专题07 函数的性质（讲义）-2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1.理解函数单调性的概念，会判断简单函数的单调区间，能区分增、减函数。 2.理解函数奇偶性的定义，掌握奇、偶函数图像特征，会判断函数的奇偶性。 3.熟练运用奇偶函数的性质进行函数求值、求参数。 4.掌握奇偶函数定义域的前提条件：定义域关于原点对称。 5.能结合奇偶性进行简单转化求值。 考点 1 函数的单调性 【考点知识回顾】 增函数：在区间I内，任取，都有____，则称f(x)在区间I上是增函数，图像从左向右上升。 减函数：在区间I内，任取，都有____，则称f(x)在区间I上是减函数，图像从左向右下降。 单调区间：函数具备单调性的区间，书写区间注意端点开闭。 职教单招常考：一次函数、二次函数简单单调区间判断。 即时训练 1．设偶函数的定义域为，在区间上为增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由的奇偶性得到，再利用的单调性即可得解. 【详解】因为是在上的偶函数，所以， 又在区间上为增函数，且， 所以. 故选：B. 2．偶函数在上是减函数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据函数单调性与奇偶性即可求解. 【详解】解：因为是偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增，. 则. 故选：B 3．若偶函数在上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及函数的单调性即可求解. 【详解】由偶函数知：，又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D. 4．已知定义在上的偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以； 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图像关于轴对称， 又因为在上是减函数， 所以函数在上是增函数； 因为， 所以， 即， 故选：． 5．函数是上的减函数，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性结合已知条件即可求解. 【详解】对A、B项：因为是上的减函数，且， 故，则，故A、B项正确； 对C、D项：因为，所以，又， 所以，，故C项正确，D项错误. 故选：D. 6．如果函数是上的减函数，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质求解． 【详解】函数是上的减函数，则． 故选：B． 考点 2 函数奇偶性的判断 【考点知识回顾】 判断奇偶性第一步：检查定义域是否关于原点对称；若不对称，则函数为____________。 偶函数：对于定义域内任意x，都有________；图像关于____对称。 奇函数：对于定义域内任意x，都有________；图像关于____对称。 重要结论：若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=________。 判断奇偶性三步： ①看定义域是否关于原点对称； ②计算f(-x)； ③对比f(-x)与f(x)、-f(x)关系，下结论。 即时训练 1．下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质、增函数的定义、诱导公式及余弦函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以符合偶函数的性质的只有和，排除B、C选项； 而由余弦函数的单调性可知， 函数在只有部分单调递增，不是增函数，排除选项A， 二次函数开口向上，对称轴是轴， 所以函数在上为增函数，所以选项D符合题意. 所以是偶函数且在上为增函数的是. 故选：D. 2．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判定即可解得. 【详解】选项A：定义域关于原点对称， 为奇函数，在上单调递减，错误. 选项B：定义域为关于原点对称， 为奇函数，在定义域内有增有减，错误. 选项C：定义域为关于原点对称， 为奇函数，在其定义域内单调递增，正确. 选项D：定义域为关于原点对称， 为偶函数，在其定义域内有增有减，错误. 故选：C. 3．下列函数是偶函数，且在 单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】A错误： 是偶函数，但在 单调递减. B正确： 是偶函数，且在 单调递增. C错误： 不是偶函数. D错误： 不是偶函数，且在 单调递减. 故选：B. 4．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据对数函数、指数函数、正弦函数、余弦函数的图像和性质判断即可. 【详解】对A：函数的定义域为，且，所以函数是非奇非偶函数； 对B：函数的定义域为，所以函数是非奇非偶函数； 对C：函数的定义域为，且，所以函数是奇函数； 对D：函数的定义域为，且，所以函数是偶函数. 故选：C. 5．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，令，则，不满于奇函数的定义，故A不是奇函数； 对于B，令，则其定义域为， 则，满足奇函数的定义，故B是奇函数； 对于C，令，则，不满足奇函数的定义，故C不是奇函数； 对于D，令，则，不满足奇函数的定义，故D不是奇函数． 故选：B． 考点 3 奇偶性性质应用（真题高频：求值、求参数） 【考点知识回顾】 偶函数：f(-a)=f(a)，可以把负自变量转化为正自变量计算函数值。 奇函数：f(-a)=-f(a)；若题目给出f(a)，可快速求f(-a)。 已知函数奇偶性求参数：利用恒等式f(-x)=f(x)（偶）或f(-x)=-f(x)（奇），等式恒成立，对应系数相等求参数。 【即时训练】 1．若函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】利用奇函数定义，求出解析式，然后将代入解析式即可 【详解】函数为奇函数，则， ，， 即，， 则，. 故选：D. 2．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以， 则. 故选：A. 3．已知幂函数是偶函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．1或 【答案】B 【分析】由幂函数为偶函数，可知，将其求解即可. 【详解】根据幂函数， 则，解得或， 当时，为奇函数，不满足条件； 当时， 为偶函数，满足要求. 故选：B. 4．已知一次函数 为奇函数，则 （   ） A．1 B．2 C．0 D．-1 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解参数即可； 【详解】因为函数 为奇函数， ， ； 由奇函数性质得： ，解得 ； 因此，，所以 . 故选：B. 5．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，再由可得，即可求出的值. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以定义域关于原点对称， 可得，所以， 由，即， 可得，即， 解得，所以． 故选：A. 6．若函数是上的偶函数，则a的值为（   ）. A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据偶函数性质和二次函数的对称性可得结果. 【详解】因为函数为偶函数，且函数是二次函数， 所以函数的对称轴为，解得. 故选：B 7．已知函数为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 所以， 所以，所以. 故选：C. 8．定义在 上的二次函数 为偶函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为二次函数 为偶函数， 所以 ⇒ . 化简得 ，即 . 此外，定义域 关于原点对称，因此 . 可以为任意实数.因此，正确答案为 故选：B. 9．已知 是偶函数，则 （     ） A．0 B．5 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式，再代入求解即可. 【详解】偶函数满足 ，函数图象关于纵轴对称， 因为为二次函数， 所以对称轴为 所以. 因此函数为 ， . 故选：B. 1.（2024·陕西·真题T13）设是定义在上的奇函数，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，则， 因为是定义在上的奇函数, 所以， 故答案为：. 2.（2023·陕西·真题T07）下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数、余弦函数、指数函数的奇偶性，结合奇偶函数的定义，即可判断求解. 【详解】选项A，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是奇函数，故选项A符合题意； 选项B，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项B不符合题意； 选项C，因为函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项C不符合题意； 选项D，因为是指数函数，故该函数是非奇非偶函数，故选项D不符合题意； 故选：A. 3.（2022·陕西·真题T15）已知，函数为偶函数，且时，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用函数是偶函数，将转化为进行求值即可． 【详解】因为为偶函数，所以， 因为时，，所以， 故答案为：1． 4.（2021·陕西·真题T14） 若偶函数，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据对任意的实数都成立，列式可求解. 【详解】由题可知，对任意的实数都成立， 即， 化简，可得， 所以，解得. 故答案为：2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1.理解函数单调性的概念，会判断简单函数的单调区间，能区分增、减函数。 2.理解函数奇偶性的定义，掌握奇、偶函数图像特征，会判断函数的奇偶性。 3.熟练运用奇偶函数的性质进行函数求值、求参数。 4.掌握奇偶函数定义域的前提条件：定义域关于原点对称。 5.能结合奇偶性进行简单转化求值。 考点 1 函数的单调性 【考点知识回顾】 增函数：在区间I内，任取，都有，则称f(x)在区间I上是增函数，图像从左向右上升。 减函数：在区间I内，任取，都有，则称f(x)在区间I上是减函数，图像从左向右下降。 单调区间：函数具备单调性的区间，书写区间注意端点开闭。 即时训练 1．设偶函数的定义域为，在区间上为增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由的奇偶性得到，再利用的单调性即可得解. 【详解】因为是在上的偶函数，所以， 又在区间上为增函数，且， 所以. 故选：B. 2．偶函数在上是减函数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据函数单调性与奇偶性即可求解. 【详解】解：因为是偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增，. 则. 故选：B 3．若偶函数在上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及函数的单调性即可求解. 【详解】由偶函数知：，又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D. 4．已知定义在上的偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以； 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图像关于轴对称， 又因为在上是减函数， 所以函数在上是增函数； 因为， 所以， 即， 故选：． 5．函数是上的减函数，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性结合已知条件即可求解. 【详解】对A、B项：因为是上的减函数，且， 故，则，故A、B项正确； 对C、D项：因为，所以，又， 所以，，故C项正确，D项错误. 故选：D. 6．如果函数是上的减函数，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质求解． 【详解】函数是上的减函数，则． 故选：B． 考点 2 函数奇偶性的判断 【考点知识回顾】 判断奇偶性第一步：检查定义域是否关于原点对称；若不对称，则函数为非奇非偶函数。 偶函数：对于定义域内任意x，都有f(x)；图像关于y轴对称。 奇函数：对于定义域内任意x，都有-f(x)；图像关于原点对称。 重要结论：若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=。 判断奇偶性三步： ①看定义域是否关于原点对称； ②计算f(-x)； ③对比f(-x)与f(x)、-f(x)关系，下结论。 即时训练 1．下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质、增函数的定义、诱导公式及余弦函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以符合偶函数的性质的只有和，排除B、C选项； 而由余弦函数的单调性可知， 函数在只有部分单调递增，不是增函数，排除选项A， 二次函数开口向上，对称轴是轴， 所以函数在上为增函数，所以选项D符合题意. 所以是偶函数且在上为增函数的是. 故选：D. 2．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判定即可解得. 【详解】选项A：定义域关于原点对称， 为奇函数，在上单调递减，错误. 选项B：定义域为关于原点对称， 为奇函数，在定义域内有增有减，错误. 选项C：定义域为关于原点对称， 为奇函数，在其定义域内单调递增，正确. 选项D：定义域为关于原点对称， 为偶函数，在其定义域内有增有减，错误. 故选：C. 3．下列函数是偶函数，且在 单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】A错误： 是偶函数，但在 单调递减. B正确： 是偶函数，且在 单调递增. C错误： 不是偶函数. D错误： 不是偶函数，且在 单调递减. 故选：B. 4．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据对数函数、指数函数、正弦函数、余弦函数的图像和性质判断即可. 【详解】对A：函数的定义域为，且，所以函数是非奇非偶函数； 对B：函数的定义域为，所以函数是非奇非偶函数； 对C：函数的定义域为，且，所以函数是奇函数； 对D：函数的定义域为，且，所以函数是偶函数. 故选：C. 5．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，令，则，不满于奇函数的定义，故A不是奇函数； 对于B，令，则其定义域为， 则，满足奇函数的定义，故B是奇函数； 对于C，令，则，不满足奇函数的定义，故C不是奇函数； 对于D，令，则，不满足奇函数的定义，故D不是奇函数． 故选：B． 考点 3 奇偶性性质应用（真题高频：求值、求参数） 【考点知识回顾】 偶函数：f(-a)=f(a)，可以把负自变量转化为正自变量计算函数值。 奇函数：f(-a)=-f(a)；若题目给出f(a)，可快速求f(-a)。 已知函数奇偶性求参数：利用恒等式f(-x)=f(x)（偶）或f(-x)=-f(x)（奇），等式恒成立，对应系数相等求参数。 【即时训练】 1．若函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】利用奇函数定义，求出解析式，然后将代入解析式即可 【详解】函数为奇函数，则， ，， 即，， 则，. 故选：D. 2．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以， 则. 故选：A. 3．已知幂函数是偶函数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．1或 【答案】B 【分析】由幂函数为偶函数，可知，将其求解即可. 【详解】根据幂函数， 则，解得或， 当时，为奇函数，不满足条件； 当时， 为偶函数，满足要求. 故选：B. 4．已知一次函数 为奇函数，则 （   ） A．1 B．2 C．0 D．-1 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解参数即可； 【详解】因为函数 为奇函数， ， ； 由奇函数性质得： ，解得 ； 因此，，所以 . 故选：B. 5．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，再由可得，即可求出的值. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以定义域关于原点对称， 可得，所以， 由，即， 可得，即， 解得，所以． 故选：A. 6．若函数是上的偶函数，则a的值为（   ）. A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据偶函数性质和二次函数的对称性可得结果. 【详解】因为函数为偶函数，且函数是二次函数， 所以函数的对称轴为，解得. 故选：B 7．已知函数为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 所以， 所以，所以. 故选：C. 8．定义在 上的二次函数 为偶函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为二次函数 为偶函数， 所以 ⇒ . 化简得 ，即 . 此外，定义域 关于原点对称，因此 . 可以为任意实数.因此，正确答案为 故选：B. 9．已知 是偶函数，则 （     ） A．0 B．5 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式，再代入求解即可. 【详解】偶函数满足 ，函数图象关于纵轴对称， 因为为二次函数， 所以对称轴为 所以. 因此函数为 ， . 故选：B. 1.（2024·陕西·真题T13）设是定义在上的奇函数，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，则， 因为是定义在上的奇函数, 所以， 故答案为：. 2.（2023·陕西·真题T07）下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数、余弦函数、指数函数的奇偶性，结合奇偶函数的定义，即可判断求解. 【详解】选项A，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是奇函数，故选项A符合题意； 选项B，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项B不符合题意； 选项C，因为函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项C不符合题意； 选项D，因为是指数函数，故该函数是非奇非偶函数，故选项D不符合题意； 故选：A. 3.（2022·陕西·真题T15）已知，函数为偶函数，且时，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用函数是偶函数，将转化为进行求值即可． 【详解】因为为偶函数，所以， 因为时，，所以， 故答案为：1． 4.（2021·陕西·真题T14） 若偶函数，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据对任意的实数都成立，列式可求解. 【详解】由题可知，对任意的实数都成立， 即， 化简，可得， 所以，解得. 故答案为：2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $