8.7直线与圆锥曲线的位置关系（练习）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以分层训练构建直线与圆锥曲线位置关系的完整认知链，通过基础判断到综合应用的题型设计，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与椭圆|约14题（含2026-2022年真题）|选择/填空（位置关系判断）、解答题（弦长/中点/面积）|从位置关系判定（联立方程、判别式）到几何量计算（韦达定理应用），形成概念-原理-应用递进| |直线与双曲线|约10题（含真题）|选择/填空（交点个数）、解答题（轨迹/弦长）|结合渐近线特性，强化分类讨论思维，构建方程思想与几何性质的关联| |直线与抛物线|约12题（含真题）|选择/填空（焦点弦）、解答题（中点弦/面积）|聚焦焦点弦性质，通过定义转化简化运算，培养数学抽象与模型意识|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题八 8.7 直线与圆锥曲线的位置关系 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 1.已知直线椭圆，则直线和椭圆之间的位置关系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 【答案】C 【分析】联立方程组，根据根的个数判断答案. 【详解】由题意得, 得, 因为方程的判别式, 所以直线和椭圆之间的位置关系是相离. 故选:C. 2.直线与椭圆的位置关系是_____________． 【答案】相切 【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为，进而得到直线与椭圆的位置关系. 由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为， 所以直线与椭圆相切. 3.直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据椭圆的长半轴长，则得到的范围. 【详解】椭圆长半轴长为，若直线与椭圆恒有两个不同的交点，则， 故答案为:. 4.椭圆与直线的交点有___个． 【答案】0 【分析】联立方程组，由方程组的解的个数确定椭圆与直线的交点个数. 【详解】联立方程组，可得.解得，故无解. 故椭圆与直线没有交点. 故答案为:0 5.已知椭圆， (1)求椭圆的焦点、焦距、长轴长、短轴长及离心率； (2)判断直线与该椭圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)焦点为，焦距，长轴长4，短轴长2，离心率 (2)直线与椭圆相交，理由见解析 【分析】(1)根据椭圆方程的定义以及性质求解即可. (2)将直线方程与椭圆方程联立，再根据判别式进行判断. 【详解】(1)椭圆中，，， 解得，，. 所以焦点为，焦距，长轴长，短轴长， 离心率. (2)联立，得到， 因为，所以直线与椭圆相交. 6.已知点，，动点到点，的距离和等于4. (1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； (2)若曲线与直线相交于A、两点，求弦的长. 【答案】(1)椭圆， (2) 【分析】(1)先根据题意判断出点的轨迹是椭圆，再根据写出标准方程即可； (2)联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求解即可得. 【详解】(1)∵点到两定点，的距离之和为4大于两定点间的距离，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则设其方程为， 则，，即，， 故， ∴点的轨迹方程为. (2)设，，联立，得， 则有， ∴ ． 7.直线与椭圆有两个不同的交点，的取值范围. 【答案】 【分析】联立直线与椭圆方程，根据其有两个不同交点，令判别式大于，即可求解. 由题意， ∵此方程有两个不相等实根，∴， ∴． 8.已知椭圆的中心在原点上，且短轴长为2，离心率为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于A，B两点，且点为弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)根据题意，利用待定系数法得到关于的方程组即可得解； (2)方法一:利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可得解；方法二：联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与中点坐标公式求得直线的斜率，从而得解. 【详解】(1)依题意，设椭圆的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2)方法一:因为，所以点在椭圆内部， 设，则， 两式相减得，即 所以， 因为点为弦的中点， 所以，，即，， 因此直线的斜率， 故直线的方程为，即. 方法二:设直线的方程为，即， 联立方程组，消去得， 因为，所以点在椭圆内部，则必有， 设，，由韦达定理得， 因为点为弦的中点，所以，即， 于是，解得， 因此直线的方程为，即. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 9.直线()与双曲线的位置关系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组，判断交点个数，结合双曲线渐近线与直线的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，联立方程组得，消元化简整理得， 又，所以，只有唯一的实数解， 所以直线与双曲线只有一个交点， 又双曲线中，焦点在x轴上，且， 所以渐近线方程为， 所以直线与一条渐近线平行， 故直线与双曲线相交. 故选:A. 10.双曲线与直线的公共点有(  ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【分析】将直线方程代入双曲线方程，得到一个关于的方程，通过求解这个方程的根的个数，来确定公共点的个数. 【详解】将代入，得到： ，展开得 ，化简得 将代入，得. 所以公共点为. 故选:B. 11.直线与双曲线的交点坐标为______． 【答案】， 【分析】利用题目中的两个曲线方程进行联立，求出交点坐标 【详解】由，消得 即，解得或 代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，， 故答案为:， 12.已知中心在原点的双曲线C的准线方程为，双曲线其中一个顶点坐标为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的右焦点且斜率为的直线l与双曲线C交于两点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据顶点坐标确定的值，再由准线方程求出的值，最后由的关系确定的值即可. (2)首先由点和斜率确定直线方程，设，再联立直线与双曲线方程，并由韦达定理得出的值，再由弦长公式求值即可. 【详解】(1)已知双曲线的顶点坐标为， 设双曲线的方程为， 得，由准线方程为， 则，即，解得， 所以， 所以双曲线方程为. (2)由(1)可得，双曲线方程为， ，则右焦点为，且直线斜率为， 则，即， 则联立方程组得，即， 整理得，即， 设，则， 所以 . 13.如图所示，，是双曲线的两个焦点，且该双曲线的离心率，实轴长为2，过左焦点的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)当直线的斜率为1时，求线段的中点坐标. 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】(1)根据双曲线的实轴、离心率以及焦点位置求解即可. (2)根据双曲线的定义、勾股定理以及三角形的面积求解即可. (3)根据直线的点斜式方程，再联立直线方程以及双曲线方程，根据韦达定理以及中点坐标公式求解即可. 【详解】(1)由，即. 又，即.于是有. 因此，双曲线的标准方程为. (2)设，. 由点在双曲线的左支，于是由双曲线的定义知，即. 在中，由勾股定理知， 又，于是有. 因为，所以，解得. 因此，. (3)直线过点，斜率为1，因此直线的方程为. 设、. 联立，消去，得. 由韦达定理知，，于是线段中点的横坐标， 将代入直线，得. 因此，线段的中点坐标为. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 14.已知斜率不存在的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则等于(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【分析】根据题意，结合抛物线的标准方程求得焦点坐标，继而表示出直线方程，与抛物线方程联立方程组，即可求得的坐标，继而求解. 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以， 所以焦点坐标为， 故过焦点且斜率不存在的直线方程为， 所以，解得， 不妨令，故. 故选:B. 15.过抛物线的焦点，且垂直于轴的直线交于、两点，则(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】首先根据抛物线方程求出焦点坐标，确定直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出两点坐标，由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】已知抛物线中，， 所以焦点，则过焦点，且垂直于轴的直线为， 联立方程组得，解得， 所以， 则， 故选:C. 16.已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【分析】首先由抛物线方程确定焦点坐标，再由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知抛物线，其中， 所以焦点为， 到直线的距离为， 故答案为:. 17.过抛物线的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于两点，则_______． 【答案】 【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标，联立方程组利用韦达定理及平面向量的坐标运算即可得解. 【详解】抛物线，焦点在正半轴，且，所以焦点坐标为， 斜率为过抛物线焦点的直线方程为，与抛物线交于两点， 则， 所以，且， 设，， 则，， 所以， 因为，， 则， 故答案为:. 18.直线与抛物线的交点坐标为_______. 【答案】和 【分析】联立直线与抛物线的方程，求解即可. 【详解】将代入，得即 ，解得或. 当时，；当时，. 所以交点坐标为和. 故答案为:和. 19.若抛物线的一条弦的中点为，则这条弦所在的直线的方程为______． 【答案】 【分析】先利用点差法求出弦所在直线的斜率，再结合直线的点斜式方程求出直线方程. 【详解】设这条弦的两端点分别为， ，两式相减可得，即， 由题意可得，这条弦所在直线的斜率显然存在且不为，即， 所以直线的斜率，又中点为， 则， 所以这条弦所在的直线的方程为，即. 故答案为:. 20.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则___________． 【答案】8 【分析】根据题意结合焦点弦公式即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为， 设两点的纵坐标分别为， 由题意得， 因此． 故答案为:. 21.已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线交于、两点，则等于______. 【答案】 【分析】先设直线l方程，再联立抛物线与直线方程，根据韦达定理即可求出. 【详解】抛物线焦点为， 过焦点的直线l与抛物线交于、两点， 当直线l斜率为时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线线l斜率不为时，设其直线方程为， 联立抛物线方程可得，整理得. 所以. 故答案为:. 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 22.直线与椭圆的位置关系为(  ) A.与k的值有关 B.相切 C.相离 D.相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选:D 23.已知椭圆C:与直线相切，则椭圆C的离心率为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用判别式等于0来判断直线与椭圆相切，从而可得到齐次等式来求离心率. 联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 24.已知椭圆()，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且．若的周长为16，且，则该椭圆的标准方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先由椭圆周长求出，再利用垂直对称与三角函数关系算出，从而得到椭圆方程. 【详解】依题意，的周长为， 所以， 因为，所以直线轴，即为等腰三角形， 将代入，得到， 所以，， 因为，所以， 又在中，， 所以，解得， 所以椭圆方程为.    故选：D. 25.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，且弦长，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由离心率可得，再根据过点，可得点为短轴顶点，结合即可求解； (2)设出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解即可. 【详解】(1)∵焦点在轴上的椭圆的离心率为， ∴，则有，即， ∵椭圆过点，则点为椭圆短轴的一个顶点， 则，即， ∵在椭圆中，则， 解得， 因此椭圆的标准方程为； (2)由题意设，， 当直线斜率不存在时，可得弦长为椭圆的短轴长，即，不满足题意； ∴过点的直线的斜率显然存在，并设为， 则直线的方程为，即． 联立方程组，代入消元得， 又由韦达定理得，， ，即得． 根据弦长公式得， 即得，解得(舍去)或(符合题意)， 所以，且满足， 因此直线的方程为或．    26.如图所示，椭圆的左、右焦点为、，离心率为，焦距为2，过点的直线与椭圆交于、两点，且是线段的中点.求：    (1)椭圆的标准方程； (2)的周长； (3)直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由题意求得，，进而得，可得椭圆的标准方程； (2)求出，，进而可得的周长； (3)设、，由题意得，，然后利用点差法求解． 【详解】(1)由题意得，，， ∴，，， ∴椭圆的标准方程为． (2)∵、、， ∴，， ∴的周长． (3)点在椭圆内，则直线与椭圆必相交， 设、， ∵点是线段的中点， ∴，，即，， ∵、两点在椭圆上，则有 两式相减得， 即，化简得， ∴直线的方程为，即． 27.已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)根据椭圆的定义及性质求出点的值即可得解. (2)根据题意联立方程组，结合韦达定理，利用平面向量垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】(1)椭圆的焦点分别是，则， 点在椭圆上，且，则， 所以，所以椭圆方程为. (2)设， 联立方程组， ，解得或， 由韦达定理可知，， ， 因为，则， 所以， 解得，经检验符合题意，所以.    28.已知椭圆的左、右焦点分别为，B为短轴的一个端点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C相交于两点，且，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】(1)根据焦点坐标得出，利用椭圆的几何性质得出，结合求出的值即可得解. (2)联立方程组，利用韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】(1)   椭圆的左、右焦点分别为，则， 在中，，故， 又，解得，则， 所以椭圆的标准方程为：. (2)设， 联立组成方程组， 则，解得， 且， 由，即， 化简得，解得， 经检验均符合题意， 综上所述，. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 29.已知双曲线，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线在第一象限交于点，双曲线的右顶点是的中点，若，则该双曲线的实轴长等于(  ) A.1 B.2 C. D. 【答案】B 【分析】由题意设出右焦点，并列方程求出点，由中点的条件得到，再根据关系及两点距离公式求出，即可求出双曲线的实轴长. 【详解】设右焦点， 因为直线轴，所以由可得：， 且点在第一象限，所以， 又因为双曲线的右顶点是的中点，所以， 所以， 解得，则该双曲线的实轴长为. 故选:B. 30.如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为(  )    A.2 B. C. D. 【答案】B 【分析】根据直角三角形中三角函数关系，及双曲线的定义与离心率公式即可得解. 【详解】∵在中，， ∴，即， 点在双曲线右支商，由双曲线的定义知，， 所以，， 又∵，即，故， ∴离心率. 故选:B. 31.双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于另一点，若的面积为，求的斜率. 【答案】(1). (2)，或不存在. 【分析】(1)根据双曲线离心率得出，代入，则此时双曲线方程为，将点代入双曲线方程中即可得解. (2)先讨论直线斜率不存在的情况，经计算符合题意；设出直线斜率，写出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，利用弦长公式，点到直线距离公式结合三角形面积公式列出方程即可得解. 【详解】(1)双曲线的离心率为，所以， 因为，解得， 所以双曲线方程为， 将代入双曲线方程中得，解得，所以， 所以双曲线方程为. (2)当直线斜率不存在时，此时直线方程为， 将代入双曲线方程中得，解得， 因为，则， 此时的面积为，符合题意；    当直线斜率存在时，如图所示，设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程组得， 由韦达定理可知，，因为， 所以， ， 因为， 所以， 原点到直线的距离为， 所以， 化简得， 当时，化简得，解得； 当时，化简得，解得或， 经检验，直线的斜率为，或不存在. 32.在平面直角坐标系中，曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，且满足，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据双曲线的定义求解即可. (2)设出直线方程以及点，坐标，联立两方程根据韦达定理以及，表示出点，坐标，再求出直线的斜率即可. 【详解】(1)因为曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2， 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 且，，即，， 故曲线的轨迹方程为. (2)设直线的斜率为，，两点的坐标为，， 则直线的方程为， 联立方程整理得. 因为直线与双曲线有两个交点，所以， 解得. 由根与系数的关系得，. 又，即，可得. 由，得， ，得，即， 解得，故直线的斜率为. 33.已知双曲线的焦点坐标是，，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用题中条件及双曲线的性质求出标准方程， (2)通过向量关系和直线与双曲线联立方程求解三角形面积. 【详解】(1)由题意得，双曲线焦点在轴上，且， 因为渐近线方程为，所以， 解得，， 所以双曲线的标准方程为； (2)显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为， 设，， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线有两个交点， 所以且，解得， 由根与系数的关系得，， 因为，所以，可得， 所以，得， ，得， 即，解得，经验证，符合题意， 所以 , 所以的面积是.   34.已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1. (1)求该双曲线的标准方程； (2)已知斜率为2的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1). (2)直线方程或. 【分析】(1)根据双曲线的性质结合点到直线的距离公式求解即可. (2)联立直线与双曲线方程，结合韦达定理和三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)双曲线的离心率为， 即，右焦点坐标为， 双曲线渐近线方程为，即， 所以，解得， 所以，解得， 所以该双曲线的标准方程. (2)由题可设直线，， 联立双曲线方程得：，消去整理得， ， 解得或， 由韦达定理，，， 弦长， 点到直线的距离， 所以三角形面积， 解得，符合题意. 所以直线方程或.    【考点3 直线与抛物线的位置关系】 35.已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与抛物线方程联立，进而结合韦达定理求解. 【详解】点，，则直线的斜率， ， 又因为直线过点，代入点斜式方程， 得直线的方程为， 设， 联立直线方程和抛物线方程，得， 则， 由韦达定理得：， 因为， 又因为， 所以， 则抛物线的标准方程是， 故选:D. 36.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，求出点A的坐标，继而求出直线的斜率和方程，将直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，求出焦点弦的长度，结合原点到直线的距离，代入即可求出三角形的面积. 【详解】 因为抛物线方程为， 所以焦点，准线方程为， 因为， 所以点A到准线的距离为3，设， 则，所以， 所以，， 所以点， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 所以，即， 所以， 所以焦点弦， 又原点O到直线的距离， 所以的面积为. 故答案为:. 37.在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出与直线平行且与抛物线相切的直线方程，再根据两平行直线之间的距离计算即可求解. 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线为， 联立，消y可得，， 由相切可得，解得， ∴与直线平行且与抛物线相切的直线为， 即两直线化为一般式为，以及 ∴两平行直线之间的距离为， ∴到直线距离的最小值为． 故答案为:.    38.以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________. 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点得到圆心，然后利用直线与圆相切计算点到直线的距离得到半径，最后可得结果. 【详解】由题可知：抛物线，即，所以焦点坐标为C， 点到直线的距离为， 所以所求的圆的方程为. 故答案为: 39.如图，椭圆的离心率为，抛物线:与椭圆的一个交点为    (1)求椭圆C的标准方程； (2)点B在抛物线上，若以线段AB为直径的圆过原点O，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据椭圆过点及离心率公式，可求出的值，进而可得椭圆C的标准方程； (2)根据抛物线过点，可求出抛物线方程，设点，结合题意可求出其坐标，最后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】(1)因为椭圆的离心率为 ， 所以，即， 又因为椭圆过点， 所以， 联立方程：，解得：， 所以椭圆C的标准方程为:. (2)因为抛物线:过点， 所以，解得：， 所以抛物线方程为； 设点，因为点在抛物线上， 所以， 以线段AB为直径的圆过原点O，则， 因为， 所以，即 将代入得： ，解得：或， 当时，，此时点与原点重合，不符合题意舍去， 当时，， 所以； 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为:， 整理得:. 40.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求解出直线与轴的交点，即可得到抛物线的焦点坐标，由此可解； (2)联系直线与抛物线方程，根据韦达定理求解结合弦长求解即可. 【详解】(1)直线中，令， 可得，解得， ∴直线与轴的交点为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴可知抛物线焦点位于轴的正半轴，且， 则，则抛物线的方程为； (2)∵斜率为的直线过抛物线的焦点， ∴，即， 设点， 联立，消y可得，， 其中， ∴， ∵，即， 可得，解得.    41.已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为 4 ，抛物线的焦点为椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点P是椭圆上一点，直线与抛物线相交于两点，当的面积取得最大值时，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由椭圆长轴及焦点坐标求出椭圆的标准方程. (2)先分析当面积取最大时，点的位置，再由点与的坐标求出直线的方程，进而通过联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出线段的长度. 【详解】(1)因为抛物线的焦点为， 得出椭圆的焦点在轴上， 设椭圆的标准方程为， 即椭圆焦半距.         又椭圆长轴长为 4 ，得， 则， 所以椭圆的标准方程为. (2)设的高为， 因为面积，而为定值， 所以要使面积最大，则要使为最大值，此时点位应于短轴端点， 即点坐标为. 取点，已知点，则直线的方程为 设直线与抛物线的交点坐标为， 联立方程，整理得， 由韦达定理，得，, 由弦长公式，得线段长度，    42.已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的负半轴上，P是抛物线上的点，点P到焦点F的距离是2，且到y轴的距离是1． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线相交于，求·. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的定义可得准线方程，即可得出抛物线标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，设，再由向量的内积的坐标表示公式求值即可. 【详解】(1)已知抛物线焦点F在x轴的负半轴上， 设抛物线方程为， P是抛物线上的点，点P到焦点F的距离是2，则， 又点P到y轴的距离是1，即，所以，， 所以抛物线方程为. (2)联立直线与抛物线方程得， 所以，即， 设，则，， ， 所以·. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】(1)根据抛物线的定义求解即可. (2)首先求出直线l，再与抛物线方程联立，再根据点到直线的距离公式以及三角形面积求解即可. 【小问1详解】 由定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，且， 又， ，所以，即， ∴抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 由(1)知，，， 点P在抛物线上，设P点坐标. 由题意，直线l的斜率存在且，又直线过抛物线焦点， 所以直线为， 联立，消去y，整理得， 因为直线与抛物线交于点，点，所以， ，, 又点P到直线的距离， 所以 ，即， 可化为或， 解得或或， 当， ，当， ，当，， 点的坐标为或或. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知椭圆的离心率，抛物线方程，椭圆与抛物线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交抛物线于点，且以为直径的圆经过原点，求直线的方程． 【答案】(1)1 (2) 【分析】(1)根据椭圆的性质以及已知点在椭圆上列出方程组，进而求解A、B的值. (2)设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理以及向量垂直的性质求出直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 将点代入椭圆方程中为①， 因为椭圆的离心率整理得② 联立方程①②解得， 所以椭圆的标准方程为:． 【小问2详解】 将点代入抛物线方程中得，则抛物线方程为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 联立直线方程与抛物线方程解得点， 所以以为直径的圆的圆心为的中点，半径为， 而圆心到点O的距离为3，所以点O不在圆上，则当直线斜率不存在时与条件不符； 故直线的斜率存在，设直线的斜率为（），则方程为， 联立方程， 展开整理得:， 则，因为，所以， 代入直线方程中解得， 所以点的坐标为， 因为以为直径的圆经过原点，所以， 又， 则， 即，即，解得或， 所以直线方程为:或， 即或. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)双曲线，圆D:，双曲线与圆交于，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的方程， (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据双曲线的渐近线和一个点易得答案； (2)根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【小问1详解】 因为，所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以，所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 设，因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以，因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知圆的圆心是点C，抛物线的焦点F在该圆上． (1)求p的值； (2)若过点F的直线l与抛物线相交于两点，且的面积为，求直线l的方程． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】(1)设抛物线的焦点为，将点代入圆的方程中即可求解. (2)分别讨论直线l斜率存在和斜率不存在两种情况，根据的面积为求出结果. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点在圆上， 所以，解得或； 因为，所以. 【小问2详解】 由(1)可知，抛物线的标准方程是，焦点为. 由得，圆的标准方程是， 则圆心为，半径为. ①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为， 联立方程组，解得或， 不妨设，所以， 因为圆心到直线的距离是，此时的面积为, 而的面积应为，所以直线的方程不满足条件. ②若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 当时，直线l与抛物线只有一个交点，不符合题意； 当时，设， 联立方程组，消去化简得. 易知，所以， 则， 因为圆心到直线的距离是，且的面积为， 所以，化简得，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或.. 5.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知椭圆的右顶点是，左右焦点分别是，，且，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交椭圆于点，，以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】(1)由椭圆的性质可知，，据此可求，进而可求得，据此可得椭圆方程； (2)设，，，由平行四边形，则，化简为；联立椭圆方程和直线方程，根据韦达定理和判别式，可得，，故点P坐标为；因为点在椭圆上，代入椭圆方程可求解. 【小问1详解】 解:因为，， 所以，， 解得，， 所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由(1)可知，，，设，，. 由题意可知，即， 可得，化简得①， 联立方程组，消去可得. 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，解得， 由韦达定理得，， 又由直线方程可知， 则， 代入①，可得， 因为P在椭圆上，所以满足椭圆方程， 化简得，解得或(满足)， 所以的值为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题八 8.7 直线与圆锥曲线的位置关系 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 1.已知直线椭圆，则直线和椭圆之间的位置关系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 2.直线与椭圆的位置关系是_____________． 3.直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 4.椭圆与直线的交点有___个． 5.已知椭圆， (1)求椭圆的焦点、焦距、长轴长、短轴长及离心率； (2)判断直线与该椭圆的位置关系，并说明理由. 6.已知点，，动点到点，的距离和等于4. (1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； (2)若曲线与直线相交于A、两点，求弦的长. 7.直线与椭圆有两个不同的交点，的取值范围. 8.已知椭圆的中心在原点上，且短轴长为2，离心率为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于A，B两点，且点为弦的中点，求直线的方程. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 9.直线()与双曲线的位置关系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 10.双曲线与直线的公共点有(  ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.直线与双曲线的交点坐标为______． 12.已知中心在原点的双曲线C的准线方程为，双曲线其中一个顶点坐标为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的右焦点且斜率为的直线l与双曲线C交于两点，求线段的长． 13.如图所示，，是双曲线的两个焦点，且该双曲线的离心率，实轴长为2，过左焦点的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)当直线的斜率为1时，求线段的中点坐标. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 14.已知斜率不存在的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则等于(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 15.过抛物线的焦点，且垂直于轴的直线交于、两点，则(  ) A. B. C. D. 16.已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 17.过抛物线的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于两点，则_______． 18.直线与抛物线的交点坐标为_______. 19.若抛物线的一条弦的中点为，则这条弦所在的直线的方程为______． 20.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则___________． 21.已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线交于、两点，则等于______. 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 22.直线与椭圆的位置关系为(  ) A.与k的值有关 B.相切 C.相离 D.相交 23.已知椭圆C:与直线相切，则椭圆C的离心率为(  ) A. B. C. D. 24.已知椭圆()，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且．若的周长为16，且，则该椭圆的标准方程为(  ) A. B. C. D. 25.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，且弦长，求直线的方程． 26.如图所示，椭圆的左、右焦点为、，离心率为，焦距为2，过点的直线与椭圆交于、两点，且是线段的中点.求：    (1)椭圆的标准方程； (2)的周长； (3)直线的方程． 27.已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且，求的值． 28.已知椭圆的左、右焦点分别为，B为短轴的一个端点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C相交于两点，且，求的值. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 29.已知双曲线，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线在第一象限交于点，双曲线的右顶点是的中点，若，则该双曲线的实轴长等于(  ) A.1 B.2 C. D. 30.如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为(  )    A.2 B. C. D. 31.双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于另一点，若的面积为，求的斜率. 32.在平面直角坐标系中，曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，且满足，求直线的斜率. 33.已知双曲线的焦点坐标是，，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，且，求的面积. 34.已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1. (1)求该双曲线的标准方程； (2)已知斜率为2的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 35.已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是(  ) A. B. C. D. 36.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为_______． 37.在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 38.以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________. 39.如图，椭圆的离心率为，抛物线:与椭圆的一个交点为    (1)求椭圆C的标准方程； (2)点B在抛物线上，若以线段AB为直径的圆过原点O，求直线AB的方程. 40.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 41.已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为 4 ，抛物线的焦点为椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点P是椭圆上一点，直线与抛物线相交于两点，当的面积取得最大值时，求线段的长度. 42.已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的负半轴上，P是抛物线上的点，点P到焦点F的距离是2，且到y轴的距离是1． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线相交于，求·. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知椭圆的离心率，抛物线方程，椭圆与抛物线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交抛物线于点，且以为直径的圆经过原点，求直线的方程． 3.(2024年山东省春季高考数学真题)双曲线，圆D:，双曲线与圆交于，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的方程， (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于两点，且，求l的方程. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知圆的圆心是点C，抛物线的焦点F在该圆上． (1)求p的值； (2)若过点F的直线l与抛物线相交于两点，且的面积为，求直线l的方程． 5.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知椭圆的右顶点是，左右焦点分别是，，且，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交椭圆于点，，以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $