专题08 二次函数的图像与性质（讲义）-2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 二次函数的图像和性质 【复习目标】 1.掌握二次函数的三种解析式，能完成两种形式之间的简单转化。 2.理解二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，会求对称轴与顶点。 3.掌握二次函数单调性，能写出二次函数的单调递增、递减区间。 4.会求二次函数的最大值、最小值。 5.理解二次函数与一元二次方程的关系，会根据判别式判断抛物线与x轴交点个数。 考点 1 二次函数解析式 【考点知识回顾】 二次函数定义：形如（其中）叫做二次函数。 一般式： 顶点式：，顶点坐标为。 顶点式优势：直接读出顶点、快速求函数最值。 交点式：，是抛物线与x轴交点的横坐标。 即时训练 1．若函数在定义域上为偶函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义即可得解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以，解得， 又因为偶函数定义域关于原点对称，所以，解得． 故选：A． 2．已知二次函数的对称轴是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称轴公式即可求解. 【详解】因为二次函数的对称轴公式为， 在二次函数中，，， 所以其对称轴为， 又因为二次函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：C. 3．函数的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点坐标直接求解. 【详解】二次函数中，, 顶点坐标为. 故选：D. 4．二次函数的图像的顶点在轴上，则的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【分析】先将已知二次函数的解析式配方成顶点式，则可得其顶点坐标； 再根据顶点在x轴上可得关于k的方程，解方程求出k的值即可. 【详解】∵配方得， 顶点为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴，解得. 故选：A. 5．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将二次函数配方化为顶点式即可解得. 【详解】二次函数 因此该二次函数的顶点坐标为. 故选：A. 考点 2 抛物线图像性质（开口、对称轴、顶点、最值） 【考点知识回顾】 对于 开口方向： a>0，抛物线开口向上，函数有最小值； a<0，抛物线开口向下，函数有最大值。 对称轴公式：。 顶点坐标（一般式）： 最值： a>0，当时， a<0，当时， 顶点式直接看：，x=h取到最值k。 即时训练 题型一 二次函数图像 1．二次函数的图像可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将二次函数化为顶点式，得到对称轴，开口方向以及顶点坐标，即可求解. 【详解】二次函数， 即函数的对称轴为，排除选项CD，开口方向向下，排除选项A， 又函数的顶点坐标为，即选项B符合， 故选：B. 2．一次函数y＝ax＋b与二次函数的图像，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数、二次函数图像求解. 【详解】选项A：二次函数开口向上，故；一次函数斜率为负，故.两者矛盾，A错误. 选项B：二次函数开口向上，故；对称轴，故. 一次函数斜率为正，故；截距为正，故的符号矛盾，B错误. 选项C：二次函数开口向上，故；对称轴，故. 一次函数斜率为正，故；截距为负，故.两者一致，C正确. 选项D：二次函数开口向下，故；一次函数斜率为正，故.两者矛盾，D错误. 故选：C 3．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为二次函数图像开口向下，故； 由图可知，对称轴，所以； 因为函数图像与轴交于正半轴，故； 因为函数图像与轴有两个交点，故； 故选：C. 题型二 二次函数最值（真题高频） 4．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简一元二次函数，结合函数图像即可求值域. 【详解】函数， 其图像开口向上，且对称轴为直线， 因为，所以最小值为，最大值为， 故函数的值域为. 故选：B. 5．已知函数，定义域为，则它的最小值为（    ）. A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得二次函数为开口向下的抛物线，对称轴为轴， 故函数在单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数有最小值. 故选：D. 6．二次函数在上的最大值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】由二次函数闭区间求最值的方法即可得解. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为，开口向下， 故函数的最大值为. 故选：C. 考点 3 二次函数的单调区间 【考点知识回顾】 1.a>0开口向上： 在对称轴左侧，函数单调递减； 在对称轴右侧，函数单调递增。 2.a<0开口向下： 在对称轴左侧，函数单调递增； 在对称轴右侧，函数单调递减。 记忆口诀：开口向上，左减右增；开口向下，左增右减。 即时训练 题型一 二次函数的单调区间 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】因为二次函数开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增. 故选：A. 2．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，要使函数有意义，则，解得. 令，则在上是增函数，在上是减函数. 令，则在为增函数. 所以的单调递减区间为. 故选：D. 题型二 二次函数的单调含参 3．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴、开口方向和单调性即可求解. 【详解】函数为二次函数，对称轴为， 图象开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增， 因为函数在上为减函数， 所以，得. 故选：C. 4．若函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知二次函数的图像开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递减，所以，解得． 故选：D. 5．若二次函数在上为增函数，在上为减函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性和对称轴公式列方程求解即可. 【详解】二次函数的对称轴是， 且函数在上为增函数，在上为减函数， ， 故选：A． 6．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】二次函数 开口向下（）.其对称轴为 . 函数在对称轴右侧 单调递减.又因为函数在 上递减，故需 . 故选：B. 考点 4 二次函数与一元二次方程 【考点知识回顾】 判别式 1. ：抛物线与x轴有两个交点； 2. ：抛物线与x轴有一个交点（相切）； 3.：抛物线与x轴无交点。 【即时训练】 1．函数图象与x轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数的判别式求解即可. 【详解】函数的图象与轴无交点． 故选：A. 1.（2024·陕西·真题T09）函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】已知， 则当时，， 故选：B. 2.（2023·陕西·真题T07）下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数、余弦函数、指数函数的奇偶性，结合奇偶函数的定义，即可判断求解. 【详解】选项A，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是奇函数，故选项A符合题意； 选项B，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项B不符合题意； 选项C，因为函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项C不符合题意； 选项D，因为是指数函数，故该函数是非奇非偶函数，故选项D不符合题意； 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 二次函数的图像和性质 【复习目标】 1.掌握二次函数的三种解析式，能完成两种形式之间的简单转化。 2.理解二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，会求对称轴与顶点。 3.掌握二次函数单调性，能写出二次函数的单调递增、递减区间。 4.会求二次函数的最大值、最小值。 5.理解二次函数与一元二次方程的关系，会根据判别式判断抛物线与x轴交点个数。 考点 1 二次函数解析式 【考点知识回顾】 二次函数定义：形如（其中_______）叫做二次函数。 一般式： 顶点式：，顶点坐标为________。 顶点式优势：直接读出顶点、快速求函数最值。 交点式：，是抛物线与x轴交点的横坐标。 即时训练 1．若函数在定义域上为偶函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 2．已知二次函数的对称轴是，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．函数的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 4．二次函数的图像的顶点在轴上，则的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 5．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 考点 2 抛物线图像性质（开口、对称轴、顶点、最值） 【考点知识回顾】 对于 开口方向： a>0，抛物线开口向____，函数有最____值； a<0，抛物线开口向____，函数有最____值。 对称轴公式：________。 顶点坐标（一般式）： 最值： a>0，当时， a<0，当时， 顶点式直接看：，x=h取到最值k。 即时训练 题型一 二次函数图像 1．二次函数的图像可能是（    ）． A． B． C． D． 2．一次函数y＝ax＋b与二次函数的图像，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 题型二 二次函数最值（真题高频） 4．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，定义域为，则它的最小值为（    ）. A．3 B． C．4 D． 6．二次函数在上的最大值为（   ） A． B．3 C．4 D． 考点 3 二次函数的单调区间 【考点知识回顾】 1.a>0开口向上： 在对称轴左侧，函数单调____； 在对称轴右侧，函数单调____。 2.a<0开口向下： 在对称轴左侧，函数单调____； 在对称轴右侧，函数单调____。 记忆口诀：开口向上，左减右增；开口向下，左增右减。 即时训练 题型一 二次函数的单调区间 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的单调含参 3．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．若二次函数在上为增函数，在上为减函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 6．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围（     ） A． B． C． D． 考点 4 二次函数与一元二次方程 【考点知识回顾】 判别式 1. ：抛物线与x轴有____个交点； 2. ：抛物线与x轴有____个交点（相切）； 3.：抛物线与x轴____交点。 【即时训练】 1．函数图象与x轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 1.（2024·陕西·真题T09）函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 2.（2023·陕西·真题T07）下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $