8.7直线与圆锥曲线的位置关系（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.7 直线与圆锥曲线的位置关系 【复习目标】 1.掌握直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点1 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系有 、 、 三种，判断关系的方法是:直线与椭圆方程联立方程组⇒消元得到一元二次方程⇒判断判别式Δ的符号:Δ>0⇔ ；Δ＝0⇔ ；Δ<0⇔ ． 2.弦长 直线l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与椭圆的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与椭圆方程，得到关于x或y的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝ 或|AB|＝ . 【即时训练】 1.直线与椭圆的位置关系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 2.椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为8，且离心率为，则椭圆的方程为(  ) A. B. C. D. 3.直线和曲线的位置关系为 . 4.已知椭圆，过点与轴平行的直线交椭圆于，两点，则的长为________． 5.椭圆上的点到直线:的最短距离为______． 6.已知椭圆的左、右焦点为，经过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是______. 7.已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，且． (1)求此椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，求弦长． 8.已知椭圆的一个焦点为，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C相交于两点，若的中点，求直线的方程． 9.在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线:与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 10.设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列． (1)求; (2)若直线的斜率为1，求的值． 11.已知椭圆的两个焦点为，，焦距是，长轴长是4， (1)求椭圆C的标准方程 (2)过点作斜率为的直线l交椭圆C于两点，求的面积． 12.已知椭圆：的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，当时，求． 考点2 直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种，判断关系的方法是:直线与双曲线方程联立方程组⇒消元得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 当a≠0时，判断判别式Δ的符号:Δ>0⇔ ；Δ＝0⇔ ；Δ<0⇔ ． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线重合或平行，若重合则没有交点，若平行则有一个交点． 2.弦长 直线l交双曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与双曲线的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与双曲线方程，得到关于x或y的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝ 或|AB|＝ . 13.若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为(  ) A. B.9 C. D.3 14.直线与双曲线的交点个数为(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 15.已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，求截得的弦长． 16.已知双曲线C:＝1的离心率为，且实轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值． 17.已知双曲线与抛物线有共同的焦点，过双曲线的左焦点作倾斜角是的直线与双曲线交于，两个点. (1)求直线和双曲线的方程； (2)求的面积. 18.已知双曲线． (1)求双曲线的顶点坐标及离心率； (2)若直线l经过双曲线的左焦点，且倾斜角为，求直线l的方程； (3)若椭圆的中心在坐标原点，焦点与双曲线的两个顶点重合，且过点，求椭圆的标准方程． 考点3 直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，判断关系的方法是:直线与抛物线方程联立方程组⇒消元得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 当a≠0时，判断判别式Δ的符号:Δ>0⇔ ；Δ＝0⇔ ；Δ<0⇔ ． 当直线与抛物线对称轴平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，尽管此时只有一个解，但直线与抛物线是相交而不是相切． 2.弦长 直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与抛物线的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与双曲线方程，得到关于x或y的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝ 或|AB|＝ . 特别地，当直线通过抛物线的焦点时，不采用上面方法求弦长，而是根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离来求． 3.抛物线焦点弦的性质 (1)若过抛物线焦点的直线与抛物线y2＝2px的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝ ，y1y2＝ ，|AB|＝ . (2)若过抛物线焦点的直线与抛物线x2＝2py的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝ ，y1y2＝ ，|AB|＝ ． 19.已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则(  ) A.4 B.6 C.8 D.10 20.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，截得弦长为(  ) A. B. C. D. 21.经过抛物线的焦点且与直线垂直的直线方程为________． 22.已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则_____. 23.过抛物线的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且，则p＝______. 24.设点F是抛物线的焦点，过抛物线上一点M作其准线的垂线，垂足为Q，已知直线交y轴于点，则的面积为__________． 25.已知直线l与抛物线交于两点，且线段的中点为，则直线l的方程为________． 26.动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 27.已知椭圆的右焦点为F，抛物线C以点F为焦点，且顶点在椭圆的中心，求： (1)抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线l与抛物线交于A，B两点，求线段的长度． 28.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程． 29.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上. (1)求点的坐标和抛物线的准线方程； (2)过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积. 30.已知抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 1.(2026年山东省春季高考数学真题)倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知椭圆的离心率，抛物线方程，椭圆与抛物线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交抛物线于点，且以为直径的圆经过原点，求直线的方程． 3.(2024年山东省春季高考数学真题)双曲线，圆D:，双曲线与圆交于，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的方程， (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于两点，且，求l的方程. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知圆的圆心是点C，抛物线的焦点F在该圆上． (1)求p的值； (2)若过点F的直线l与抛物线相交于两点，且的面积为，求直线l的方程． 5.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知椭圆的右顶点是，左右焦点分别是，，且，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交椭圆于点，，以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.7 直线与圆锥曲线的位置关系 【复习目标】 1.掌握直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点1 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种，判断关系的方法是:直线与椭圆方程联立方程组⇒消元得到一元二次方程⇒判断判别式Δ的符号:Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 2.弦长 直线l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与椭圆的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与椭圆方程，得到关于x或y的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝或|AB|＝. 【即时训练】 1.直线与椭圆的位置关系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 【答案】A 【分析】联立方程组，根据判别式的大小确定直线与椭圆的交点个数，进而确定位置关系； 【详解】联立方程组，可得，即， 所以，则直线与椭圆有两个交点. 所以直线与椭圆相交， 故选:A 2.椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为8，且离心率为，则椭圆的方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. 【详解】由题意可知， 所以的周长， 解得，又因为离心率，所以， 所以椭圆的方程为. 故选:A. 3.直线和曲线的位置关系为_____. 【答案】相交 【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论. 【详解】曲线为:可得 直线恒过，由知定点在椭圆内部， 所以直线与椭圆的位置关系为相交. 故答案为:相交. 4.已知椭圆，过点与轴平行的直线交椭圆于，两点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据题意求出直线方程，联立方程组求出两点坐标即可得解. 【详解】过点与轴平行的直线为， 联立，解得， 则不妨设， ， 故答案为:. 5.椭圆上的点到直线:的最短距离为______． 【答案】/ 【分析】联立方程组求出椭圆的切线方程，再根据平行线之间的距离公式易得答案. 【详解】由题意可知直线与椭圆相离， 设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程， 消去得，令， 解得．由两平行线间的距离公式得或， 故椭圆上的点到直线的最短距离为． 故答案为:. 6.已知椭圆的左、右焦点为，经过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是______. 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义和离心率公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以，又，则， 所以. 故答案为:. 7.已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，且． (1)求此椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据椭圆的定义以及之间的关系求解即可. (2)根据椭圆中的弦长公式求解即可. 【详解】(1)因为椭圆的两焦点为， 所以设，且， 因为为椭圆上一点，且， 所以，即， 进而，因此椭圆的标准方程为. (2)联立直线与椭圆方程可得， 可得，因为， 所以由韦达定理，由弦长公式得 . 8.已知椭圆的一个焦点为，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C相交于两点，若的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据椭圆焦点，离心率公式求解即可. (2)设出直线的斜率以及两点坐标，根据韦达定理以及中点公式求出斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】(1)因为椭圆的一个焦点为，离心率， 所以，解得.故椭圆C的标准方程为. (2)设.因为的中点，所以. 因为两点位于椭圆上，所以， 两式相减得，即， 即，且时重合，不成立， 所以直线m的斜率存在，设为k，. 所以直线m的方程为，即. 9.在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线:与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用，即可求出，从而求解离心率； (2)联立直线和椭圆的方程，利用一元二次方程的判别式求解的取值范围. (1)因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率. (2)设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. 10.设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列． (1)求; (2)若直线的斜率为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据椭圆的定义以及等差数列的性质求解即可. (2)设出直线方程，联立两方程，根据弦长公式求解即可. 【详解】(1)由椭圆知，， 则由椭圆定义知 即，又成等差数列． 所以，解得. (2)由题意可设l的方程式为，其中. 设，， 联立直线与椭圆方程， 化简得．则，． 因为直线的斜率为1，所以，即． 则． 化简整理得，因为解得． 11.已知椭圆的两个焦点为，，焦距是，长轴长是4， (1)求椭圆C的标准方程 (2)过点作斜率为的直线l交椭圆C于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据焦距确定的值，再由长轴长的确定的值，由的关系求出，写出方程即可. (2)根据点斜式写出直线方程，联立椭圆方程与直线方程，运用韦达定理求出，，再由弦长公式求出的值，再由点到直线的距离公式求出到直线的距离，最后由面积公式求出面积即可. 【详解】(1)由焦距是，长轴长是4， 可得，解得，所以， 所以椭圆C的方程为. (2)已知焦点为， 则过点作斜率为的直线的方程为:， 设，， 由，可得， 所以，， 所以， 又因为到直线:， 距离， 所以的面积为． 12.已知椭圆：的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，当时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据椭圆的焦距与离心率，结合a，b，c之间的关系，列出方程求解即可； (2)由点斜式得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的运算，列出等式再进行求解即可． 【详解】(1)∵椭圆是中心在原点，焦点在x轴，焦距为4，∴，即 ∵离心率，即，∴， ∴， ∴椭圆C的方程为． (2)由题意，直线的斜率存在且不为零，且过点， ∴可设直线的方程为， 将直线的方程与椭圆方程联立得， 整理得， ∴，即，解得， 设， 利用韦达定理可得， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴，化简得， ∴，解得，均符合题意， 所以． 考点2 直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种，判断关系的方法是:直线与双曲线方程联立方程组⇒消元得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 当a≠0时，判断判别式Δ的符号:Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线重合或平行，若重合则没有交点，若平行则有一个交点． 2.弦长 直线l交双曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与双曲线的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与双曲线方程，得到关于x或y的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝或|AB|＝. 13.若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为(  ) A. B.9 C. D.3 【答案】A 【分析】根据题意，结合双曲线方程表示出渐近线方程，结合两直线平行斜率相等，即可求解. 【详解】因为的渐近线方程为， 又一条渐近线与直线平行， 所以，故. 故选:A. 14.直线与双曲线的交点个数为(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，解方程组可求出交点的个数. 【详解】将直线方程与双曲线方程联立，可得 ，消元并整理，可得， 解得，从而. 所以直线与双曲线的交点为，交点为1个. 故选:C 15.已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，求截得的弦长． 【答案】10 【分析】根据渐近线以及焦点求出双曲线方程以及直线方程，联立两方程，再根据弦长公式求解即可. 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程是， ∴，即， ∵左焦点，∴， ∴， ∴，， 即双曲线方程为，得到其左焦点的直线的方程为， 设，由， 消化简得， ∴，， ∴． 16.已知双曲线C:＝1的离心率为，且实轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由离心率和实轴的定义可求，进而得的值，据此可得解； (2)设两点的坐标分别为，线段的中点为，将直线方程和双曲线方程联立，消元后得，进而得，将代入圆的方程可求解. 【详解】(1)由题意得，，，所以， 所以， 所以双曲线的方程为. (2)设两点的坐标分别为，线段的中点为． 由，消去并整理，可得 ，显然， ， 所以，从而， 因为点在圆上， 所以，解得. 17.已知双曲线与抛物线有共同的焦点，过双曲线的左焦点作倾斜角是的直线与双曲线交于，两个点. (1)求直线和双曲线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)， (2)3 【分析】(1)根据抛物线的方程确定焦点坐标，得出双曲线中的值，再由双曲线的关系可求出的值，求出双曲线方程，再由直线的点斜式方程即可求出直线方程. (2)联立直线与双曲线方程，设，再运用韦达定理表示出，运用弦长公式求出，再求出点到直线的距离，最后由三角形面积公式求值即可. 【详解】(1)由抛物线，可得， 所以焦点，则双曲线中， 由双曲线，可得，所以， 双曲线方程为， 由直线倾斜角是，可得， 双曲线左焦点为 所以直线方程为，即. (2)由(1)可知，双曲线方程为， 直线方程为， 联立方程组得，消去得， 整理为， 设，所以， 则， 又到直线的距离为， 所以的面积为. 18.已知双曲线． (1)求双曲线的顶点坐标及离心率； (2)若直线l经过双曲线的左焦点，且倾斜角为，求直线l的方程； (3)若椭圆的中心在坐标原点，焦点与双曲线的两个顶点重合，且过点，求椭圆的标准方程． 【答案】(1)顶点坐标为，. (2) (3) 【分析】(1)根据双曲线的标准方程求解a，b，c的值，根据双曲线的焦点位置求解双曲线的顶点坐标，并由离心率公式代入求解即可. (2)由点斜式方程求解即可. (3)先求出椭圆的焦点，再由椭圆的定义求解即可. 【详解】(1)因为双曲线，焦点坐标在x轴， 所以可得， 即， 所以双曲线的顶点坐标为， 离心率为. (2)直线l经过双曲线的左焦点， 倾斜角为，则斜率为， 所以直线方程为，即. (3)因为椭圆的焦点与双曲线的两个顶点重合， 所以椭圆的焦点为， 设椭圆的标准方程为， 设， 由椭圆的定义可知， ， 即, 因为， 所以该椭圆方程为. 考点3 直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，判断关系的方法是:直线与抛物线方程联立方程组⇒消元得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 当a≠0时，判断判别式Δ的符号:Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 当直线与抛物线对称轴平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，尽管此时只有一个解，但直线与抛物线是相交而不是相切． 2.弦长 直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与抛物线的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与双曲线方程，得到关于x或y的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝或|AB|＝. 特别地，当直线通过抛物线的焦点时，不采用上面方法求弦长，而是根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离来求． 3.抛物线焦点弦的性质 (1)若过抛物线焦点的直线与抛物线y2＝2px的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，|AB|＝. (2)若过抛物线焦点的直线与抛物线x2＝2py的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－p2，y1y2＝，|AB|＝． 19.已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则(  ) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【分析】先求解抛物线的焦点，由此可得直线的方程，联立抛物线与直线求解长度即可. 【详解】∵抛物线的焦点， 又直线过点，且轴， ∴， 联立，可得或， ∴. 故选:C. 20.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，截得弦长为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】求解出抛物线的焦点由此可得直线方程，联立直线与抛物线方程，再利用焦半径求解即可. 【详解】抛物线 的焦点为， 倾斜角为 ，则直线斜率， ∴直线方程为， 设抛物线与直线的两个交点为， 联立，消元可得， 解得， ∴. 故选:B. 21.经过抛物线的焦点且与直线垂直的直线方程为________． 【答案】 【分析】根据抛物线方程确定抛物线焦点，再设与直线垂直的直线方程为，并将焦点代入求出的值即可. 【详解】已知抛物线， 其中， 所以焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为， 故答案为:. 22.已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则_____. 【答案】或 【分析】首先联立抛物线与直线方程，消元，再分别讨论二次项系数是否为零的两种情况即可. 【详解】已知抛物线与直线有且仅有一个交点， 则联立方程，得， 整理得， 当时，得，解得，， 所以交点为，满足题意； 当时，由， 整理得，解得k=， 此时抛物线与直线有且仅有一个交点. 综上可知，或k= 故答案为:或k= 23.过抛物线的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且，则p＝______. 【答案】 【分析】根据通径公式易得答案. 【详解】因为过抛物线的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于、两点， 所以的横坐标为， 所以， 所以. 故答案为:. 24.设点F是抛物线的焦点，过抛物线上一点M作其准线的垂线，垂足为Q，已知直线交y轴于点，则的面积为__________． 【答案】40 【分析】先由抛物线方程求出焦点和准线，再利用题意求出直线的方程，进而求出点M，Q的坐标，进而得到的面积即可. 【详解】由题意得焦点，准线方程为， 因为直线交y轴于点，则， 所以直线的方程为， 因为过抛物线上一点M作其准线的垂线，垂足为Q， 所以可设，代入直线方程得，则， 因为，从而， 故， 则的面积为． 故答案为:40. 25.已知直线l与抛物线交于两点，且线段的中点为，则直线l的方程为________． 【答案】 【分析】设，，由线段中点坐标公式结合抛物线方程列式化简得出直线的斜率的值，再由直线的点斜式方程求值即可. 【详解】设，，则，， 则，两式相减得， 所以，即， 则直线的方程为，即． 故答案为:. 26.动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用抛物线定义求出曲线方程， (2)通过点差法求出直线的斜率，进而可得直线的方程. 【详解】(1)动点与定点的距离等于到直线的距离，且直线不经过点，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，其焦点坐标为， 由焦点可得，解得， 所以曲线的方程为. (2)若直线垂直于轴，则直线的方程为， 此时线段的中点纵坐标为0，与是线段的中点的条件矛盾，故直线斜率存在. 设，，且， 因为、在曲线上，所以， 两式相减得：，即， 因为点是线段的中点，可得，即， 则直线的斜率， 又直线过点， 则直线的方程为，即. 联立，消去整理得， 则，符合题意， 综上，直线的方程为.    27.已知椭圆的右焦点为F，抛物线C以点F为焦点，且顶点在椭圆的中心，求： (1)抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线l与抛物线交于A，B两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)32 【分析】(1)根据椭圆的标准方程求出右焦点坐标，即可得抛物线焦点坐标，进而可求出抛物线的标准方程； (2)根据倾斜角可求出直线的斜率，利用点斜式方程求出直线方程，再将直线与抛物线的方程联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】(1)设抛物线的方程为， 由椭圆，得，， ∴，即， ∴椭圆的右焦点为，即抛物线的焦点为， ∴，即，∴抛物线的方程为． (2)∵直线l的倾斜角为，∴直线l的斜率为． 由(1)得抛物线的焦点为，即直线l过点， ∴直线l的方程为，即． 设，， 则由得， ∴，∴， 即线段的长度为32． 28.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将双曲线化为标准方程求出双曲线的焦点坐标，即为抛物线的焦点坐标即可求解. (2)设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程结合向量垂直的条件列式即可求解. 【详解】(1)将双曲线化为标准方程为， 在双曲线中，，所以， 所以双曲线的右焦点坐标为， 又抛物线的焦点是双曲线的右焦点， 则抛物线的焦点为，即解得，所以抛物线的方程为． (2)①若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率不存在不满足条件． ②若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 当时，设，，联立方程组， 消去化简得， 所以，， ， 因为，所以，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为．    29.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上. (1)求点的坐标和抛物线的准线方程； (2)过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积. 【答案】(1)，. (2). 【分析】(1)将点代入抛物线方程中求出的值即可得解. (2)设出点的坐标，利用抛物线的弦长公式求出，根据点与点的坐标，求出斜率写出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】(1)∵抛物线，∴焦点在轴正半轴，准线在轴负半轴， ∵在抛物线上，， ∴点的坐标为，抛物线的准线方程为. (2)设的坐标分别为，则， 由和可得， ∴直线的方程为， 点到直线的距离， . 30.已知抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)根据焦点坐标求出值即可得解. (2)设出点坐标，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】(1)抛物线的焦点， 则，解得， 故抛物线C的标准方程为. (2)设抛物线上点， 点到直线的距离为， 当时，分子取得最小值3，此时距离最小为，此时点的坐标为. 故到直线的距离最小的点的坐标为. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】(1)根据抛物线的定义求解即可. (2)首先求出直线l，再与抛物线方程联立，再根据点到直线的距离公式以及三角形面积求解即可. 【小问1详解】 由定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，且， 又， ，所以，即， ∴抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 由(1)知，，， 点P在抛物线上，设P点坐标. 由题意，直线l的斜率存在且，又直线过抛物线焦点， 所以直线为， 联立，消去y，整理得， 因为直线与抛物线交于点，点，所以， ，, 又点P到直线的距离， 所以 ，即， 可化为或， 解得或或， 当， ，当， ，当，， 点的坐标为或或. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知椭圆的离心率，抛物线方程，椭圆与抛物线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交抛物线于点，且以为直径的圆经过原点，求直线的方程． 【答案】(1)1 (2) 【分析】(1)根据椭圆的性质以及已知点在椭圆上列出方程组，进而求解A、B的值. (2)设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理以及向量垂直的性质求出直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 将点代入椭圆方程中为①， 因为椭圆的离心率整理得② 联立方程①②解得， 所以椭圆的标准方程为:． 【小问2详解】 将点代入抛物线方程中得，则抛物线方程为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 联立直线方程与抛物线方程解得点， 所以以为直径的圆的圆心为的中点，半径为， 而圆心到点O的距离为3，所以点O不在圆上，则当直线斜率不存在时与条件不符； 故直线的斜率存在，设直线的斜率为（），则方程为， 联立方程， 展开整理得:， 则，因为，所以， 代入直线方程中解得， 所以点的坐标为， 因为以为直径的圆经过原点，所以， 又， 则， 即，即，解得或， 所以直线方程为:或， 即或. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)双曲线，圆D:，双曲线与圆交于，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的方程， (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据双曲线的渐近线和一个点易得答案； (2)根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【小问1详解】 因为，所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以，所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 设，因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以，因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知圆的圆心是点C，抛物线的焦点F在该圆上． (1)求p的值； (2)若过点F的直线l与抛物线相交于两点，且的面积为，求直线l的方程． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】(1)设抛物线的焦点为，将点代入圆的方程中即可求解. (2)分别讨论直线l斜率存在和斜率不存在两种情况，根据的面积为求出结果. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点在圆上， 所以，解得或； 因为，所以. 【小问2详解】 由(1)可知，抛物线的标准方程是，焦点为. 由得，圆的标准方程是， 则圆心为，半径为. ①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为， 联立方程组，解得或， 不妨设，所以， 因为圆心到直线的距离是，此时的面积为, 而的面积应为，所以直线的方程不满足条件. ②若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 当时，直线l与抛物线只有一个交点，不符合题意； 当时，设， 联立方程组，消去化简得. 易知，所以， 则， 因为圆心到直线的距离是，且的面积为， 所以，化简得，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或.. 5.(2022年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知椭圆的右顶点是，左右焦点分别是，，且，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交椭圆于点，，以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】(1)由椭圆的性质可知，，据此可求，进而可求得，据此可得椭圆方程； (2)设，，，由平行四边形，则，化简为；联立椭圆方程和直线方程，根据韦达定理和判别式，可得，，故点P坐标为；因为点在椭圆上，代入椭圆方程可求解. 【小问1详解】 解:因为，， 所以，， 解得，， 所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由(1)可知，，，设，，. 由题意可知，即， 可得，化简得①， 联立方程组，消去可得. 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，解得， 由韦达定理得，， 又由直线方程可知， 则， 代入①，可得， 因为P在椭圆上，所以满足椭圆方程， 化简得，解得或(满足)， 所以的值为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $