8.6抛物线（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.6 抛物线 【复习目标】 1.掌握抛物线的概念、标准方程和性质； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点 抛物线的定义、标准方程及性质 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 的点的轨迹叫作抛物线.其中，定点F叫作抛物线的 ，定直线l叫作抛物线的 ． 2.抛物线的标准方程和性质 焦点在x轴的正半轴上 焦点在x轴的负半轴上 焦点在y轴的正半轴上 焦点在y轴的负半轴上 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 准线 离心率 e＝1 (1)p的几何意义: 到 的距离； (2)“一次项定焦点位置”，抛物线标准方程中的一次项就反映了对称轴是哪个轴，焦点在该轴的什么位置(由一次项的符号决定)． 【即时训练】 1.到一个定点和一条定直线(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.抛物线的对称轴(  ) A.轴 B.轴 C.直线 D.直线 3.方程表示的抛物线开口方向为(  ) A.向右 B.向上 C.向下 D.向左 4.准线为，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程是(  ) A. B. C. D. 5.抛物线的焦点到准线的距离为(  ) A. B. C. D. 6.抛物线的顶点坐标是(  ) A. B. C. D. 7.抛物线上横坐标为的点的纵坐标是(  ) A. B. C. D. 8.抛物线中的等于(  ) A. B. C. D. 9.抛物线的焦点坐标是(  ) A. B. C. D. 10.焦点坐标为，准线为的抛物线标准方程是(  ) A. B. C. D. 11.过点且开口向右、顶点在原点的抛物线方程是(  ) A. B. C. D. 12.动点到点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是(  ) A. B. C. D. 13.下列性质属于抛物线的是(  ) A.关于轴对称 B.没有焦点 C.顶点为 D.关于轴对称 14.已知抛物线的焦点到准线的距离为10，且焦点在x轴上，则该抛物线的标准方程是(  ) A. B. C.或 D.或 15.抛物线上一点到焦点的距离为 3，则点的横坐标为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 16.抛物线的焦点坐标为(  ) A. B. C. D. 17.抛物线的顶点到直线的距离与该抛物线的离心率之积为(  ) A. B. C. D. 18.已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的方程为(  ) A. B. C. D. 19.已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(  ) A.4 B.6 C.8 D. 20.已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是(  ) A.8 B. C.2 D. 21.抛物线的焦点为，则______. 22.对称轴为轴，且过点的抛物线的标准方程为________. 23.已知抛物线:的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 24.已知抛物线， (1)求焦点坐标和准线方程； (2)若抛物线上一点横坐标为，求该点纵坐标． 25.已知某抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点. (1)求此抛物线的标准方程； (2)若此抛物线上一点A到焦点的距离为，求点A的坐标. 1.(2024年山东省春季高考数学真题)已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若，则焦点F到准线的距离是(  ) A.1 B.2 C.4 D.6 2.(2022年山东省春季高考数学真题)抛物线的焦点坐标是_______________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.6 抛物线 【复习目标】 1.掌握抛物线的概念、标准方程和性质； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点 抛物线的定义、标准方程及性质 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.其中，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 2.抛物线的标准方程和性质 焦点在x轴的正半轴上 焦点在x轴的负半轴上 焦点在y轴的正半轴上 焦点在y轴的负半轴上 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 (1)p的几何意义:焦点到准线的距离； (2)“一次项定焦点位置”，抛物线标准方程中的一次项就反映了对称轴是哪个轴，焦点在该轴的什么位置(由一次项的符号决定)． 【即时训练】 1.到一个定点和一条定直线(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D 【分析】利用定义依次分析可得结果. 【详解】圆:轨迹是到定点距离等于定值(半径)的点，和定直线无关； 椭圆:轨迹是到两个定点距离之和为常数的点； 双曲线:轨迹是到两个定点距离之差的绝对值为常数的点； 抛物线:到一个定点和一条定直线(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹. 故选:. 2.抛物线的对称轴(  ) A.轴 B.轴 C.直线 D.直线 【答案】A 【分析】根据抛物线方程的形式即可得解. 【详解】抛物线，形如的抛物线，其对称轴为轴. 故选:A. 3.方程表示的抛物线开口方向为(  ) A.向右 B.向上 C.向下 D.向左 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程形式来确定其开口方向. 【详解】已知方程，符合抛物线的标准方程()的形式， 所以抛物线的开口方向向下. 故选:C. 4.准线为，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据抛物线的准线方程和焦点位置确定其标准方程的形式，并求出参数的值. 【详解】对于焦点在轴正半轴上的抛物线，其标准方程为，且准线方程为， 已知准线为，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选:D. 5.抛物线的焦点到准线的距离为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据抛物线的焦点到准线距离为求解. 【详解】抛物线中，，即，所以焦点到准线距离为. 故选:A. 6.抛物线的顶点坐标是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程来确定其顶点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，其顶点坐标为， 故选:D. 7.抛物线上横坐标为的点的纵坐标是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将代入抛物线的方程求解即可. 【详解】将代入抛物线的方程，得，所以. 故选:C. 8.抛物线中的等于(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】与抛物线的标准方程比较即可得解. 【详解】抛物线，符合抛物线的标准方程的形式， 所以，解得. 故选:D. 9.抛物线的焦点坐标是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由抛物线得焦点在轴负半轴上， 则，解得， 所以，即焦点坐标是. 故选:A. 10.焦点坐标为，准线为的抛物线标准方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合焦点坐标和准线方程，设出抛物线标准方程，求得p的值，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，准线为， 设抛物线的标准方程为，则， 解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选:A. 11.过点且开口向右、顶点在原点的抛物线方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，可设出抛物线的标准方程，将已知点的坐标代入抛物线方程，求得p的值，即可求解. 【详解】由题意，设抛物线标准方程为， 将点代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选:A. 12.动点到点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，及抛物线的标准方程的形式，求出p的值，即可求解. 【详解】因为动点到点与直线的距离相等， 所以动点的运动轨迹是开口向右的抛物线，且焦点坐标为，准线方程为， 所以，解得，故动点的轨迹方程是. 13.下列性质属于抛物线的是(  ) A.关于轴对称 B.没有焦点 C.顶点为 D.关于轴对称 【答案】D 【分析】根据抛物线的基本性质逐一分析每个选项. 【详解】抛物线的焦点在轴上， 顶点坐标为，关于轴对称，不关于轴对称， 故ABC错误；D正确， 故选:D. 14.已知抛物线的焦点到准线的距离为10，且焦点在x轴上，则该抛物线的标准方程是(  ) A. B. C.或 D.或 【答案】D 【分析】根据题意，求出p的值，结合焦点在x轴上抛物线的标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为10，且焦点在x轴上， 所以，故抛物线的标准方程为或. 故选:D. 15.抛物线上一点到焦点的距离为 3，则点的横坐标为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义和标准方程的性质. 【详解】在抛物线中，可得，即， 设点的横坐标为，已知点到焦点的距离为， 根据抛物线的定义可知，点到准线的距离也为， 可得，解得， 综上，点的横坐标为， 故选:B. 16.抛物线的焦点坐标为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查的是抛物线的几何性质，抛物线中焦点与准线之间的联系. 【详解】由，得，则焦点在轴负半轴， 因此，，则 所以焦点坐标为 故选:. 17.抛物线的顶点到直线的距离与该抛物线的离心率之积为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式及抛物线的离心率即可得解. 【详解】抛物线的顶点为原点，到直线的距离为 ， 抛物线离心率恒为，故积为， 故选:A. 18.已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由双曲线方程求出焦点坐标，根据题意可得抛物线的焦点坐标即可求解. 【详解】在双曲线中，，则，所以， 所以双曲线的左焦点为，则抛物线的焦点为， 设抛物线的方程为，焦点坐标为 又双曲线左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，则， 则抛物线方程为. 故选:D. 19.已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(  ) A.4 B.6 C.8 D. 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求值即可. 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为， 故选:B. 20.已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是(  ) A.8 B. C.2 D. 【答案】A 【分析】将代入直线方程中求出直线与轴的交点坐标，根据抛物线方程求出焦点坐标，根据题意列出方程即可得解. 【详解】直线，令，则，解得， 所以直线与轴的交点是， 抛物线的焦点是，所以，解得， 故选:A. 21.抛物线的焦点为，则______. 【答案】5 【分析】根据题意，结合抛物线的焦点坐标，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 已知抛物线焦点为，所以. 故答案为:5. 22.对称轴为轴，且过点的抛物线的标准方程为________. 【答案】 【分析】根据题意，设出抛物线的标准方程，再将已知点代入方程求解. 【详解】由题可知：抛物线的焦点在轴上，开口向左， 设抛物线的标准方程为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此抛物线的标准方程为. 故答案为:. 23.已知抛物线:的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标和准线方程，设点到准线的距离为，再由抛物线的定义可知当三点共线时取最小值，由此确定点的坐标，最后由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】由抛物线：，可得， 解得，准线为， 设点到准线的距离为， 所以， 当三点共线时，取最小值， 且，所以，则，解得， 所以，则点到直线的距离为， ， 故答案为:.    24.已知抛物线， (1)求焦点坐标和准线方程； (2)若抛物线上一点横坐标为，求该点纵坐标． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2)该点纵坐标为 【分析】(1)根据开口向左的抛物线标准方程的基本性质即可求解； (2)将已知横坐标代入方程即可求得纵坐标. 【详解】(1)抛物线符合开口向左的抛物线标准形式， 得，解得. 根据抛物线性质，其焦点位于x轴负半轴，焦点坐标为， 准线方程为. (2)将代入抛物线方程， 得，开平方得，即该点纵坐标为6或. 25.已知某抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点. (1)求此抛物线的标准方程； (2)若此抛物线上一点A到焦点的距离为，求点A的坐标. 【答案】(1). (2) 【分析】(1)设抛物线的标准方程为，再将点代入方程求解即可. (2)根据抛物线的定义确定点A的纵坐标，再将其代入抛物线方程求解即可. 【详解】(1)设抛物线的标准方程为， 将点代入得，， 解得，则抛物线的标准方程为. (2)由此抛物线上一点A到焦点的距离为， 可得， 因为抛物线开口向下，所以， 代入，得 解得， 故点A的坐标为. 1.(2024年山东省春季高考数学真题)已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若，则焦点F到准线的距离是(  ) A.1 B.2 C.4 D.6 【答案】B 【分析】先求出点M与点N的坐标，即可求解p的值，即可求解焦点F到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 过F作垂直于轴的直线与抛物线交于M、N两点， 所以点M与点N的横坐标为， 将代入抛物线方程可得， 所以可设， 因为，所以， 所以焦点F到准线的距离是2. 故选:B． 2.(2022年山东省春季高考数学真题)抛物线的焦点坐标是_______________. 【答案】 【分析】由抛物线的标准方程可直接求得. 【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点在轴正半轴上， 并且,因此， 于是，抛物线的焦点坐标为. 故答案为:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $