专题09 分段函数（讲义）-2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 分段函数 【复习目标】 1.理解分段函数的概念，定义域被分成不同区间，每个区间对应不同解析式。 2.掌握分段函数求函数值的方法。 3.会求分段函数的定义域：取各段自变量取值范围的并集。 4.能简单求解分段函数有关方程（已知函数值求自变量x）。 5.了解分段函数简单图像特点。 考点 1 分段函数的基本概念 【考点知识回顾】 易错提醒：很多同学误以为分段函数是好几个函数拼在一起，这是错误的！ 分段函数定义 在函数的定义域内，自变量x被划分成若干个互不重叠（或端点衔接）的区间，在不同的自变量区间上，对应不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数。 核心要点挖空 ①分段函数是个函数，不是多个函数。 ②分段函数由大括号统一书写，每一段后面必须标明该段自变量x的取值范围。 ③分段函数的定义域：把每一段中x的取值范围做。 ④分段函数的值域：每一段函数值的取值集合做。 即时训练 1．若函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】分别将和代入合适的解析式中求出对应的值即可. 【详解】已知函数， ， 故选：C． 2．设，则（　　 ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】由分段函数解析式求函数值即可得解. 【详解】函数， 则 3．已知函数，则（    ） A． B．3 C． D．15 【答案】B 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，代入计算可求解. 【详解】因为函数， 所以. 故选：B. 考点 2 分段函数求函数值（含嵌套f(f(x))） 【考点知识回顾】 （1）普通自变量求值 标准解题步骤： 第一步：判断给出的自变量x落在哪一个区间； 第二步：选择该区间后面对应的解析式； 第三步：把x代入解析式计算，得出函数值。 （2）嵌套求值（拓展，真题常考） 计算原则：由内向外算，先算内层f(a)，把算出来结果当作新自变量，再算外层函数。 即时训练 1．已知函数，则的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，分类讨论和的情况即可得解. 【详解】函数，因为， 则当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以解集为， 故选：. 2．已知函数，若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论或的情况，结合解含绝对值的不等式及对数函数的单调性即可得解. 【详解】函数，若， 当时，则，解得（舍）或； 当时，则， 因为，所以函数在上为增函数，则， 则x的取值范围是， 故选：. 3．已知函数 ，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将代入合适的解析式求出的值，再将的值代入合适的解析式列方程求解即可. 【详解】已知函数 ， 因为，故， 因为，故，解得. 故选：C. 4．已知函数，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据分段函数求出，结合即可得解. 【详解】因为，所以． 故选:C 5．已知函数 则 （   ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】首先计算 ，再将的值代入合适的解析式求值即可. 【详解】已知 因为，所以， 所以， 因为 ，所以， 因此，. 故选：B. 考点 3 已知分段函数函数值，求自变量x 【考点知识回顾】 核心注意点：每一段解方程得到的解，必须检验这个解是否属于该段x的取值范围；不属于本段区间的解直接舍去。 完整解题流程： 对每一个分段，分别列出方程； 在该段的x取值限制条件下解方程； 把解和本段区间比对，保留符合条件的解，舍去不符合的解； 把所有有效解汇总，得到最终答案。 即时训练 1．已知函数，若，求实数的值（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论和的情况，结合即可得解. 【详解】函数，， 当，，解得或（舍）； 当，，解得， 所以或. 故选：B． 2．若，则实数的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接代入分段函数求解，分和两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得（舍去）或； 综上所述：实数的值为. 故选：B. 3．已知函数，若，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数函数值的求法，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得，若，则，解得或（舍去）； 若，则，解得. 综上所述,或. 故选：B. 4．已知函数（且）．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，根据自变量的范围，选择相应的函数式，先求出的值，据此可求. 【详解】函数（且）， 因为，所以，解得， 所以． 故选：A 5．已知函数，若，则实数a的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由函数的解析式分类讨论代入求值即可. 【详解】当时，由，该方程无实根； 当时，，显然符合. 故选：B. 1．（陕西省宝鸡市千阳县职业中等专业学校2024-2025学年高三下学期职教（高考班）第一次模拟预测数学试题）已知函数，则 ______. 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（陕西省宝鸡市千阳县职业中等专业学校2024-2025学年高三下学期职教高考模拟预测数学试题）某工厂生产一种产品，年固定成本为万元，每生产一件产品需增加万元成本. 当年产量不超过件时，每件产品的售价为2万元；当年产量超过件时，每件产品的售价会随产量增加而降低，且满足售价 （万元）与产量 （件）的关系式为，每年的最高产量不超过件. (1)写出年利润 （万元）与年产量 （件）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为件时，年利润最大，最大年利润为万元 【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型列出解析式即可. （2）根据函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）当时，成本为， 售价为，所以利润 ， 当时，成本为，售价为， 所以利润 ， 所以 （2）由（1）可得，， 当时，为单调递增， 所以当时，万元， 当时， 单调递增， 当时，万元， 所以当年产量为件时，年利润最大，最大年利润为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 分段函数 【复习目标】 1.理解分段函数的概念，定义域被分成不同区间，每个区间对应不同解析式。 2.掌握分段函数求函数值的方法。 3.会求分段函数的定义域：取各段自变量取值范围的并集。 4.能简单求解分段函数有关方程（已知函数值求自变量x）。 5.了解分段函数简单图像特点。 考点 1 分段函数的基本概念 【考点知识回顾】 易错提醒：很多同学误以为分段函数是好几个函数拼在一起，这是错误的！ 分段函数定义 在函数的定义域内，自变量x被划分成若干个互不重叠（或端点衔接）的区间，在不同的自变量区间上，对应不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数。 核心要点挖空 ①分段函数是____个函数，不是多个函数。（答案：） ②分段函数由大括号统一书写，每一段后面必须标明该段自变量x的取值范围。 ③分段函数的定义域：把每一段中x的取值范围做____。（答案：） ④分段函数的值域：每一段函数值的取值集合做____。（答案：） 即时训练 1．若函数，则（    ） A． B．3 C． D． 2．设，则（　　 ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．已知函数，则（    ） A． B．3 C． D．15 考点 2 分段函数求函数值（含嵌套f(f(x))） 【考点知识回顾】 （1）普通自变量求值 标准解题步骤： 第一步：判断给出的自变量x落在哪一个区间； 第二步：选择该区间后面对应的解析式； 第三步：把x代入解析式计算，得出函数值。 （2）嵌套求值（拓展，真题常考） 计算原则：由内向外算，先算内层f(a)，把算出来结果当作新自变量，再算外层函数。 即时训练 1．已知函数，则的解集为 （ ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知函数 则 （   ） A．1 B．2 C．0 D． 考点 3 已知分段函数函数值，求自变量x 【考点知识回顾】 核心注意点：每一段解方程得到的解，必须检验这个解是否属于该段x的取值范围；不属于本段区间的解直接舍去。 完整解题流程： 对每一个分段，分别列出方程； 在该段的x取值限制条件下解方程； 把解和本段区间比对，保留符合条件的解，舍去不符合的解； 把所有有效解汇总，得到最终答案。 即时训练 1．已知函数，若，求实数的值（     ） A． B．或 C． D． 2．若，则实数的值（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知函数，若，则（    ） A． B．或 C． D． 4．已知函数（且）．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则实数a的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 1．（陕西省宝鸡市千阳县职业中等专业学校2024-2025学年高三下学期职教（高考班）第一次模拟预测数学试题）已知函数，则 ______. 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（陕西省宝鸡市千阳县职业中等专业学校2024-2025学年高三下学期职教高考模拟预测数学试题）某工厂生产一种产品，年固定成本为万元，每生产一件产品需增加万元成本. 当年产量不超过件时，每件产品的售价为2万元；当年产量超过件时，每件产品的售价会随产量增加而降低，且满足售价 （万元）与产量 （件）的关系式为，每年的最高产量不超过件. (1)写出年利润 （万元）与年产量 （件）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为件时，年利润最大，最大年利润为万元 【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型列出解析式即可. （2）根据函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）当时，成本为， 售价为，所以利润 ， 当时，成本为，售价为， 所以利润 ， 所以 （2）由（1）可得，， 当时，为单调递增， 所以当时，万元， 当时， 单调递增， 当时，万元， 所以当年产量为件时，年利润最大，最大年利润为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $