8.6抛物线（练习）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以抛物线定义、标准方程及性质为核心，通过基础到综合的分层题型设计，构建概念生成-性质应用-真题验证的逻辑链条，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|10题|标准方程形式、参数p计算、开口方向判断|从定义出发，建立标准方程与图形特征的对应关系| |性质应用|3题|焦点/准线坐标、离心率、定义应用求轨迹|通过性质辨析深化对抛物线几何本质的理解| |综合拓展|8题|焦点距离、直线与抛物线交点、最值问题|结合代数运算与几何直观，实现知识迁移应用| |真题再现|2题|2022-2024年山东春考真题|对接考情，验证复习效果，强化应试能力|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题八 8.6 抛物线 【考点 抛物线的定义、标准方程及性质】 1.若抛物线开口向左且顶点在原点，则其标准方程形如(  ) A. B. C. D. 2.抛物线中，的值为(  ) A. B. C. D. 3.若抛物线经过点，则等于(  ) A. B. C. D. 4.抛物线的焦点坐标是(  ) A. B. C. D. 5.若标准抛物线的焦点为，则它的方程是(  ) A. B. C. D. 6.下列方程中，表示开口向右的标准抛物线的是(  ) A. B. C. D. 7.抛物线的焦点到准线的距离是(  ) A. B. C. D. 8.抛物线的离心率的值是(  ) A. B. C. D. 9.已知在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与它到定点的距离相等，则点的轨迹方程为(  ) A. B. C. D. 10.抛物线的准线方程是(  ) A. B. C. D. 11.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点P的横坐标为2，且，则_______. 12.已知抛物线的准线方程为是该抛物线上的点，则点到抛物线的焦点的距离为___________. 13.抛物线上一点到焦点的距离为，求该点到准线的距离. 【考点 抛物线的定义、标准方程及性质】 14.抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标为(  ) A. B. C. D. 15.已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为(  ) A.或 B. C.或 D. 16.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，若抛物线上的点到轴的距离为3，且，则该抛物线的方程是(  ) A. B. C. D. 17.已知直线，抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且直线经过抛物线的焦点，则抛物线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 18.以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________. 19.已知一条直线与抛物线交于A、B两点，且这两点到焦点的距离分别为3和5，则的中点到轴的距离是__________. 20.已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 21.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6． 1.(2024年山东省春季高考数学真题)已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若，则焦点F到准线的距离是(  ) A.1 B.2 C.4 D.6 2.(2022年山东省春季高考数学真题)抛物线的焦点坐标是_______________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题八 8.6 抛物线 【考点 抛物线的定义、标准方程及性质】 1.若抛物线开口向左且顶点在原点，则其标准方程形如(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程的形式与特点求解. 【详解】若抛物线开口向左且顶点在原点，则其标准方程为. 故选:B. 2.抛物线中，的值为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据抛物线方程即可得解. 【详解】抛物线，则，解得， 故选:. 3.若抛物线经过点，则等于(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】将点代入抛物线方程求解即可. 【详解】若抛物线经过点，则，解得. 故选:D. 4.抛物线的焦点坐标是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线标准方程的形式，确定焦点坐标的位置，并求出p的值，即可求解. 【详解】因为抛物线的标准方程是， 所以抛物线的焦点坐标在轴负半轴上，且， 解得， 所以抛物线的焦点坐标是. 故选:D. 5.若标准抛物线的焦点为，则它的方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据焦点坐标求解抛物线的方程即可. 【详解】焦点为，焦点位于轴， 所以，方程为. 故选:C. 6.下列方程中，表示开口向右的标准抛物线的是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，结合抛物线的标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为开口向右的抛物线的标准方程形式为， 选项A，开口向上，不符合；选项B，开口向下，不符合； 选项C，开口向右，符合；选项D，开口向左，不符合； 故选:C. 7.抛物线的焦点到准线的距离是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据抛物线标准方程中参数的几何意义求解. 【详解】已知抛物线方程为，可得，解得， 那么焦点到准线的距离为， 故选:A. 8.抛物线的离心率的值是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据抛物线的离心率定义即可得解. 【详解】抛物线的离心率是抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比， 由抛物线的定义可知，这个比值恒等于1， 所以抛物线的离心率的值是， 故选:. 9.已知在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与它到定点的距离相等，则点的轨迹方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解轨迹方程即可. 【详解】因为动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 则焦点在轴上，设抛物线的标准方程为 且，即，所以点的轨迹方程为. 故选:B. 10.抛物线的准线方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求出准线方程即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴负半轴，且， 所以准线方程为， 故选:. 11.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点P的横坐标为2，且，则_______. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】由题意可知，该抛物线的准线方程为 ， 因为点P的横坐标为2， 则点P到准线的距离为. 由题意，结合抛物线定义得，解得. 故答案为:2. 12.已知抛物线的准线方程为是该抛物线上的点，则点到抛物线的焦点的距离为___________. 【答案】4 【分析】根据抛物线定义求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为， 则点到抛物线的焦点的距离为. 故答案为:4. 13.抛物线上一点到焦点的距离为，求该点到准线的距离. 【答案】11 【分析】根据抛物线的定义求解. 【详解】根据抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，所以该点到准线的距离也为. 【考点 抛物线的定义、标准方程及性质】 14.抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程确定几何性质，再结合抛物线的定义求值即可. 【详解】由抛物线的标准方程为， 得抛物线开口向左，且，则， 设抛物线上的点到焦点的距离为9， 那么该点到准线的距离也是9， 因为，，所以， 因此点到轴的距离为6，则， 将代入抛物线方程， 得，因此点的坐标为，故选:C. 15.已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为(  ) A.或 B. C.或 D. 【答案】C 【分析】先根据离心率为1确定曲线为抛物线，再分对称轴为x轴、y轴两种情况设标准方程，代入已知点求解参数后计算对应准线方程即可. 【详解】圆锥曲线中离心率的曲线为抛物线. 若对称轴为x轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 对称轴为y轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 综上，该曲线的准线方程为或. 故选:C. 16.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，若抛物线上的点到轴的距离为3，且，则该抛物线的方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】设抛物线的方程为，求得准线方程为，由抛物线的定义，可得点到焦点的距离即为到准线的距离， 解的方程，即可求得，进而得到抛物线方程． 【详解】根据题意设抛物线，所以准线方程为， 因为点到轴的距离为3，且， 所以由定义可得，解得， 所以该抛物线的方程为． 故选:D. 17.已知直线，抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且直线经过抛物线的焦点，则抛物线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意得抛物线的焦点在轴上，令时，求出抛物线的焦点坐标，即可求解. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴， 则抛物线的焦点在轴上， 因为直线经过抛物线的焦点，当时，，即， 所以抛物线的焦点，即，所以， 设抛物线方程为， 则抛物线方程为. 故选:A. 18.以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________. 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点得到圆心，然后利用直线与圆相切计算点到直线的距离得到半径，最后可得结果. 【详解】由题可知：抛物线，即，所以焦点坐标为C， 点到直线的距离为， 所以所求的圆的方程为. 故答案为: 19.已知一条直线与抛物线交于A、B两点，且这两点到焦点的距离分别为3和5，则的中点到轴的距离是__________. 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义及线段中点坐标公式求解. 【详解】在抛物线中，，则，准线方程为. 设，， 已知、两点到焦点的距离分别为3和5， 根据抛物线定义，到准线的距离，可得； 到准线的距离，可得， 则中点的纵坐标为， 所以的中点到轴的距离是. 故答案为:2. 20.已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 【答案】12 【分析】根据抛物线的定义，结合平面几何知识求出的最小值即可. 【详解】由抛物线可知其准线，点M到直线l的距离等于， 设抛物线上的点，当时，大于点P的纵坐标5， 所以过点P作l的垂线，必与抛物线相交， 当点M为此交点时，取得最小值， 此最小值为点P到准线l的垂线段长. 故答案为：12.    21.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据抛物线上点到焦点距离等于到准线距离的性质求解即可. (2)设抛物线焦点，根据两点间距离公式列方程求解即可. 【详解】(1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，因为抛物线为， 所以l的方程为， 如图，作于，于，    则，同理， 又，则，， 故所求抛物线方程为． (2)因为抛物线对称轴是x轴，所以设焦点， 则，即，解得或． 当焦点为时，，抛物线开口方向向左，其方程为； 当焦点为时，，抛物线开口方向向左，其方程为． 故所求抛物线方程为或． 1.(2024年山东省春季高考数学真题)已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若，则焦点F到准线的距离是(  ) A.1 B.2 C.4 D.6 【答案】B 【分析】先求出点M与点N的坐标，即可求解p的值，即可求解焦点F到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 过F作垂直于轴的直线与抛物线交于M、N两点， 所以点M与点N的横坐标为， 将代入抛物线方程可得， 所以可设， 因为，所以， 所以焦点F到准线的距离是2. 故选:B． 2.(2022年山东省春季高考数学真题)抛物线的焦点坐标是_______________. 【答案】 【分析】由抛物线的标准方程可直接求得. 【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点在轴正半轴上， 并且,因此， 于是，抛物线的焦点坐标为. 故答案为:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $