专题12 函数实际应用题（讲义）-2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 函数实际应用题 【复习目标】 1.掌握函数应用题的解题一般步骤。 2.能读懂实际问题文字、图像信息，会建立一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题。 3.掌握经济类模型：成本、销售收入、销售利润之间关系，能求解利润最大、收入最大类问题。 4.掌握几何模型：利用几何图形边长、面积关系建立二次函数，求面积最值。 5.掌握运动图像类模型：读懂图像，利用分段函数表达物理量。 考点 1 解函数应用题通用流程 【考点知识回顾】 审题：读懂题干，分清已知量、未知量，理清各个量之间的数量关系； 设元：设出自变量x，因变量y； 建模：根据题意列出函数关系式； 关键一步：写出实际定义域，自变量要满足现实意义（如件数、重量不能为负数）； 求解：利用一次函数、二次函数、分段函数性质计算，求解析式、求最值； 作答：把数学计算结果还原为实际问题答案，写出完整文字回答。 实际应用题求出函数之后，一定要写出自变量的________，要符合现实生活意义。 即时训练 1．某文具店销售一种笔记本，若每本定价5元，每天可售出100本.市场调查发现，售价每上涨0.5元，销量就会减少10本. (1)设售价上涨 个0.5元，求日销售量 （本）与 之间的函数关系式； (2)若要使日销售额（销售额=售价×销售量）不低于540元，售价应控制在什么范围内？ 【答案】(1)（本），其中 且为整数 (2)不存在这样的售价范围 【分析】（1）根据销售量与售价的关系确定函数关系式即可； （2）根据日销售额不小于540元列式求解即可； 【详解】（1）由题意可得，售价为元， 售价每上涨0.5元，销量就会减少10本， 故销售量（本），其中且为整数 （2）日销售额 . 令 ，即 . 化简得 ⇒ ⇒ ⇒ ，此不等式无解. 所以不存在这样的售价范围. 2．某制衣厂生产一种运动服套装，当日出货量为x（套）时，生产成本为（元），厂家拟定该运动服的出厂价为（元/套）． (1)如果日出货量为5套，该厂家是盈利还是亏本？通过计算加以说明； (2)试确定厂家的日出货量，使该厂盈利不少于元． 【答案】(1)厂家亏本 (2)该厂家日出货量为（）（套）时，盈利不少于1960元 【分析】（1）根据盈利等于销售收入减成本列式，再代入求值即可. （2）根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）销售收入为（元），成本为C（元）， 生产成本为（元），出厂价为， 则盈利为， 当日出货量为（套）时， 因为． 所以厂家亏本. （2）由（1）可知，若使该厂盈利不少于元， 则， 即， 整理得， 分解因式得， 解得， 故该厂家日出货量为（）（套）时，盈利不少于元． 考点 2 经济利润类模型 【考点知识回顾】 核心公式挖空 销售收入=________； 总成本=________成本+变动成本； 利润=________-总成本。 概念解释 固定成本：不随产量改变的成本（厂房、设备，产量为 0 也要付出）。 变动成本：每生产一件产品增加的成本，随产量增大而增大。 题型特点： 建立函数后多数得到二次函数，利用顶点求最大利润、最大销售收入；部分价格变化题目建立分段函数，要分别在每一段求最值再比较。 即时训练 1．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出 2 件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利为多少元？ 【答案】(1)或. (2)每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多为元. 【分析】（）根据题意列出方程即可得解. （）根据题意求出关于盈利的函数解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设降价元，则每件盈利元，每天售出件， 由， 解得或， 每件衬衫应降价元或元. （2）设每天盈利为元，降价元，， 则，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为，， 所以当时，盈利最多为元， 所以每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多为元. 2．某农家旅游公司有客房间，当每间房每日房租元，每天都客满.现在公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日房租每增加2元，客房出租数就会减少间，若不考虑其他因素，那么旅游公司将房租提高到多少元时，每天客房的租金总收入最高并求最高收入是多少元？ 【答案】将房租提高到元时，每天客房的租金总收入最高，最高收入是元 【分析】设每间客房每日房租增加元，根据题意建立租金总收入的函数表达式，再由二次函数的最值公式求值即可. 【详解】设每间客房每日房租增加元，租金为元， 则客房出租数为间，且， 设每天客房的租金总收入为元， 则 ， 因为此函数二次项系数小于0， 所以图象开口向下，当时， 有最大值为， 此时租金为元， 所以将房租提高到元时，每天客房的租金总收入最高，最高收入是元. 3．某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量T（件）与每件的销售价（元/件）之间的函数关系式. (1)写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式（每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差） (2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少元？ 【答案】(1) (2)每件销售价应定为55元，最大销售毛利润为507元 【分析】（1）根据毛利润的定义（每件利润×销售量），结合进价、售价与销售量的关系列出函数关系式； （2）利用二次函数的性质求解最大值即可。 【详解】（1）每件服装的毛利润为售价减去进价，即元， 每天的销售量为件， 可得利润， 由和，得到， 所以函数关系为. （2）二次函数，图象开口向下， 当时，此时， 取得最大值，即， 所以每件销售价应定为55元，最大销售毛利润为507元. 4．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 【答案】(1)人 (2)门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元 【分析】（1）根据题意列式求值即可. （2）首先根据题意建立二次函数的模型，再由二次函数的最值公式确定最值即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以当天的游客数为人. （2）设门票价格为元，当天的收益为元， 由题意得，， 则当时，， 所以当门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元. 5．一间宾馆有70间客房，每间客房的房费为120元/天，该宾馆在旺季每天都客满，现商家想在合理范围内涨价，若每间客房涨30元/天，则每天会空5间客房，这种情况下，商家该如何定价，能使其每天的收益最大. 【答案】商家将客房的租金定为270（元）时，能使客房每天的收益最大 【分析】根据题意求出函数解析式后，取二次函数的最值即可. 【详解】设每间客房的租金提高x元每天，每天客房的租金总收入为y元. 根据题意可列函数解析式： 所以当，每天的收益最大，收益最大为元， 所以商家将客房的租金定为元时，能使客房每天的收益最大. 6．某工厂生产一种产品，已知该产品的月产量（单位：件）与月利润（单位：元）之间的关系为. (1)求该工厂月利润为0时的月产量； (2)求该工厂月利润最大时的月产量及最大利润. 【答案】(1)月产量为50件或150件时，月利润为0. (2)月产量为100件时，最大利润为元. 【分析】（）根据题意令即可得解. （）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）令，即， 解得或, 即月产量为 50 件或 150 件时，月利润为 0. （2）， 函数图像为开口向下的抛物线， 所以当时，函数值最大为， 所以当月产量为100件时，最大利润为元. 考点 3 二次函数求实际最值 【考点知识回顾】 对于二次函数 若a<0，抛物线开口向____，函数有最____值，在处取得。 若a>0，抛物线开口向____，函数有最____值。 ⚠实际应用题注意：顶点横坐标必须落在实际定义域内，顶点的结果才有效；如果顶点不在定义域区间，则最值出现在区间端点。 即时训练 1．“节能减排，绿色生态”为当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的鼎力支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量x(吨）至少为50吨，至多为220吨．月处理成本y(元）与月处理量x(吨）之间的函数关系式近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为120元． (1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)每月处理量为多少吨时，月获利最大？ 【答案】(1)200吨 (2)4200（元） 【分析】（1）先将每吨平均处理成本整理成函数形式，再利用基本不等式求最小值； （2）先写出月获利关于处理量的二次函数，再根据二次函数的性质求最大值. 【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为， 又， 当且仅当，即时取等号， 故该公司每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为100元． （2）设该公司月获利为S元，则 ， 又，所以当（吨）时，公司月获利最大，为4200（元）． 2．某公司生产一种电子仪器的成本（单位：万元）与产量（单位：台）关系式为，而总收益（单位：万元）与产量的关系式为. (1)试求利润与产量的关系式；（说明：总收益＝成本＋利润） (2)当产量为多少时，公司所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)200;10000 【分析】（1）根据利润与成本以及总收益的关系求解即可. （2）根据二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）因为成本与产量关系式为， 总收益与产量的关系式为， 所以利润与产量的关系式为. （2）利润与产量的关系式为, 配方得. 所以产量为200时，公司所获得的利润最大，最大利润是10000. 3．春节前期，某超市出售某种进价为110元/千克的开心果，调查发现，若以130元/千克的价格出售，平均每天可销售这种开心果30千克，销售价格每降低1元，平均每天可多销售20千克（售价不得低于115元/千克）.设每千克降低售价x元（x为正整数），每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式； (2)开心果的单价定为多少时，每天可获得最大利润？每天获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)121元/千克，最大利润为2310元. 【分析】（1）每天的销售利润=降价后每千克的销售利润多销售的千克数），根据售价的范围可得 自变量的取值； （2）由解析式易得二次函数的对称轴，进而得到离对称轴最近的整数，算出相应的利润即可. 【详解】（1）， 因为售价不得低于115元/千克， 所以， 则， 故与的函数关系式为. （2）因为， 因为， 所以函数的图象的开口向下，在处有最大值. 又因为为正整数， 所以当时，， 时，， 所以开心果的单价为元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润为2310元. 考点 4 几何图形类实际应用 【考点知识回顾】 解题思路： 根据图形相似、边长、周长关系，找到两个变量之间等式； 面积 = 长 × 宽，建立面积关于边长的二次函数； 根据图形几何限制写出自变量取值范围； 二次函数求面积的最大值。 常考：直角梯形截取矩形，利用相似三角形找边长关系。 即时训练 1．(1)对任意实数，比较式子与的大小. (2)如图所示，某花园由一面墙和三段篱笆围成，篱笆总长为16米，其中四边形是矩形，是半圆弧，为半圆的圆心，设米，米.    ①将表示为的函数，并求出的取值范围； ②当为何值时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)①，的取值范围是； ②当米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）①根据题意，结合二次函数的应用，即可求解；②根据题意，结合二次函数求最值，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为米，米， 所以，所以， 因为，即，解得. 即，的取值范围是. ②， 所以当米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米. 2．学校准备利用一面长为20米的墙和一段长度为40米的栅栏，围成一个矩形劳动实践基地. (1)如果矩形的一边靠墙，另外三边用栅栏围成（如图），设垂直于墙的一边长为米，请用含的代数式表示基地的面积；    (2)若要围成的基地面积不小于150平方米，求的取值范围. 【答案】(1)（平方米）（其中）. (2) 【详解】（1）垂直于墙的一边长为米（），则平行于墙的一边长为米， 由于墙长米，所以，解得， 基地的面积（平方米）（其中）. （2）由题意，即， 整理得，即，解得， 又， 所以的取值范围是. 3．产业振兴是实施乡村振兴战略的重要组成部分，科学发展农村种植养殖产业是有效途径.某乡政府出资为农户免费修建鸡舍围栏，李大爷家用总长为的围栏，靠自家一边院墙修建矩形鸡舍，如图所示，围栏高度不计，设围栏的长度为.    (1)若的长度为，请写出与的函数关系式； (2)当的长度为多少时，矩形鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1). (2)当的长度为时，矩形鸡舍的面积最大，最大面积是. 【分析】（1）根据题意列出与的函数关系式即可得解. （2）法一：求出关于鸡舍的面积的解析式，结合二次函数的性质即可得解. 法二：求出关于鸡舍的面积的解析式，结合配方法即可得解. 【详解】（1）总长为的围栏，围栏的长度为，的长度为， 所以，则，且， 则与的函数关系式是. （2）法一：因为， 所以，即，且，图像为开口向下的抛物线， 当，， 矩形鸡舍的面积最大，最大面积是， 所以当的长度为时，矩形鸡舍的面积最大，最大面积是. 法二：因为， 所以，且， 所以当，，矩形鸡舍的面积最大，最大面积为， 所以当的长度为时，矩形鸡舍的面积最大，最大面积是. 考点 5 分段函数实际应用（价格分段、运动图像） 【考点知识回顾】 特点：自变量不同区间，对应不同解析式，真题常考销售订购、速度时间图像。 解题要点： ①分区间写出每一段函数表达式； ②每一段都要写明对应自变量范围； ③求整体最大值：分别求出每一段的最值，再对比所有区间，选出最大的结果。 运动图像：图像与横轴围成图形的面积代表路程。 【即时训练】 1．某采矿公司在一次采矿中共花费万元采得某种共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利2万元，如果进行精加工后销售，每吨可获利6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费（万元）与精加工的产量（吨）的关系为设该采矿公司将（吨）这种矿进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为（万元）. (1)写出关于的函数表达式； (2)当这种矿精加工多少吨时，总利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当这种矿精加工4吨时，总利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意建立函数模型即可. （2）根据二次函数的顶点式以及一次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）已知， 由题意可知，当时， ， 当时， ， 所以， （2）由（1）知当时， ， 所以当时，（万元）， 当时，是增函数， 所以当时，（万元）， 因为，所以当时，万元， 所以当这种矿精加工4吨时，总利润最大，最大利润为万元. 2．现阶段，我国很多城市普遍采用“阶梯水价”的办法计量水费，发挥市场价格作用，增强了企业和居民的节水意识，避免水资源的浪费．如某市居民用水“阶梯水价”的收费标准如下：     每户每年用水不超过时，水价为5元/； 超过不超过时，超过的部分按7元/收费； 超过时，超过的部分按9元/收费． 结合给出的数据（不考虑其他影响因素） (1)求出每户每年应缴水费 y（元）与用水量 ()之间的函数解析式； (2)若某用户某年用水，试求该用户这一年应缴水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意建立分段函数模型即可. （2）令代入（1）中的解析式即可. 【详解】（1）已知每户每年用水不超过时，水价为5元/， 则时，， 由超过不超过时，超过的部分按7元/收费， 可知当时，， 由超过时，超过的部分按9元/收费， 可知当时，， 所以. （2）由（1）可知，， 当时，（元）. 该用户这一年应缴水费元． 3．某工厂生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元.已知总收益（元）与年产量（单位）的关系是， (1)当年产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？ (2)当年产量在什么范围内时，工厂不亏本（即总利润）？ 【答案】(1)年产量为单位时，总利润最大，最大总利润为元. (2) 【分析】（1）根据题意，分别求出当年产量和时的利润函数，再利用二次函数性质和一次函数单调性求最大利润； （2）根据题意，结合利润的函数关系式，分别求出当总利润时对应的年产量范围，即可求解. 【详解】（1）由题意，设总利润为元， 当时，总成本为， 则， 对于二次函数，对称轴为， 所以当时，函数取得最大值，即； 当时，， 因为时，随增大而减小， 所以. 所以当年产量为单位时，总利润最大，最大总利润为元. （2）由（1）得总利润， 当时，令， 即， 对于方程，，，， 根据求根公式， 所以不等式的解集为，又因为， 所以. 当时，令，解得，所以； 综上，当年产量的范围是时，工厂不亏本. 1.（2024·陕西·真题T21）某游船从甲地沿正东方向直线行驶到乙地，其行驶速度（单位：小时）与时间（单位：小时）的函数图像如右图所示.过线段上一点做横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为小时游船所行驶的路程（单位：）. （1）将表示成的函数解析表达式； （2）若游船行驶，则需行驶多长时间？ 【答案】（1） （2）25小时 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质，对不同时间段，利用待定系数法求函数的表达式. （2）根据题意求出每段时间范围内路程与时间的解析式即可求解. 【小问1详解】 由函数图像可知，当时，设，因为函数过点， 代入为，解得，所以当时，函数的解析式为； 当时，v的值恒为20，则； 当，设，因为函数过点， 代入为，解得， 所以当时，函数的解析式为； 综上所述：将表示成的函数解析表达式为. 【小问2详解】 因为梯形在直线左侧部分的面积即为小时游船所行驶的路程， 所以，当，， 当时，取最大值为； 当时，； 当时，， 所以游船行驶，时间在范围内， 令，则，解得或， 因为，所以. 2.（2023·陕西·真题T21）某农户生产销售一种新型农产品，这种产品的成本价格为每千克元，根据市场调查，该产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)的函数关系式为：，设这种产品每天的销售利润为(元)． （1）将每天销售利润表示为销售价格的函数解析式； （2）当为多少时利润最大，并求最大利润． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据利润等于销售量乘以单个利润列出解析式即可； （2）将解析式变型为顶点式即可求. 【小问1详解】 销售量，每千克的利润为， 则； 【小问2详解】 变型得， 可知当时，利润最大，最大利润为. 3.（2022·陕西·真题T22）某厂有许多形状为直角梯形的金属薄片边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现从这些边角料上截取如图中阴影部分所示的矩形薄片备用，其中. （1）求矩形的面积与其边长的函数解析式； （2）当矩形的边长，分别为多少时，所截取的矩形面积最大，并求出最大值. 【答案】（1） （2）当，时，矩形的面积有最大值 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质找到的关系，进而得矩形的面积与其边长的函数解析式； （2）利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 如图，，依题意， 则，即，得， 所以矩形的面积. 【小问2详解】 ∵矩形的面积，， ∴当，时，矩形的面积有最大值. 4.（2021·陕西·真题T21）某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. （1）求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； （2）当为多少时利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）， （2）当为50时，利润最大，最大利润160万元 【解析】 【分析】（1）由题可知，销售收入为万元，总成本为万元，据此可求解； （2）根据二次函数的性质可求最值. 【小问1详解】 由题意可得， ，其中； 【小问2详解】 由（1）可得 ， 所以，当时，. 即当为50时，利润最大，最大利润160万元. 5.（2020·陕西·真题T22）电子厂生产了600件某种电器元件，每件售价为500元，厂方为促销该元件，规定一次订购量超过400件时，每超过一件，该次订购的每件元件的售价就降低1元. （1）将该电子厂的销售收入表示成一次订购量的函数解析式； （2）问一次订购量为多少件时，该电子厂的销售收入最大，并求出最大值. 【答案】（1） （2）450件，最大值为202500元 【解析】 【分析】（1）设一次订购量为件，销售收入为，由销售收入售价订购量列出与的函数关系式即可. （2）由（1）得出的分段函数，分别求出区间内的最大值，再在两者中取更大的即可. 【小问1详解】 设一次订购量为件，每件元件的实际售价为元，销售收入为. 由题意知，， 当时，，则； 当时，， 则. 故将该电子厂的销售收入表示成一次订购量的函数解析式为： 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，； 当时，， 即时,. 因此，当件时，该电子厂的销售收入最大，且最大值为202500元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 函数实际应用题 【复习目标】 1.掌握函数应用题的解题一般步骤。 2.能读懂实际问题文字、图像信息，会建立一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题。 3.掌握经济类模型：成本、销售收入、销售利润之间关系，能求解利润最大、收入最大类问题。 4.掌握几何模型：利用几何图形边长、面积关系建立二次函数，求面积最值。 5.掌握运动图像类模型：读懂图像，利用分段函数表达物理量。 考点 1 解函数应用题通用流程 【考点知识回顾】 审题：读懂题干，分清已知量、未知量，理清各个量之间的数量关系； 设元：设出自变量x，因变量y； 建模：根据题意列出函数关系式； 关键一步：写出实际定义域，自变量要满足现实意义（如件数、重量不能为负数）； 求解：利用一次函数、二次函数、分段函数性质计算，求解析式、求最值； 作答：把数学计算结果还原为实际问题答案，写出完整文字回答。 实际应用题求出函数之后，一定要写出自变量的取值范围（定义域），要符合现实生活意义。即时训练 1．某文具店销售一种笔记本，若每本定价5元，每天可售出100本.市场调查发现，售价每上涨0.5元，销量就会减少10本. (1)设售价上涨 个0.5元，求日销售量 （本）与 之间的函数关系式； (2)若要使日销售额（销售额=售价×销售量）不低于540元，售价应控制在什么范围内？ 【答案】(1)（本），其中 且为整数 (2)不存在这样的售价范围 【分析】（1）根据销售量与售价的关系确定函数关系式即可； （2）根据日销售额不小于540元列式求解即可； 【详解】（1）由题意可得，售价为元， 售价每上涨0.5元，销量就会减少10本， 故销售量（本），其中且为整数 （2）日销售额 . 令 ，即 . 化简得 ⇒ ⇒ ⇒ ，此不等式无解. 所以不存在这样的售价范围. 2．某制衣厂生产一种运动服套装，当日出货量为x（套）时，生产成本为（元），厂家拟定该运动服的出厂价为（元/套）． (1)如果日出货量为5套，该厂家是盈利还是亏本？通过计算加以说明； (2)试确定厂家的日出货量，使该厂盈利不少于元． 【答案】(1)厂家亏本 (2)该厂家日出货量为（）（套）时，盈利不少于1960元 【分析】（1）根据盈利等于销售收入减成本列式，再代入求值即可. （2）根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）销售收入为（元），成本为C（元）， 生产成本为（元），出厂价为， 则盈利为， 当日出货量为（套）时， 因为． 所以厂家亏本. （2）由（1）可知，若使该厂盈利不少于元， 则， 即， 整理得， 分解因式得， 解得， 故该厂家日出货量为（）（套）时，盈利不少于元． 考点 2 经济利润类模型 【考点知识回顾】 核心公式挖空 销售收入=单价*销售量； 总成本=固定成本+变动成本； 利润=销售收入-总成本。 概念解释 固定成本：不随产量改变的成本（厂房、设备，产量为 0 也要付出）。 变动成本：每生产一件产品增加的成本，随产量增大而增大。 题型特点： 建立函数后多数得到二次函数，利用顶点求最大利润、最大销售收入；部分价格变化题目建立分段函数，要分别在每一段求最值再比较。 即时训练 1．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出 2 件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利为多少元？ 【答案】(1)或. (2)每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多为元. 【分析】（）根据题意列出方程即可得解. （）根据题意求出关于盈利的函数解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设降价元，则每件盈利元，每天售出件， 由， 解得或， 每件衬衫应降价元或元. （2）设每天盈利为元，降价元，， 则，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为，， 所以当时，盈利最多为元， 所以每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多为元. 2．某农家旅游公司有客房间，当每间房每日房租元，每天都客满.现在公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日房租每增加2元，客房出租数就会减少间，若不考虑其他因素，那么旅游公司将房租提高到多少元时，每天客房的租金总收入最高并求最高收入是多少元？ 【答案】将房租提高到元时，每天客房的租金总收入最高，最高收入是元 【分析】设每间客房每日房租增加元，根据题意建立租金总收入的函数表达式，再由二次函数的最值公式求值即可. 【详解】设每间客房每日房租增加元，租金为元， 则客房出租数为间，且， 设每天客房的租金总收入为元， 则 ， 因为此函数二次项系数小于0， 所以图象开口向下，当时， 有最大值为， 此时租金为元， 所以将房租提高到元时，每天客房的租金总收入最高，最高收入是元. 3．某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量T（件）与每件的销售价（元/件）之间的函数关系式. (1)写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式（每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差） (2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少元？ 【答案】(1) (2)每件销售价应定为55元，最大销售毛利润为507元 【分析】（1）根据毛利润的定义（每件利润×销售量），结合进价、售价与销售量的关系列出函数关系式； （2）利用二次函数的性质求解最大值即可。 【详解】（1）每件服装的毛利润为售价减去进价，即元， 每天的销售量为件， 可得利润， 由和，得到， 所以函数关系为. （2）二次函数，图象开口向下， 当时，此时， 取得最大值，即， 所以每件销售价应定为55元，最大销售毛利润为507元. 4．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 【答案】(1)人 (2)门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元 【分析】（1）根据题意列式求值即可. （2）首先根据题意建立二次函数的模型，再由二次函数的最值公式确定最值即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以当天的游客数为人. （2）设门票价格为元，当天的收益为元， 由题意得，， 则当时，， 所以当门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元. 5．一间宾馆有70间客房，每间客房的房费为120元/天，该宾馆在旺季每天都客满，现商家想在合理范围内涨价，若每间客房涨30元/天，则每天会空5间客房，这种情况下，商家该如何定价，能使其每天的收益最大. 【答案】商家将客房的租金定为270（元）时，能使客房每天的收益最大 【分析】根据题意求出函数解析式后，取二次函数的最值即可. 【详解】设每间客房的租金提高x元每天，每天客房的租金总收入为y元. 根据题意可列函数解析式： 所以当，每天的收益最大，收益最大为元， 所以商家将客房的租金定为元时，能使客房每天的收益最大. 6．某工厂生产一种产品，已知该产品的月产量（单位：件）与月利润（单位：元）之间的关系为. (1)求该工厂月利润为0时的月产量； (2)求该工厂月利润最大时的月产量及最大利润. 【答案】(1)月产量为50件或150件时，月利润为0. (2)月产量为100件时，最大利润为元. 【分析】（）根据题意令即可得解. （）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）令，即， 解得或, 即月产量为 50 件或 150 件时，月利润为 0. （2）， 函数图像为开口向下的抛物线， 所以当时，函数值最大为， 所以当月产量为100件时，最大利润为元. 考点 3 二次函数求实际最值 【考点知识回顾】 对于二次函数 若a<0，抛物线开口向下，函数有最大值，在处取得。 若a>0，抛物线开口向上，函数有最小值。 ⚠实际应用题注意：顶点横坐标必须落在实际定义域内，顶点的结果才有效；如果顶点不在定义域区间，则最值出现在区间端点。 即时训练 1．“节能减排，绿色生态”为当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的鼎力支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量x(吨）至少为50吨，至多为220吨．月处理成本y(元）与月处理量x(吨）之间的函数关系式近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为120元． (1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)每月处理量为多少吨时，月获利最大？ 【答案】(1)200吨 (2)4200（元） 【分析】（1）先将每吨平均处理成本整理成函数形式，再利用基本不等式求最小值； （2）先写出月获利关于处理量的二次函数，再根据二次函数的性质求最大值. 【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为， 又， 当且仅当，即时取等号， 故该公司每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为100元． （2）设该公司月获利为S元，则 ， 又，所以当（吨）时，公司月获利最大，为4200（元）． 2．某公司生产一种电子仪器的成本（单位：万元）与产量（单位：台）关系式为，而总收益（单位：万元）与产量的关系式为. (1)试求利润与产量的关系式；（说明：总收益＝成本＋利润） (2)当产量为多少时，公司所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)200;10000 【分析】（1）根据利润与成本以及总收益的关系求解即可. （2）根据二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）因为成本与产量关系式为， 总收益与产量的关系式为， 所以利润与产量的关系式为. （2）利润与产量的关系式为, 配方得. 所以产量为200时，公司所获得的利润最大，最大利润是10000. 3．春节前期，某超市出售某种进价为110元/千克的开心果，调查发现，若以130元/千克的价格出售，平均每天可销售这种开心果30千克，销售价格每降低1元，平均每天可多销售20千克（售价不得低于115元/千克）.设每千克降低售价x元（x为正整数），每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式； (2)开心果的单价定为多少时，每天可获得最大利润？每天获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)121元/千克，最大利润为2310元. 【分析】（1）每天的销售利润=降价后每千克的销售利润多销售的千克数），根据售价的范围可得 自变量的取值； （2）由解析式易得二次函数的对称轴，进而得到离对称轴最近的整数，算出相应的利润即可. 【详解】（1）， 因为售价不得低于115元/千克， 所以， 则， 故与的函数关系式为. （2）因为， 因为， 所以函数的图象的开口向下，在处有最大值. 又因为为正整数， 所以当时，， 时，， 所以开心果的单价为元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润为2310元. 考点 4 几何图形类实际应用 【考点知识回顾】 解题思路： 根据图形相似、边长、周长关系，找到两个变量之间等式； 面积 = 长 × 宽，建立面积关于边长的二次函数； 根据图形几何限制写出自变量取值范围； 二次函数求面积的最大值。 常考：直角梯形截取矩形，利用相似三角形找边长关系。 即时训练 1．(1)对任意实数，比较式子与的大小. (2)如图所示，某花园由一面墙和三段篱笆围成，篱笆总长为16米，其中四边形是矩形，是半圆弧，为半圆的圆心，设米，米.    ①将表示为的函数，并求出的取值范围； ②当为何值时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)①，的取值范围是； ②当米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）①根据题意，结合二次函数的应用，即可求解；②根据题意，结合二次函数求最值，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为米，米， 所以，所以， 因为，即，解得. 即，的取值范围是. ②， 所以当米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米. 2．学校准备利用一面长为20米的墙和一段长度为40米的栅栏，围成一个矩形劳动实践基地. (1)如果矩形的一边靠墙，另外三边用栅栏围成（如图），设垂直于墙的一边长为米，请用含的代数式表示基地的面积；    (2)若要围成的基地面积不小于150平方米，求的取值范围. 【答案】(1)（平方米）（其中）. (2) 【详解】（1）垂直于墙的一边长为米（），则平行于墙的一边长为米， 由于墙长米，所以，解得， 基地的面积（平方米）（其中）. （2）由题意，即， 整理得，即，解得， 又， 所以的取值范围是. 3．产业振兴是实施乡村振兴战略的重要组成部分，科学发展农村种植养殖产业是有效途径.某乡政府出资为农户免费修建鸡舍围栏，李大爷家用总长为的围栏，靠自家一边院墙修建矩形鸡舍，如图所示，围栏高度不计，设围栏的长度为.    (1)若的长度为，请写出与的函数关系式； (2)当的长度为多少时，矩形鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1). (2)当的长度为时，矩形鸡舍的面积最大，最大面积是. 【分析】（1）根据题意列出与的函数关系式即可得解. （2）法一：求出关于鸡舍的面积的解析式，结合二次函数的性质即可得解. 法二：求出关于鸡舍的面积的解析式，结合配方法即可得解. 【详解】（1）总长为的围栏，围栏的长度为，的长度为， 所以，则，且， 则与的函数关系式是. （2）法一：因为， 所以，即，且，图像为开口向下的抛物线， 当，， 矩形鸡舍的面积最大，最大面积是， 所以当的长度为时，矩形鸡舍的面积最大，最大面积是. 法二：因为， 所以，且， 所以当，，矩形鸡舍的面积最大，最大面积为， 所以当的长度为时，矩形鸡舍的面积最大，最大面积是. 考点 5 分段函数实际应用（价格分段、运动图像） 【考点知识回顾】 特点：自变量不同区间，对应不同解析式，真题常考销售订购、速度时间图像。 解题要点： ①分区间写出每一段函数表达式； ②每一段都要写明对应自变量范围； ③求整体最大值：分别求出每一段的最值，再对比所有区间，选出最大的结果。 运动图像：图像与横轴围成图形的面积代表路程。 【即时训练】 1．某采矿公司在一次采矿中共花费万元采得某种共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利2万元，如果进行精加工后销售，每吨可获利6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费（万元）与精加工的产量（吨）的关系为设该采矿公司将（吨）这种矿进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为（万元）. (1)写出关于的函数表达式； (2)当这种矿精加工多少吨时，总利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当这种矿精加工4吨时，总利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意建立函数模型即可. （2）根据二次函数的顶点式以及一次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）已知， 由题意可知，当时， ， 当时， ， 所以， （2）由（1）知当时， ， 所以当时，（万元）， 当时，是增函数， 所以当时，（万元）， 因为，所以当时，万元， 所以当这种矿精加工4吨时，总利润最大，最大利润为万元. 2．现阶段，我国很多城市普遍采用“阶梯水价”的办法计量水费，发挥市场价格作用，增强了企业和居民的节水意识，避免水资源的浪费．如某市居民用水“阶梯水价”的收费标准如下：     每户每年用水不超过时，水价为5元/； 超过不超过时，超过的部分按7元/收费； 超过时，超过的部分按9元/收费． 结合给出的数据（不考虑其他影响因素） (1)求出每户每年应缴水费 y（元）与用水量 ()之间的函数解析式； (2)若某用户某年用水，试求该用户这一年应缴水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意建立分段函数模型即可. （2）令代入（1）中的解析式即可. 【详解】（1）已知每户每年用水不超过时，水价为5元/， 则时，， 由超过不超过时，超过的部分按7元/收费， 可知当时，， 由超过时，超过的部分按9元/收费， 可知当时，， 所以. （2）由（1）可知，， 当时，（元）. 该用户这一年应缴水费元． 3．某工厂生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元.已知总收益（元）与年产量（单位）的关系是， (1)当年产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？ (2)当年产量在什么范围内时，工厂不亏本（即总利润）？ 【答案】(1)年产量为单位时，总利润最大，最大总利润为元. (2) 【分析】（1）根据题意，分别求出当年产量和时的利润函数，再利用二次函数性质和一次函数单调性求最大利润； （2）根据题意，结合利润的函数关系式，分别求出当总利润时对应的年产量范围，即可求解. 【详解】（1）由题意，设总利润为元， 当时，总成本为， 则， 对于二次函数，对称轴为， 所以当时，函数取得最大值，即； 当时，， 因为时，随增大而减小， 所以. 所以当年产量为单位时，总利润最大，最大总利润为元. （2）由（1）得总利润， 当时，令， 即， 对于方程，，，， 根据求根公式， 所以不等式的解集为，又因为， 所以. 当时，令，解得，所以； 综上，当年产量的范围是时，工厂不亏本. 1.（2024·陕西·真题T21）某游船从甲地沿正东方向直线行驶到乙地，其行驶速度（单位：小时）与时间（单位：小时）的函数图像如右图所示.过线段上一点做横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为小时游船所行驶的路程（单位：）. （1）将表示成的函数解析表达式； （2）若游船行驶，则需行驶多长时间？ 【答案】（1） （2）25小时 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质，对不同时间段，利用待定系数法求函数的表达式. （2）根据题意求出每段时间范围内路程与时间的解析式即可求解. 【小问1详解】 由函数图像可知，当时，设，因为函数过点， 代入为，解得，所以当时，函数的解析式为； 当时，v的值恒为20，则； 当，设，因为函数过点， 代入为，解得， 所以当时，函数的解析式为； 综上所述：将表示成的函数解析表达式为. 【小问2详解】 因为梯形在直线左侧部分的面积即为小时游船所行驶的路程， 所以，当，， 当时，取最大值为； 当时，； 当时，， 所以游船行驶，时间在范围内， 令，则，解得或， 因为，所以. 2.（2023·陕西·真题T21）某农户生产销售一种新型农产品，这种产品的成本价格为每千克元，根据市场调查，该产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)的函数关系式为：，设这种产品每天的销售利润为(元)． （1）将每天销售利润表示为销售价格的函数解析式； （2）当为多少时利润最大，并求最大利润． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据利润等于销售量乘以单个利润列出解析式即可； （2）将解析式变型为顶点式即可求. 【小问1详解】 销售量，每千克的利润为， 则； 【小问2详解】 变型得， 可知当时，利润最大，最大利润为. 3.（2022·陕西·真题T22）某厂有许多形状为直角梯形的金属薄片边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现从这些边角料上截取如图中阴影部分所示的矩形薄片备用，其中. （1）求矩形的面积与其边长的函数解析式； （2）当矩形的边长，分别为多少时，所截取的矩形面积最大，并求出最大值. 【答案】（1） （2）当，时，矩形的面积有最大值 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质找到的关系，进而得矩形的面积与其边长的函数解析式； （2）利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 如图，，依题意， 则，即，得， 所以矩形的面积. 【小问2详解】 ∵矩形的面积，， ∴当，时，矩形的面积有最大值. 4.（2021·陕西·真题T21）某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. （1）求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； （2）当为多少时利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）， （2）当为50时，利润最大，最大利润160万元 【解析】 【分析】（1）由题可知，销售收入为万元，总成本为万元，据此可求解； （2）根据二次函数的性质可求最值. 【小问1详解】 由题意可得， ，其中； 【小问2详解】 由（1）可得 ， 所以，当时，. 即当为50时，利润最大，最大利润160万元. 5.（2020·陕西·真题T22）电子厂生产了600件某种电器元件，每件售价为500元，厂方为促销该元件，规定一次订购量超过400件时，每超过一件，该次订购的每件元件的售价就降低1元. （1）将该电子厂的销售收入表示成一次订购量的函数解析式； （2）问一次订购量为多少件时，该电子厂的销售收入最大，并求出最大值. 【答案】（1） （2）450件，最大值为202500元 【解析】 【分析】（1）设一次订购量为件，销售收入为，由销售收入售价订购量列出与的函数关系式即可. （2）由（1）得出的分段函数，分别求出区间内的最大值，再在两者中取更大的即可. 【小问1详解】 设一次订购量为件，每件元件的实际售价为元，销售收入为. 由题意知，， 当时，，则； 当时，， 则. 故将该电子厂的销售收入表示成一次订购量的函数解析式为： 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，； 当时，， 即时,. 因此，当件时，该电子厂的销售收入最大，且最大值为202500元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $