专题11 对数函数（讲义）-2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 对数函数 【复习目标】 1.理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化，记住对数常用结论。 2.熟练掌握对数的运算法则，能进行对数的加减、数乘化简运算，分清公式的适用条件。 3.理解对数函数定义，掌握对数函数图像、定义域、值域、定点坐标。 4.掌握对数函数单调性；会利用单调性比较对数值的大小。 5.会求解含对数式函数的定义域，牢记核心条件。 考点 1 对数的概念、指数对数互化 【考点知识回顾】 对数定义：如果（），那么数x叫做以a为底N的对数，记作。 指数式：对数式：。 两个基础恒等式（高频） ①； ②________。 特殊对数 常用对数：，底数为 10； 自然对数：，底数为e。 重要：对数中，真数；负数和零没有对数。 即时训练 1．已知，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 2．若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 考点 2 对数的运算性质 【考点知识回顾】 前提条件： 1. ； 2. ________； 3.________。 易错提醒：，不能把加法直接拆开。 即时训练 1．（   ） A．2 B．3 C．1 D． 2．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 3．计算: （    ） A．2 B．4 C．1 D．3 4．若，则（   ） A． B． C． D． 考点 3 对数函数的定义 【考点知识回顾】 形如（________）叫做对数函数。即时训练 1．下列函数是对数函数的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数 为对数函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若函数且的图像过点，则（    ） A． B．2 C． D． 考点 4 对数函数图像与核心性质 【考点知识回顾】 函数 表格 性质 定义域 ________ 值域 ________ 定点 无论a合法取何值，x=1时，y=____；定点坐标________ (1,0) 单调性 在定义域上单调____ 在定义域上单调____ 函数值符号 ； ； 口诀：底大于 1，真数越大对数值越大；底 0 到 1，真数越大对数值越小。 即时训练 1．函数（且）的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．对数函数且的图像经过，则底数（    ） A．2 B． C． D． 4．对数函数过点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若图象过点，则的值为（ ） A． B．2 C．1 D． 考点 5 三大高频题型 【考点知识回顾】 含对数的函数定义域 核心规则：对数里面真数>0；同时兼顾分母不为 0、偶次根号被开方数，多个条件联立取交集。 比较对数值大小 1. 底数相同：直接用单调性； 2. 底数不同，借助中间值； 根据单调性求参数范围 为增函数________； 为减函数________。 【即时训练】 题型 1：求含对数的函数定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型 2：比较对数值大小 5．已知，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．设，，，则a，，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型 3：对数函数的图像 10．在同一坐标系中，二次函数与对数函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   11．已知，，则它们在同一坐标系中的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   12．若函数的图像如图所示，则函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 题型4： 对数函数值域 13．函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 14．函数在区间上的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 15．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ） A．4 B．3 C．2 D． 16．已知函数在区间上的最大值为7，则在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 1.（2023·陕西·真题T15）函数的定义域为_________． 2.（2022·陕西·真题T06）下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 3.（2021·陕西·真题T04）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.（2020·陕西·真题T14）函数的定义域为______. 5.（2023·陕西·真题T07）下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6.（2022·陕西·真题T11）设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7.（2024·陕西·真题T07）设函数（，且），则当，时有（ ） A. B. C. D. 8.（2024·陕西·真题T11）若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9.（2023·陕西·真题T09）设，，则当时，下列结论正确的是（ ） A. 减函数，是增函数 B. 是增函数，是减函数 C. 与均为减函数 D. 与均为增函数 10.（2023·陕西·真题T11）设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11.（2022·陕西·真题T04）假设函数在其定义域上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.（2021·陕西·真题T11）若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 13.（2021·陕西·真题T15）若是增函数，则的取值范围是___________. 14.（2020·陕西·真题T07）设，，则当时，有（ ） A. 单调递增，单调递减 B. 与均单调递减 C. 单调递减，单调递增 D. 与均单调递增 15.（2020·陕西·真题T11）设,,,则,,的大小关系为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 对数函数 【复习目标】 1.理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化，记住对数常用结论。 2.熟练掌握对数的运算法则，能进行对数的加减、数乘化简运算，分清公式的适用条件。 3.理解对数函数定义，掌握对数函数图像、定义域、值域、定点坐标。 4.掌握对数函数单调性；会利用单调性比较对数值的大小。 5.会求解含对数式函数的定义域，牢记核心条件。 考点 1 对数的概念、指数对数互化 【考点知识回顾】 对数定义：如果（），那么数x叫做以a为底N的对数，记作 指数式：对数式：。 两个基础恒等式（高频） ①； ②。 特殊对数 常用对数：，底数为 10； 自然对数：，底数为e。 重要：对数中，真数；负数和零没有对数。 即时训练 1．已知，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的相互转化及运算，结合题意即可求解． 【详解】因为，， 所以，， 所以． 故选：A． 2．若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算法则可得，再根据指数幂的运算可得结果. 【详解】由可得，所以， 所以. 故选：D 考点 2 对数的运算性质 【考点知识回顾】 前提条件： 1. ； 2. ； 3.。 易错提醒：，不能把加法直接拆开。 即时训练 1．（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质求解. 【详解】. 故选：B. 2．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换底公式结合对数的运算计算即可. 【详解】. 故选：B. 3．计算: （    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据对数换底公式进行运算即可. 【详解】. 故选：. 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换底公式和对数的运算性质，即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 故选：B. 考点 3 对数函数的定义 【考点知识回顾】 形如（）叫做对数函数。 即时训练 1．下列函数是对数函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数是对数函数， 是指数函数，是幂函数，是一次函数，故ABC均不符合题意， 符合定义，是对数函数， 故选：D. 2．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的定义即可得解. 【详解】由对数函数的定义可知，形如的函数为对数函数 对于A，的真数不为，故A错误； 对于B，的真数不为，故B错误； 对于C，的底数为，真数为，满足对数函数的定义，故C正确； 对于D，的真数不为，故D错误 故选：C. 3．若函数 为对数函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】对数函数的标准形式为， 因此系数，解得，即， 又由于底数 且 ， 所以的值为. 故选：B. 4．若函数且的图像过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入解析式求出即可. 【详解】已知函数的图像过点， 将点代入得，转化为指数式为， 且，所以. 故选：B. 考点 4 对数函数图像与核心性质 【考点知识回顾】 函数 表格 性质 定义域 值域 定点 无论a合法取何值，x=1时，y=；定点坐标 (1,0) 单调性 在定义域上单调递增 在定义域上单调递减 函数值符号 ； ； 口诀：底大于 1，真数越大对数值越大；底 0 到 1，真数越大对数值越小。 即时训练 1．函数（且）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的判定和定义域列出不等式求解即可解得. 【详解】由题可知函数为对数函数， 则，解得， 即函数的定义域为， 故选：C 2．已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据对数函数必过点P代入求值. 【详解】令，解得，所以， 因此函数的图象过定点． 故选：C． 3．对数函数且的图像经过，则底数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将已知点的坐标代入函数解析式，结合指数式与对数式的转化，即可求解. 【详解】由题意，将点代入对数函数，得到， 将其转化为指数式为，即是，解得． 又因为对数函数的底数且，所以． 故选：C. 4．对数函数过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象过可求出的值，进而可得函数的解析式，再将代入到解析式里求解即可. 【详解】对数函数过点， ，可得， 所以，从而. 故选：C. 5．已知函数，若图象过点，则的值为（ ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】将点代入，求出a的值，得到的解析式，即可求出的值. 由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 故选：B. 考点 5 三大高频题型 【考点知识回顾】 含对数的函数定义域 核心规则：对数里面真数>0；同时兼顾分母不为 0、偶次根号被开方数，多个条件联立取交集。 比较对数值大小 1. 底数相同：直接用单调性； 2. 底数不同，借助中间值； 根据单调性求参数范围 为增函数； 为减函数。 【即时训练】 题型 1：求含对数的函数定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根号内大于等于零，以及真数大于零即可解答. 【详解】解：由题意可得 解得 因此定义域为 故选:C. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数真数大于零、被开方数大于等于零、分母不为零，求函数的定义域即可. 【详解】因为函数， 且对数的真数大于零、被开方数大于等于零、分母不为零， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式列出不等式求解即可. 【详解】函数， 要使函数有意义，必须使，解得， 故函数的定义域为. 故选：A. 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数真数大于0及分式分母不为0的性质求解即可. 【详解】因为为对数函数真数，为分式分母， 所以，解得且. 即区间表示为：. 故选：D. 题型 2：比较对数值大小 5．已知，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以. 故选：B. 6．设，，，则a，，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小. 【详解】因为， 因为以3为底数的对数函数为增函数， 所以，即， 且， 因为以3为底数的指数函数为增函数， 所以，即， 则. 故选：A. 7．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可解得. 【详解】选项A中，指数函数在定义域上单调递减，即，错误； 选项B中，指数函数在定义域上单调递增，， 指数函数在定义域上单调递减，，即，错误； 选项C中，对数函数在定义域上单调递减，，错误； 选项D中，对数函数在定义域上单调递增，则， 对数函数在定义域上单调递增，则， 即，正确． 故选：D. 8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数单调性得到的范围即可比大小. 【详解】因为，所以， 又因为与在上单调递增， 所以，即， 且，即， 所以. 故选：B. 9．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性来求解. 【详解】因为指数函数在上单调递减，且， 所以，即. 又因为指数函数的值域为， 所以，即. 而对数函数在上单调递减，且， 所以，即. 所以. 故选：A. 题型 3：对数函数的图像 10．在同一坐标系中，二次函数与对数函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数和对数函数的图像和性质，分别讨论和两种情况，即可判断求解. 【详解】由题意，若对数函数有意义，则，且， 故二次函数图像开口向上，故选项C和D不符合题意； 当时，二次函数图像开口向上，与轴交点为， 对数函数在定义域上为单调减函数，故图像如图所示：    故选项B不符合题意； 当时，二次函数图像开口向上，与轴交点为， 对数函数在定义域上为单调增函数，故图像如图所示：    故选项A符合题意； 故选：A. 11．已知，，则它们在同一坐标系中的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】观察函数图像，通过斜率和截距可以确定一次函数的图像，对数函数的性质即可求解. 【详解】且， 而C选项中直线在y轴上截距,排除C选项. 选项D中，单调递减，可得时，而直线在y轴上截距， 选项A中，单调递增，可得时，而直线在y轴上截距， 排除A，D. 故选：B. 12．若函数的图像如图所示，则函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图像和对数函数的图像即可求解. 【详解】由指数函数的图像可知，， 的定义域为，排除BD， 当时，对数函数单调递增， 又的图像与的图像关于y轴对称， 所以的图像在定义域内单调递减，A选项正确. 故选：A. 题型4： 对数函数值域 13．函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求值. 【详解】解：因为函数在上为增函数， 所以在区间上，处函数取最小值， . 故选：B． 14．函数在区间上的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据对数复合型函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为在定义域上为增函数， 又在上是减函数，所以函数在区间单调递减. 所以当时，取得最大值：. 故选：B. 15．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得在上为单调递增函数， 所以，， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 16．已知函数在区间上的最大值为7，则在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求最大值，求出的值，然后根据对数函数的单调性求的最大值. 【详解】由可知：且， 所以函数是实数集上单调递增函数， 所以函数在区间上的最大值是， 又函数在区间上的最大值为7， 所以有， 因为函数是上的增函数， 所以在区间上的最大值为， 故选：C. 1.（2023·陕西·真题T15）函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数真数大于零，偶次根号下大于等于零、分母不为零求定义域即可. 【详解】要使函数有意义， 只需，，即； 故答案为：. 2.（2022·陕西·真题T06）下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四个选项中函数的定义域，即可得出正确的答案. 【详解】的定义域是，故A错误； 的定义域是，故B错误； 的定义域是，故C错误； 的定义域是，故D正确. 故选：D. 3.（2021·陕西·真题T04）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数式中的分母不为零，偶次根式的被开方数为非负数，对数的真数大于零，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则满足 ，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 4.（2020·陕西·真题T14）函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数定义及定义域的定义即可得解. 【详解】已知函数. 则. 解得. 所以定义域为. 故答案为:. 5.（2023·陕西·真题T07）下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数、余弦函数、指数函数的奇偶性，结合奇偶函数的定义，即可判断求解. 【详解】选项A，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是奇函数，故选项A符合题意； 选项B，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项B不符合题意； 选项C，因为函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项C不符合题意； 选项D，因为是指数函数，故该函数是非奇非偶函数，故选项D不符合题意； 故选：A. 6.（2022·陕西·真题T11）设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数的图象和性质即可判断函数值的大小. 【详解】当时，在单调递增，， 当时，在单调递增，， 当时，在单调递增，， 所以当时，. 故选：A. 7.（2024·陕西·真题T07）设函数（，且），则当，时有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算法则即可解答. 【详解】已知函数， 当当，时，由， 可得，故B正确； 对于A，，，故A错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，故D错误； 故选：B. 8.（2024·陕西·真题T11）若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因指数函数，底数，所以在上为增函数， 则； 因为对数函数，底数，所以在上为增函数， 则， ，则， 所以， 故选：. 9.（2023·陕西·真题T09）设，，则当时，下列结论正确的是（ ） A. 减函数，是增函数 B. 是增函数，是减函数 C. 与均为减函数 D. 与均为增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】，，当时，是增函数， ，，当时，是减函数； 故选：B. 10.（2023·陕西·真题T11）设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将指数式转化为对数式再由对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由得， 由得， 由得， 因为在上为增函数， 所以由，得，即， 又在上为增函数， 所以，即， 所以， 故选：B. 11.（2022·陕西·真题T04）假设函数在其定义域上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的定义和单调性直接求解即可. 【详解】因为函数在其定义域上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 12.（2021·陕西·真题T11）若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和对数的运算性质求解比较大小即可. 【详解】对数函数在内为增函数， 在内为减函数， 所以，即， ， ，即， ，即， 所以. 故选：D. 13.（2021·陕西·真题T15）若是增函数，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为是增函数， 所以指数函数在定义域内是减函数. 则. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14.（2020·陕西·真题T07）设，，则当时，有（ ） A. 单调递增，单调递减 B. 与均单调递减 C. 单调递减，单调递增 D. 与均单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性即可得解. 【详解】因为为增函数,在内为减函数. 所以在内为减函数. ,. 所以在上为减函数. 故选:. 15.（2020·陕西·真题T11）设,,,则,,的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数,指数函数的性质即可得解. 【详解】 综上所述. 故选:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $