专题13 任意角的三角函数与弧度制（讲义）-2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 任意角的三角函数与弧度制 【复习目标】 1.理解任意角的概念，掌握终边相同的角的表示方法，会判断角所在的象限。 2.理解弧度制概念，掌握角度与弧度的互相换算，记住常用特殊角的角度、弧度对应值。 3.理解任意角三角函数的定义，已知终边上一点坐标，会求。 4.掌握三角函数在各象限的符号，能够快速判断三角函数值正负。 5.熟记等特殊角的三角函数值，会直接代入计算。 6掌握弧长公式、扇形面积公式，能进行简单扇形相关计算。 考点 1 任意角与终边相同的角 【考点知识回顾】 角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角； 零角：没有做任何旋转，角度为。 终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同在内，可写成： 角度制：，； 弧度制：，。 k必须是________。 重要：终边相同的角不一定相等，相差的整数倍；终边相同的角三角函数值相等。 象限角：把角顶点放在坐标原点，始边和x轴正半轴重合，终边落在第几象限，就叫第几象限角；终边落在坐标轴上叫轴线角。 即时训练 题型一 任意角的概念 1．若将分针按快分钟，则分针旋转形成的角为（     ） A． B． C． D． 2．钟表走过2小时，则该钟表时针转过的角度为（ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A．第一象限角是正角 B．钝角是第二象限角 C．第一象限角小于第二象限角 D．三角形内角是象限角 题型二 终边相同的角 4．已知角的终边经过点，则与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 5．与角终边位置相同的角是（    ） A． B． C． D． 6．与角终边相同的角的集合可以表示为（   ） A． B． C． D． 7．与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 考点 2 弧度制、角度弧度换算、扇形公式 【考点知识回顾】 换算核心等式：（弧度） 由此推出： ________弧度； 1弧度=________度。 常用特殊角换算 表格 角度 弧度 0 扇形公式，设扇形圆心角（弧度制），半径r ①弧长公式：l=________； ②扇形面积：。 即时训练 题型一角度与弧度的换算 1． 化为弧度为 （    ） A． B． C． D． 2．将转换为角度为（    ） A． B． C． D． 3．弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 题型二扇形的弧长与面积 4．若扇形半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的半径为（    ） A．4 B． C． D． 6．设圆的半径为 ，则圆心角为 的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 7．若一扇形的圆心角为半径为20，则扇形的面积为（    ） A． B． C．40 D．80 考点 3 任意角三角函数定义（单招高频） 【考点知识回顾】 设角终边上任意一点P(x,y)，点P到原点距离：，。 三角函数定义：； ；________（）；注意：中，，即终边不能落在y轴上。 即时训练 1．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．已知角的终边上一点，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．以上都不对 3．已知点 为第三象限角 终边上一点，且，则实数 （    ） A． B． C． D． 4．若 的终边经过点 ，则 （    ） A． B． C． D． 5．已知角 的终边上一点 ，则（     ） A． B． C． D． 6．已知点在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 考点 4 三角函数在各象限符号 【考点知识回顾】 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 第一象限：全部为正； 第二象限：只有，其余负； 第三象限：只有，其余负； 第四象限：只有，其余负。 即时训练 1．下列三角函数值为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 考点 5 特殊角三角函数值 【考点知识回顾】 表格 特殊角三角函数值（必背） 角度 sin cos tan 0° 0 1 0 30° 1/2 /2 /3 45° /2 /2 1 60° /2 1/2 90° 1 0 无 120° /2 -1/2 135° /2 /2 -1 150° 1/2 /2 /3 180° 0 -1 0 【即时训练】 1．（   ） A． B． C． D． 2． 的值等于（   ） A． B． C． D． 3．计算：（   ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．已知，且α是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 1.（2024·陕西·真题T14）__________ 2.（2023·陕西·真题T04）已知角，则所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.（2023·陕西·真题T13） _________． 4.（2022·陕西·真题T13）13. ______. 5.（2021·陕西·真题T03）若为角终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6.（2021·陕西·真题T13）___________. 7.（2020·陕西·真题T05）已知角的终边经过点，则下列结果正确的是（ ） A B. C. D. 8.（2020·陕西·真题T13） ______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 任意角的三角函数与弧度制 【复习目标】 1.理解任意角的概念，掌握终边相同的角的表示方法，会判断角所在的象限。 2.理解弧度制概念，掌握角度与弧度的互相换算，记住常用特殊角的角度、弧度对应值。 3.理解任意角三角函数的定义，已知终边上一点坐标，会求。 4.掌握三角函数在各象限的符号，能够快速判断三角函数值正负。 5.熟记等特殊角的三角函数值，会直接代入计算。 6掌握弧长公式、扇形面积公式，能进行简单扇形相关计算。 考点 1 任意角与终边相同的角 【考点知识回顾】 角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角； 零角：没有做任何旋转，角度为。 终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同在内，可写成： 角度制：，； 弧度制：，。 k必须是整数。 重要：终边相同的角不一定相等，相差的整数倍；终边相同的角三角函数值相等。 象限角：把角顶点放在坐标原点，始边和x轴正半轴重合，终边落在第几象限，就叫第几象限角；终边落在坐标轴上叫轴线角。 即时训练 题型一 任意角的概念 1．若将分针按快分钟，则分针旋转形成的角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合任意角的相关定义即可得解. 【详解】分针转一圈需要分钟，所以分针每分钟转的度数为， 分针转分钟，分针旋转形成的角为， 将转化为弧度为， 故选：. 2．钟表走过2小时，则该钟表时针转过的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角的概念求解. 【详解】因为时针每小时转过的角度为，时针顺时针旋转所成的角为负角， 所以该钟表时针转过的角度为. 故选：A. 3．下列说法正确的是（ ） A．第一象限角是正角 B．钝角是第二象限角 C．第一象限角小于第二象限角 D．三角形内角是象限角 【答案】B 【分析】由象限角的定义逐项分析即可得解. 【详解】对于选项A：第一象限角有负角，如是第一象限角，但它是负角，选项A错误. 对于选项B：钝角是的角，是第二象限角，选项B正确. 对于选项C：第一象限角不一定小于第二象限角，如是第一象限角，是第二象限角，但是，选项C错误. 对于选项D：三角形内角不一定是象限角，如是三角形内角，但它是界限角，选项D错误. 故选：B. 题型二 终边相同的角 4．已知角的终边经过点，则与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出，得出在内，，利用终边相同的角的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点，, 则在内，， 则与角终边相同的角的集合， 故选：. 5．与角终边位置相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的定义求解即可解得. 【详解】由题，与终边相同的角为. 选项A：令，解得不为整数，错误. 选项B：令，解得不为整数，错误. 选项C：令，解得不为整数，错误. 选项D：令，解得符合题意，正确. 故选：D 6．与角终边相同的角的集合可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边相同角的集合可求. 【详解】，所以与终边相同. 所以与角终边相同的角的集合为： 故选：A. 7．与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合终边相同的角即可得解. 【详解】与角终边相同的角可写成， ，解得，故错误； ，解得，故错误； ，解得，故正确； ，解得，故错误， 故选：. 考点 2 弧度制、角度弧度换算、扇形公式 【考点知识回顾】 换算核心等式：（弧度） 由此推出： 弧度； 1弧度=度。 常用特殊角换算 表格 角度 弧度 0 扇形公式，设扇形圆心角（弧度制），半径r ①弧长公式：l=； ②扇形面积：。 即时训练 题型一角度与弧度的换算 1． 化为弧度为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度与弧度的转换关系，求解即可. 【详解】因为弧度，所以， 故选：C. 2．将转换为角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角度制和弧度制之间的转化即可求解. 【详解】由，所以. 故选：D. 3．弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将弧度制转化为角度制即可得解. 【详解】弧度化为角度为， 故选：B. 题型二扇形的弧长与面积 4．若扇形半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】，. 故选：D. 5．已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的半径为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式为即可得解. 【详解】圆心角为，转化为弧度制为， 扇形的弧长为，设扇形的半径为， 则，解得， 故选：. 6．设圆的半径为 ，则圆心角为 的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的转化，及扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】因为， 所以弧长. 故选：D. 7．若一扇形的圆心角为半径为20，则扇形的面积为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】A 【分析】将角度制转换为弧度制，根据弧长公式和扇形面积公式即可求解. 【详解】将转换为弧度制为， 因为半径为20， 所以弧长为 由扇形面积公式得. 故选：A. 考点 3 任意角三角函数定义（单招高频） 【考点知识回顾】 设角终边上任意一点P(x,y)，点P到原点距离：，。 三角函数定义：； ；（）； 注意：中，，即终边不能落在y轴上。 即时训练 1．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，解得. 故选：C. 2．已知角的终边上一点，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用三角函数中的计算公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为角的终边上一点， 则得，解得. 故选：C. 3．已知点 为第三象限角 终边上一点，且，则实数 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知第三象限的点满足 ， 由三角函数定义，，其中 ， 根据题意，，解得， 即，因为，所以. 故选：B. 4．若 的终边经过点 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】点 到原点的距离 故选：B. 5．已知角 的终边上一点 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由任意角的三角函数定义及诱导公式即可得解. 【详解】由角 的终边上一点 ，可得 ， 因此，. 故选：B. 6．已知点在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意得，点在角的终边上，则，所以， . 故选：D. 考点 4 三角函数在各象限符号 【考点知识回顾】 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 第一象限：全部为正； 第二象限：只有，其余负； 第三象限：只有，其余负； 第四象限：只有，其余负。 即时训练 1．下列三角函数值为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求解. 【详解】因为为第四象限角，所以，选项A正确； 因为为第三象限角，所以，选项B错误； 因为为第四象限角，所以，选项C错误； 因为为第二象限角，所以，选项D错误. 故选：A. 2．若，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】A 【分析】根据三角函数值的正负判断即可. 【详解】由，得同号，即是第一或第三象限角． 故选：A． 考点 5 特殊角三角函数值 【考点知识回顾】 表格 特殊角三角函数值（必背） 角度 sin cos tan 0° 0 1 0 30° 1/2 /2 /3 45° /2 /2 1 60° /2 1/2 90° 1 0 无 120° /2 -1/2 135° /2 /2 -1 150° 1/2 /2 /3 180° 0 -1 0 【即时训练】 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求值即可. 【详解】. 故选：B. 2． 的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由终边相同的角的概念、特殊角的三角函数值及诱导公式即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：C. 4．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式进行化简计算. 【详解】. 故选：C. 5．已知，且α是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系及各象限角三角函数值的符号规则可求解. 【详解】因为，且是第四象限角， 所以，则． 故选：D． 1.（2024·陕西·真题T14）__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数诱导公式和特殊角的三角函数值，即可解得. 【详解】. 故答案为： 2.（2023·陕西·真题T04）已知角，则所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用终边相同的角判断象限即可. 【详解】，，为第二象限角， 因为与终边相同， 则所在的象限是第二象限； 故选：B. 3.（2023·陕西·真题T13） _________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用诱导公式化简求值即可. 【详解】 ， 故答案为：. 4.（2022·陕西·真题T13）13. ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 5.（2021·陕西·真题T03）若为角终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，根据任意角的三角函数的定义可求解. 【详解】由已知可得， 根据任意角的三角函数的定义可得 . 故选：B. 6.（2021·陕西·真题T13）___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值可求解. 【详解】. 故答案为： 7.（2020·陕西·真题T05）已知角的终边经过点，则下列结果正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义计算即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， ，. 故选：B. 8.（2020·陕西·真题T13） ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式将角度转换成特殊角求值即可. 【详解】. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $