．“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分以及必要的定义求解即可. 【详解】因为且，但且， “且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．满足关系ÜÜ的集合的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据对真子集概念的理解，列举集合的情况即可. 【详解】由ÜÜ， 得，且三个元素至少一个属于，且至多两个属于. 法一：故或或或或或， 满足题意的集合共个. 法二：问题等价于集合的非空真子集的个数， 则共有个. 故选：B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知集合，，若，则符合条件的集合C的个数为________． 【答案】4 【解析】略 12．满足的集合的个数为__ 【答案】4 【分析】首先由题意分析得到，然后列举出集合的所有可能情况即可. 【详解】由题意若， 则， 所以满足题意的集合可能是：共有4个. 故答案为：4. 13．方程组的解集为_______. 【答案】 【分析】解二元一次方程组即可求解. 【详解】由 ①②，可得，解得， 所以不等式组的解集为. 故答案为： 14．已知集合，则__________． 【答案】/ 【分析】根据交集的概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意可得方程有实数根，进而结合根的判别式求解即可； （2）结合题意可得，，进而求得的值，进而求得集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】（1）因为是非空集合， 所以方程有实数根， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为，， 所以，，且，， 所以，解得，， 所以，， 所以. 16．已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的范围，求出补集和交集即可； （2）根据p是q的必要条件，可知，列式计算即可. 【详解】（1）当时，， 又或， ； （2）命题p：，命题q：，p是q的必要条件， ， 或，解得. 17．已知，． (1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在， (2)存在， 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合P，由于是的充分条件，则集合包含于集合，即可求解； （2）由于是的必要条件，则集合包含于集合，求出实数m的范围即可． 【详解】（1）由题意， ∴要使是的充分条件，需使， 即，解得， ∴存在实数，使是的充分条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意；. 当时，，解得， 要使，则有，解得，∴， 综上得，存在实数，是的必要条件． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $